Определение

Смешанная стратегия называется невырожденной, если ни одна из стратегий не выбирается с вероятностью 1.

В этом равновесии, как это всегда бывает в равновесиях с невырожденными смешенными стратегиями, каждый игрок выбирает вероятности, которые обеспечивают ему одинаковый ожидаемый выигрыш.

Вероятности использования чистых стратегий определяются не только структурой выигрышей данного игрока, но и структурой выигрышей его партнера, что может вызвать известные трудности с интерпретацией данного решения.

В конечных играх равновесие в чистых стратегиях существует не всегда, а равновесие в смешанных стратегиях существует всегда.

Теорема 3 (Нэша)

Равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях существует в любой конечной игре.

Заметим, что существование в игре равновесия в чистых стратегиях не исключает существования равновесия в смешанных стратегиях.

Рассмотрим вариант игры «Выбор компьютера», когда выгоды от совместимости значительны, т.е. a < c и b < c. Тогда есть два равновесия в чистых стратегиях: (IBM, IBM) и (Mac, Mac). Обозначим μ и ν вероятности выбора компьютера IBM PC первым и вторым игроком соответственно.

		Игрок 2
		IBM,	Mac,
Игрок 1	IBM,	c	b
		a+c	а
	Mac	0	b+c
		0	с

Ожидаемый выигрыш Игрока 1 равен:

u₁(μ, ν) = μ [ν (a + c) + (1 – ν) a] + (1 – μ) [ν 0 + (1 – ν) c] = 

= μ [ν 2c – (c­ – a)] + (1 – ν) c,

а его отклик имеет вид:

Ожидаемый выигрыш Игрока 2 равен:

u₂(μ, ν) = ν [μ c + (1 – μ) 0] + (1 – ν) [μ b + (1 – μ) (b + c)] = 

= ν [μ 2c – (b­ + c)] + b + (1 – μ) c,

а его отклик имеет вид:

Графики отображений отклика и точки, соответствующие трем равновесиям изображены на Рис. 3. Как видно, в рассматриваемой игре кроме двух равновесий в чистых стратегиях имеется одно равновесие в невырожденных смешанных стратегиях.

Рис. 3.

Соответствующие вероятности и средние выигрыши равны:

μ =  , ν =  .

Сравним выигрыши игроков в чистых и смешанных стратегиях:

в случае выбора (IBM, IBM) выигрыши игроков (a+c, c);

в случае выбора (Mac, Mac) выигрыши игроков (c, b+c);

в случае μ =  , ν = , выигрыши игроков ( , ).

Каждая из чистых стратегий дает преимущество одному из игроков, а смешанная стратегия их выравнивает.

2.7. Упражнения для самостоятельного решения

Задача 22. Как изменится выбор игроков в игре «Выбор компьютера» если обладание компьютером нелюбимого типа оценить в d условных единиц, где d < a, d < b, причем a < c+d < b ?

Указание. Матрица выигрыша этой игры имеет вид:

		Игрок 2
		IBM	Mac
Игрок 1	IBM	d+c	b
		a+c	a
	Mac	d	b+c
		d	d+c

Проверьте, что Игроку 1 выгоднее выбрать такой же компьютер, как у Игрока 2, а Игроку 2 выгоднее выбрать Mac.

Задача 23. Приведите пример игры, в которой существует равновесие в доминирующих стратегиях, и, кроме того, существуют равновесия по Нэшу, не совпадающие с равновесием в доминирующих стратегиях.

Указание. Проанализируйте вариант игры «Аукцион Викри»

Найдите в следующих играх все равновесия по Нэшу

Задача 24. Каждый из трёх игроков выбирает одну из сторон монеты: «орёл» или «решка». Если выборы игроков совпали, то каждому выдается по 1 рублю. Если выбор одного из игроков отличается от выбора двух других, то он выплачивает им по 1 рублю.

Указание. Поскольку игроков трое, то матрица игры будет трехмерной, и ее строить неудобно. Воспользуемся тем, что все игроки симметричны и стратегии симметричны. Стратегий две, а игроков трое, поэтому хотя бы у двух игроков стратегии совпадут. Рассмотрите два случая и определите, может ли кто-то из них увеличить свой выигрыш. В ответе получится два равновесия: «все орлы» и «все решки».

Задача 25. «Орел или решка». Первый из двух игроков прячет монетку, положив ее по своему выбору вверх орлом или решкой. Второй игрок должен угадать, как лежит монетка. Если второй игрок угадает, то первый должен отдать ему рубль, в противном случае второй отдает первому рубль.

«Орел или решка»		Игрок 2
		Орел	Решка
Игрок 1	Орел	1	-1
		-1	1
	Решка	-1	1
		1	-1

Ответ. В игре нет равновесий по Нэшу в чистых стратегиях и одно (симметричное) равновесие в смешанных стратегиях, при котором каждая чистая стратегия выбирается каждым игроком с вероятностью 0,5.

Задача 26. «Камень – ножницы – бумага». Играют двое. Каждый называет один из трех предметов: «камень», «ножницы» или «бумага». Игрок, назвавший камень, выигрывает у игрока, назвавшего ножницы (ножницы тупятся о камень), игрок, назвавший ножницы, выигрывает у игрока, назвавшего бумагу (ножницы режут бумагу), а игрок, назвавший бумагу, выигрывает у игрока, назвавшего камень (камень можно завернуть в бумагу). Выигравший игрок получает 1, проигравший получает –1. Если названные предметы совпали, то каждый игрок получает 0.

«Камень – ножницы – бумага»		Игрок 2
		Камень	Ножницы	Бумага
Игрок 1	Камень	0	-1	1
		0	1	-1
	Ножницы	1	0	-1
		-1	0	1
	Бумага	-1	1	0
		1	-1	0

Ответ. В игре нет равновесий по Нэшу в чистых стратегиях. Найдите равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.

Задача 27. Заполните пропущенные выигрыши в следующей таблице так, чтобы в получившейся игре:

1	?
?	2
?	0
4	?

(0) не было ни одного равновесия по Нэшу,

(1) было одно равновесие по Нэшу,

(2) было два равновесия по Нэшу,

(3) было три равновесия по Нэшу,

(4) было четыре равновесия по Нэшу.

Ноль			Одно			Два			Три			Четыре
1			1			1			1			1
	2			2			2			2			2
	0			0			0			0			0
4			4			4			4			4

Определение

Антагонистической игрой двух лиц называется игра, в которой сумма выигрышей обоих игроков постоянна. В частности, когда сумма равна нулю, игра называется игрой с нулевой суммой.

Определение

Седловой точкой функции f(x, y), называют такую точку (x₀,y₀), что для любых (x, y) выполнено неравенство

f(x, y₀) ≤ f(x, y) ≤ f(x₀, y)

Задача 28. Объясните, почему множество седловых точек функции выигрыша Игрока 1 в антагонистической игре двух лиц совпадает с множеством равновесий по Нэшу.

Решение. Пусть сумма выигрышей равна С. Для Игрока 1 в силу второго неравенства стратегия х = х₀ является доминирующей. Поскольку выигрыш Игрока 2 равен С – f(x, y), то в силу первого неравенства стратегия у = у₀ является доминирующей для Игрока 2.

Задача 29. Докажите, основываясь на результатах двух предыдущих задач, что в антагонистической игре двух лиц равновесие по Нэшу (в чистых стратегиях) существует тогда и только тогда, когда для функции выигрыша первого игрока выполнено неравенство:

min	max	f(x, y)	=	max	min	f(x, y)
y	x			x	y

Определение

Набор стратегий называется оптимальным по Парето, если не существует набора стратегий, который бы доминировал данный (т.е. чтобы всем игрокам стало не хуже и хотя бы одному стало лучше, чем при данном наборе стратегий).