1.6. Ответы и указания к Тесту №2

1. Войско.  1111. 1 + 10 + 100 + 1000.

2. Карандаши.  8 штук. 2а = 5b; 20b = 4(5b) = 4(2a) = 8a.

3. Дроби.  55/126 или 7/16 или 275/630. Приведем к общему знаменателю: 27/63 < x < 28/63; 270/630 < x < 280/630.

4. Максимум. Укажем один из 16 возможных вариантов слагаемых: 97531 + 86420. Цифры 9 и 8 стоят в первых разрядах, 7 и 6 стоят во вторых разрядах и т.д.

5. Пешком. 45 минут. Если заменить время «пешком» на время «автобусом», то экономится 15 минут. Значит, если заменить время «автобусом» на время «пешком», то прибавится 15 минут.

6. Делимость.  166. Это числа делящиеся на 6, т.е. каждое шестое число. 1000 при делении на 6 дает частное 166.

7. Частное.  Частное не изменится, а остаток возрастет в 3 раза. У Пусть а = вс + d, где с – частное, d – остаток, тогда 3а = (3в)с + 3d.

8. Границы. 1 < a – b < 3. Разность наименьшая, когда a – наименьшее, b – наибольшее.

9. Тракторы. 28 ч. Скорость работы 10 тракторов 30/8 га/ч. Время вспашки 105/(30/8) = 105•8/30 = 28.

10. Гуси.  36 гусей. Если х – размер стаи, то х + х + х/2 + х/4 + 1 = 100.

11. Вруны.  6 правдивых. Все врунами быть не могут, поскольку врун про вруна на может сказать правду. Начнем с правдивого. Тогда следующий врун. А после вруна опять правдивый и т.д. Каждый второй правдивый.

12. Отрицание.  «Верно, что каждый охотник хотя бы раз в жизни попал в цель» или «Верно, что все охотники иногда попадают». Таких охотников, которые всегда «мажут», не бывает, значит, все охотники не всегда мажут. Иначе говоря, все охотники иногда попадают.

13. Делёж.  5 и 0. Каждый съел по 1 пакету. Второй охотник положил 1 пакет и съел 1 пакет. Он накормил только самого себя.

14. Кубик.  14 белых и 13 черных. На одной грани мы видим 5 белых и 4 черных кубика. В следующем за этой гранью слое кубиков будет наоборот 4 белых и 5 черных. В третьем слое будет опять 5 белых и 4 черных.

15. Развертки.  а, г, е. Надо один из квадратиков принять за основание куба, затем отметить, какие из квадратиков являются боковыми гранями, а какой – крышкой.

16. Ряд.  13 18 19 13 18 19 13 18 19. Рассмотрим первые три числа и три числа, начиная со второго. У них есть два общих числа, сумма которых 37. Следовательно четвертое число совпадает с первым и равно 13. Аналогично, седьмое число равно 13.

17. Нули.  20 нулей. Сгруппируем двойки пятерки парами. Получится 20 пар.

18. Гири.  Например, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Если надо взвесить 1 г, то хватит одной гири в 1 г. Если надо взвесить еще 2 г, то нужна еще одна гиря, например 2 г. Тогда можно взвесить и 3 г. Если надо взвесить 4 г, то нужна еще одна гиря, например, 4 г. Теперь можно взвесить любой вес от 1 до 7 г. Нужна гиря 8 г. Теперь можно взвесить все веса до 15 г и т.д.

1.7. Математические игры

Во всех приведенных задачах играют двое, и при правильной игре всегда побеждает один и тот же игрок (первый или второй). Решением задачи является указание выигрышной стратегии (алгоритма выбора хода) либо доказательство, что такая стратегия существует. Во всех задачах игроки ходят по очереди.

1. Камни 1. В куче 20 камней. Двое по очереди берут из кучи 1 или 2 камня по своему выбору. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет при правильной игре, и как надо играть? А если камней 21?

2. Камни 2. Есть две кучи камней, 10 и 15 камней, и 2 игрока, которые за ход могут взять любое число камней, но только из одной кучи. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет при правильной игре?

3. Камни 3. Есть 2 кучи камней, 10 и 12 камней. За ход разрешается разделить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?

4. Крестики-нолики 1. Найдите для первого игрока выигрышную стратегию в игре крестики-нолики «3 в ряд» на нарисованной доске.

5. Пятаки. Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол так, чтобы монеты не не накрывали друг друга. Кто не может положить монету – проигрывает. Кто выиграет при правильной игре?

6. Кони. Двое по очереди ставят на шахматную доску 88 по одному коню на поле, которое не бьют другие кони. Кто не сможет поставить коня – проиграл. Кто выиграет при правильной игре? А если доска размером 77?

7. Дубликаты. Винни Пух и Пятачок играли в слова (например, кто больше придумает названий рек). Винни Пух придумал 10 слов, а Пятачок только 5. Они называют слова по очереди, причем повторять уже названные слова нельзя. Проигрывает тот, кто при своем ходе не сможет назвать новое слово. Начинает Винни Пух. Придумайте такие слова и такие ходы игроков, что выиграет Пятачок.

8. Фокус. Кот Базилио предложил игру. Буратино кладёт на стол 10 золотых монет: 5 гербом вверх и 5 гербом вниз. Затем любые 5 монет он закрывает рукой, а Кот Базилио, не глядя, переворачивает несколько из оставшихся пяти монет. Если число монет, лежащих гербом вверх, под рукой у Буратино будет равно числу монет, лежащих гербом вверх, среди оставшихся, то Кот забирает себе монеты, а если не равно, то Кот даёт Буратино свои 10 монет. Почему Кот гарантированно выиграл?

9. Сумма. Даны 10 чисел: -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, -9, 10. Двое по очереди выбирают по одному числу, пока числа не кончатся. Затем каждый складывает свои 5 чисел. Побеждает тот, у кого сумма больше по абсолютной величине. Докажите, что первый всегда сможет выиграть.

10. Ладьи 1. Двое по очереди ставят на шахматную доску ладьи так, чтобы ни одна ладья не била другую. Кто не сможет поставить ладью, тот проиграл. Кто выиграет?

11. Шоколадка. Двое по очереди ломают плитку шоколада размером 5х8 долек. Они отламывают вдоль канавок по прямой от любого уже полученного куска любой возможный кусок. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?

12. Ладьи 2. Двое ставят ладьи на шахматную доску. Проигрывает тот, после чьего хода вся доска оказывается побитой ладьями. Кто выигрывает?

13. Король. Король стоит на поле h8. Разрешается за ход сдвинуть его вниз или влево. Выигрывает тот, кто поставит короля на а1. Кто выиграет при правильной игре? А если король стоял на f8?

14. Хорды. На окружности лежат 20 точек. За ход можно соединить любые две из них хордой так, чтобы она не пересекала проведенные ранее хорды. Разрешается, чтобы хорды выходили из одной точки. Проигрывает тот, кто не сможет провести хорду. Кто выиграет: начинающий или его партнер?

15. Тупик. На плоскости отмечено 6 точек. Двое по очереди соединяют две точки, причем каждый проводит очередной отрезок из той точки, где закончил партнер. Кто не может провести отрезок, – тот проиграл. Отрезки могут пересекаться. Кто выиграет при правильной игре? (Любые две точки можно соединять только один раз).

16. Ломаная. На окружности дано 99 точек. Двое по очереди соединяют отрезками любые две точки, не соединенные ранее. Каждый хочет построить замкнутую ломаную. Кто выиграет при правильной игре? (Отрезки могут пересекаться.)

17. Минусы. Играют двое. Перед ними на бумаге в цепочку написано несколько минусов. Каждый по очереди переправляет 1 или 2 соседних минуса на плюс (минусы соседние, если стоят рядом). Выигрывает тот, кто переправит последний минус. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер, и как надо играть, если вначале написано: а) 7 минусов; б) 8 минусов; в) k минусов?

18. Ромашка. Двое по очереди отрывают лепестки у ромашки: 1 или 2 рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре, если у ромашки а) 38 лепестков, б) 39 лепестков?

19. Крестики-нолики 2. Игра в крестики-нолики на доске 1010. Двое ходят по очереди, пока доска не заполнится. За каждую пятерку, стоящую подряд (возможно, по диагонали), дается очко. Кто выигрывает при правильной игре?

20. Перехват. Остап Бендер решил дать сеанс одновременной игры Карпову и Каспарову. Один из них должен играть белыми, а другой – черными. Остап уверен, что он или сведет обе партии к ничье, или одну выиграет. Как он собирается играть?

21. Ладьи 3. В противоположных углах клетчатой доски 8х8 ставятся черная и белая ладьи, остальные поля заполняются серыми пешками. Два игрока ходят по очереди, каждый своей ладьей. Начинают белые. Каждым ходом игрок обязан что-нибудь съесть: серую пешку или ладью противника. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

22. Волк и овцы. Игра происходит на бесконечной плоскости. Играют двое: один передвигает одну фишку-волка, другой – 50 фишек-овец. После хода волка ходит какая-нибудь из овец, затем после следующего хода волка опять какая-нибудь из овец и т.д. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции волк поймает хотя бы одну овцу?

23. Окружение десанта. Двое играют на бесконечной клетчатой плоскости. Первый ставит крестики, причем обязательно в клетку, соседнюю с каким-либо крестиком, а второй ставит сразу по 3 нолика в любые места доски. Смогут ли нолики окружить крестики? Изучите общий случай такой игры (если за ход ставится n ноликов).

24. Красный квадрат. На бесконечном листе клетчатой бумаги играют двое: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет, второй окрашивает произвольную не закрашенную клетку в синий цвет и т.д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-либо четырех красных клеток образовали квадрат со сторонами параллельными линиям сетки, а второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?

25. Игра в раскраску. Играют двое. Петя на листе бумаги рисует по одному кружку и соединяет каждый очередной кружок, если хочет, с предыдущими кружками. Линии могут быть любой формы, но они не должны пересекаться. Ваня раскрашивает очередной кружок в какой-то цвет, но так, чтобы кружки, соединенные линией, имели разный цвет. Петя выигрывает, если он заставит Ваню использовать больше, чем заданное число цветов. Может ли Петя выиграть, если у Вани в запасе 4 цвета? 5 цветов? n цветов?