1.8. Указания к играм

1. Камни 1. Заметим, что число камней, взятых любым игроком, другой игрок может дополнить до числа делящегося на 3. Отсюда стратегия первого игрока: взять сначала два камня, чтобы оставшаяся сумма делилась на 3, затем дополнять ходы противника до трех камней, тогда последний ход будет за первым игроком. Контрольный вопрос: верно ли, что при любом начальном числе камней выиграет первый игрок?

2. Камни 2. Идея стратегии первого игрока: уравнять числа камней в кучах, а затем применить симметричную стратегию. Контрольный вопрос: верно ли, что при любых числах камней в кучах выиграет первый игрок?

3. Камни 3. Хода не будет только в том случае, когда все кучи размером в один камень. При каждом ходе число куч возрастает на 1. Чтобы из двух куч сделать 22 нужно увеличить число куч на 20, следовательно, нужно сделать 20 ходов. Но 20-й ход делает второй игрок, значит, он всегда выигрывает.

4. Крестики-нолики 1. Первый выигрышный ход указан на рисунке. Второй выигрышный ход делается в соседнюю клетку либо слева, либо сверху.
			х

5. Пятаки. Первый кладет пятак в центр, а затем делает ходы симметричные ходам второго относительно центра стола.

6. Кони. На обычной доске выиграет второй, поскольку он может делать ходы, центрально симметричные ходам первого. На доске 7х7 первый делает ход в центр, а затем использует симметричную стратегию.

7. Дубликаты. Пусть Винни Пух придумал все слова Пятачка и еще 5 слов. Пусть Винни Пух называет слова, которых нет у Пятачка, тогда после пятого хода все слова будут названы, и Винни Пух не сможет сделать хода.

8. Фокус. Кот перевернул все оставшиеся монеты и выиграл. Почему?

9. Сумма. Заметим, что сумма всех чисел положительная. Следовательно, тот, кто наберет большую сумму, тот и победит. В самом деле, эта сумма положительная и потому больше по абсолютной величине (докажите). Чтобы набрать большую сумму первый должен брать наибольшее число из оставшихся.

10. Ладьи 1. Докажите, что таких ладей всегда будет 8, следовательно, всегда побеждает второй.

11. Шоколадка. Докажите, что число разломов всегда одно и то же, следовательно, всегда выигрывает один и тот же игрок. См. задачу «Камни3».

12. Ладьи 2. Второй использует симметричную стратегию.

13. Король. Решаем задачу с конца. На поле а1 ставим «+», что означает выигрышное поле. На поля b1 и а2 ставим «–», поскольку тот, кто поставил короля на эти поля – проиграл. И т.д. раскрасим плюсами и минусами всю доску.

14. Хорды. Первую хорду надо провести так, чтобы по обе стороны от нее было поровну точек, а дальше применять симметричную стратегию.

15. Тупик. Первый проводит любой отрезок, а затем возвращает второго в один из его концов.

16. Ломаная. Ясно, что нельзя строить ломаную из двух звеньев, поскольку партнер сделает треугольник. Каждым ходом надо выбирать две новые точки, которые не использовались ранее. Таких пар точек 49. Пятидесятый ход, а его делает второй игрок, будет проигрышным.

17. Минусы. Надо зачеркнуть один или два минуса в центре ряда так, чтобы справа и слева было равное число минусов, тогда можно применить симметричную стратегию.

18. Ромашка. Первым ходом круг разрывается, и задача сводится к предыдущей.

19. Крестики-нолики 2. Первый ход делается куда угодно, а затем первый применяет симметричную стратегию относительно центра доски. Если ему надо сделать ход туда, где уже стоит крестик, то он делает произвольный ход.

20. Перехват. Пусть Карпов пошел белыми, тогда Бендер делает такой же ход против Каспарова. Каспаров ответил, а Бендер делает такой же ход против Карпова, и фактически заставляет гроссмейстеров играть между собой. Победа одного из них приведет и к победе Бендера.

21. Ладьи 3. Черные применяют симметричную стратегию. Однако надо доказать, что она приведет к цели.

22. Волк и овцы. Пусть волк стоит в точке с координатами (0; 0), а овцы в точках (4n; 0). Овце с номером n принадлежит полоса x  [4n-2; 4n+2). Как только волк проникает в полосу с номером n, овца с номером n начинает двигаться вертикально в сторону удаления от волка. Остается доказать, что волк останется ни с чем.

23. Окружение десанта. Оказывается, хватит даже одного нолика за ход! Надо ставить нолики достаточно далеко от крестиков и выстраивать большой квадрат, из которого крестики не смогут вырваться. Для этого надо ставить нолик в той точке квадрата, до которой крестикам ближе всего добираться по вертикали или горизонтали. Если таких клеток несколько, то ставить в любую из них. Остается доказать, что эта стратегия выигрышная.

24. Красный квадрат. Если противник не дает сделать квадрат некоторого размера, то надо удваивать сторону квадрата.

25. Игра в раскраску. Есть известная теорема о раскраске карт, из которой следует, что если первый заранее нарисует все кружки, то второй сможет их раскрасить в 4 цвета. Но если первый задаёт второму определенный порядок раскраски и конструирует карту по ходу игры, то первому может не хватить никакого конечного числа цветов.

Достаточно доказать (по индукции), что если Петя умеет создать карту, у которой есть k доступных цветов (т.е. карту, содержащую k кружочков разного цвета, которые можно соединить с новым кружочком), то он может создать карту, у которой есть k+1 доступный цвет.

Пусть Петя сделал две карты, у каждой из которых есть k доступных цветов. Если их объединение содержит k+1 доступный цвет, то задача решена, а если наборы цветов совпадают, то к одной из карт он добавит новый кружок, соединенный с k цветами первой карты. Ваня выставит новый цвет, который вместе со второй картой даст карту с k+1 доступным цветом.