Теорема 1

Если x^* = (x₁^*, ..., x_m^*) – равновесие по Нэшу в некоторой игре, то ни одна из составляющих его стратегий не может быть отброшена в результате применения процедуры последовательного отбрасывания строго доминируемых стратегий.

Обратная теорема верна в случае единственности равновесия Нэша

Теорема 2

Если в результате последовательного отбрасывания строго доминируемых стратегий у каждого игрока остается единственная стратегия, x_i^*, то x^* = (x₁^*, ..., x_m^* ) – равновесие по Нэшу.

Доказательства этих двух утверждений можно найти в пособии http://econom.nsu.ru/lib/NFPK/Micro3_Book.pdf, где содержится также более подробное введение в теорию некооперативных игр.

Естественно считать, что разумно определенное равновесие не может быть отброшено при последовательном отбрасывании строго доминируемых стратегий. Теорему 1 можно рассматривать как подтверждение того, что концепция Нэша разумна.

Задача 11. Покажите, что в Игре «Монополистическая конкуренция» единственное равновесие по Нэшу.

Задача 12. Проанализируйте игру «Конкуренция по Курно» для случая, когда издержки линейно зависят от выпуска, т.е. при выпуске _i составляют величину с_i_i.

Задача 13. Найдите равновесие по Нэшу в следующей игре: двое делят между собой 4 ореха. Каждый делает свою заявку на орехи: x_i = 1, 2 или 3. Если x₁ + x₂ ≤ 4, то каждый получает сколько просил, в противном случае оба не получают ничего.

Решение. Матрица выигрышей данной игры имеет вид:

Игра «Орехи»		Игрок 2
		1 орех	2 ореха	3 ореха
Игрок 1	1 орех	1	2	3
		1	1	1 .
	2 ореха	1	2	0
		2	2 .	0
	3 ореха	1	0	0
		3 .	0	0

В этой игре 3 равновесия по Нэшу. В ситуациях, когда игроки берут наборы (1; 3), (2; 2) или (3; 1) орехов, ни один из них не может улучшить свой выигрыш (если Игрок 1 берет 1 орех, то Игроку 2 выгоднее брать 3 ореха, и наоборот: если Игрок 1 берет 3 ореха, то Игроку 2 выгоднее брать 1 орех). Все равновесия можно описать короче: когда сумма заявок равна числу орехов.

Задача 14. Найдите равновесие по Нэшу в обобщенной игре дележа: двое делят между собой 4 рубля. Каждый делает свою заявку: x_i > 0. Если x₁ + x₂ ≤ 4, то каждый получает сколько просил, в противном случае оба не получают ничего.

Указание. Равновесием (решением) по Нэшу в этой игре будет любая ситуация (пара чисел) x₁ > 0, x₂ > 0, такая, что x₁ + x₂ = 4. Докажите, что это равновесие, и других равновесий нет.

Задача 15. Покажите, что в игре «Монополистическая конкуренция» есть единственное равновесие по Нэшу, и его можно получить путем отбрасывания доминируемых стратегий.

Задача 16. Докажите, что если у каждого из игроков существует строго доминирующая стратегия, то эти стратегии составляют единственное равновесие по Нэшу.

Указание. Доминирующую стратегию нельзя улучшить.

Задача 17. Докажите, что если у каждого из игроков существует доминирующая стратегия, то набор доминирующих стратегий составляет равновесие по Нэшу.

Пример нескольких равновесий по Нэшу дает рассмотренная выше игра «Аукцион Викри».

Задача 18. Найдите все равновесия в дискретном варианте аукциона Викри.

Указание. Все равновесия по Нэшу можно найти путем построения отклика каждого игрока на каждую стратегию его конкурента.

Стратегия назначения своей оценки p_i = v_i является доминирующей (но не строго домиирующей) стратегией каждого участника аукциона. Поэтому в данной игре существует равновесие по Нэшу, которое является равновесием в доминирующих стратегиях. Но в дополнение к равновесию в доминирующих стратегиях в этой игре много и других равновесий по Нэшу.

Опишем некоторые аналоги таких равновесий по Нэшу для аукциона с любым числом участников, в котором участники не ограничены в выборе заявок.

Докажем, что для любого игрока i и при цене предмета аукциона p (0 < p ≤ v_i) существует равновесие по Нэшу, в котором игрок i получает этот предмет и платит за него p. Покажем это. Пусть v – наибольшее среди v₁ … v_n, положим

p_i = v + 1, p_j = p, j  i.

Тогда набор стратегий (p₁, p₂, … p_n) – равновесие по Нэшу.

Действительно, для участника j, j  i любое уклонение, которое меняет исход аукциона (распределение платежей), приводит к отрицательному выигрышу игрока j (вместо нулевого при выборе равновесной стратегии). С другой стороны, любое уклонение для игрока i, которое меняет исход аукциона, дает ему выигрыш 0 вместо v_i – p > 0.

Отметим, что результат теорем 1 и 2 относятся только к строгому доминированию. Тем не менее можно получить некоторый аналог теоремы 1, который попробуйте доказать с помощью следующей задачи.

Задача 19. Покажите, что если при отбрасывании доминируемых (но не строго доминируемых) стратегий у каждого игрока остается только одна стратегия, то набор этих оставшихся стратегий составляет равновесие по Нэшу.

Задача 20. Покажите, приведя соответствующий пример, что результат отбрасывания доминируемых стратегий зависит от последовательности, в которой они отбрасываются.

Задача 21. Покажите, приведя пример, что при отбрасывании доминируемых (но не строго доминируемых) стратегий можно отбросить равновесие по Нэшу.