Определение

Подыгра игры G, где G – игра с совершенной информацией в развернутой форме, – это игра, построенная на основе исходной игры. Начальной вершиной подыгры служит любая вершина исходной игры, кроме конечных. В подыгру входят все вершины, следующие за ее начальной вершиной. Выигрыши в подыгре совпадают с выигрышами в соответствующих конечных вершинах полной игры.

Собственная подыгра – это подыгра, начальная вершина которой не совпадает с начальной вершиной полной игры.

В рассматриваемой игре есть 3 подыгры, одна из них – сама игра и две собственных подыгры, начинающиеся в вершинах  и .

Основываясь на требовании динамической согласованности, можно ввести концепцию равновесия, которая усилила бы концепцию Нэша.

Определение

Совершенным равновесием в подыграх называется набор стратегий такой, что он является равновесием по Нэшу в полной игре, а соответствующие части этого набора стратегий являются равновесиями по Нэшу во всех собственных подыграх этой игры.

Используем данное определение для анализа модифицированной игры «Выбор компьютера». Представим подыгру, начинающуюся в вершине , в нормальной форме.

Ее матрица выигрыша имеет вид

	Игрок 2
	IBM	Mac
Игрок 1	c	b
	a + c	a

Игрок 1 не осуществляет в этой подыгре выбора. Игрок 2 имеет две стратегии: IBM и Mac.

В данной игре есть единственное равновесие по Нэшу. В нем 2-й игрок выбирает IBM. Таким образом, чтобы равновесие по Нэшу в исходной игре было совершенным, требуется, чтобы оно предписывало в вершине  выбор IBM. Набор стратегий Mac и (Mac, Mac) не удовлетворяет этому требованию, поэтому он не может быть совершенным равновесием в подыграх.

Во второй собственной подыгре, которая начинается в вершине , в равновесии по Нэшу 2-й игрок выбирает Макинтош. Поэтому набор стратегий IBM и (IBM, IBM) не является совершенным равновесием в подыграх.

С другой стороны, набор IBM и (IBM, Mac) является равновесием по Нэшу в полной игре и соответствует равновесиям по Нэшу в каждой из собственных подыгр. Поэтому данный набор стратегий является совершенным равновесием в подыграх. Видим, что он совпал с тем решением, которое мы раньше получили, применив обратную индукцию. Это совпадение не является случайным, как показывает следующая теорема.

Теорема 6

В игре с совершенной информацией и конечным числом ходов множество решений, получаемых обратной индукцией, совпадает с множеством совершенных равновесий в подыграх.

Нормальная форма игры может быть очень громоздкой. Использование Теоремы 6 позволяет сильно упростить поиск совершенных равновесий в подыграх, поскольку не требуется записывать игры в нормальной форме и находить в них равновесия по Нэшу.

Например, в игре «Рэкет», рассмотренной выше, стратегия фирмы должна указывать, как именно фирма будет реагировать на каждый из возможных уровней , т.е. функцию y(α). Поэтому процесс поиска равновесия по Нэшу по существу включает максимизацию в функциональном пространстве. Использование обратной индукции позволяет упростить эту задачу.

Следует отметить, что многие игры являются довольно сложными, и, даже применяя обратную индукцию, равновесие в них найти сложно. Характерным примером является игра в шахматы. Поскольку это конечная игра с совершенной информацией, то в ней должно существовать по край ней мере одно решение, получаемое обратной индукцией, и, соответственно, совершенное равновесие в подыграх. Тот факт, что в шахматах существует решение, известен уже давно, однако найти такое решение в настоящее время не представляется возможным даже с применением компьютера. Понятно, что если игроки обладают ограниченными способностями, то совершенное равновесие в подыграх может быть не очень реалистичным предсказанием результата игры.