4.2. Уточнение понятия стратегии

Стратегия игрока в играх с несовершенной информацией должна указывать, какие действия этот игрок выберет, если окажется в данном информационном множестве. Поскольку в играх с совершенной информацией в каждом из информационных множеств находится только одна вершина, то такая модификация определения стратегии полностью согласуется с данным ранее определением. Пользуясь понятием стратегии, мы можем распространить концепцию равновесия по Нэшу на динамические игры с несовершенной информацией. Определение ничем не будет отличаться от данного ранее.

В играх с несовершенной информацией определение совершенного равновесия в подыграх совпадает с данным выше определением для игр с совершенной информацией. Однако в играх с несовершенной информацией следует дать несколько другое определение подыгры. Отличие состоит в том, что подыгра может начинаться не из любой вершины. Следует потребовать, чтобы вместе с каждой вершиной, содержащаяся в подыгре, содержалось и всё информационное множество, содержащее данную вершину. Например, в игре, дерево которой показано на рисунке, вершины ,  и  не являются начальными вершинами подыгр. Таким образом, в этой игре нет собственных подыгр.

Рис. 10.

Заметим, что не к любой игре с несовершенной информацией можно применить алгоритм обратной индукции. Игра на Рис. 10. представляет собой как раз такую игру, в которой невозможно найти решение с помощью обратной индукции. Игрок 3 в этой игре не знает, в какой именно из двух вершин информационного множества он находится, поэтому он не может без каких-либо дополнительных предположений выбрать между двумя имеющимися альтернативами. Концепция решения подобных игр рассматривается с помощью совершенного байесовского равновесия.

Здесь мы рассмотрим лишь класс игр, для анализа которых можно использовать (при естественной его модификации) алгоритм обратной индукции. Эти игры можно назвать играми с почти совершенной информацией. Другое название – многоэтапные игры с наблюдаемыми действиями. Такие игры можно разбить на несколько этапов: t = 1, ..., T, каждый из которых представляет собой одну или несколько статических игр. В рамках t-го этапа игроки одновременно выбирают действия, причем каждый игрок знает всю предысторию, т.е. какие действия выбрали другие игроки на предыдущих этапах (1, ..., t – 1); более того, предыстория игры является общеизвестной. Пример такой игры – повторяющаяся конечное число раз статическая игра. Заметим, что множества стратегий некоторых игроков в этих статических играх могут быть пустыми.

Сначала при использовании обратной индукции на последнем, T-м, этапе находятся равновесия по Нэшу всех игр этого этапа. Затем, каждая их этих игр заменяется конечной вершиной. Ей сопоставляются выигрыши, соответствующие каждому равновесию по Нэшу. Тем самым мы получаем игру с T–1 этапом и т.д.

Игры с почти полной информацией удобны для анализа, поскольку каждая статическая игра (соответствующего этапа) начинает одну из подыгр. Этапы можно рассматривать последовательно, а это фактически и означает, что в них не возникает трудностей с использованием обратной индукции.

Рассмотрим пример игры с почти полной информацией и использованием обратной индукции.

Игра 18. «Набеги на банки». Два инвестора вложили в банк одинаковые денежные суммы (например, по 2 рубля). Банк обещает им вернуть через 3 месяца по 3 рубля. Они могут взять деньги из банка через 1, 2 или 3 месяца, однако банк сможет вернуть только половину общей суммы сделанных инвестиций, если вкладчики потребуют деньги раньше срока (через 1 или 2 месяца). При этом если оба потребуют деньги, то получат по 1 рублю, а если деньги потребует только один, то он получит 2 рубля, а другой вкладчик не сможет получить ничего.

Дерево игры имеет вид (Рис. 11.)

Рис. 11.

R обозначает «забрать деньги», L – «не забирать». Игра происходит в 2 этапа, на каждом из которых вкладчики одновременно решают, забирать ли деньги. Первый этап происходит по прошествии 1 месяца после вложения денег, второй – по прошествии 2 месяцев.