2.5. Равновесие по Нэшу

Кроме ситуаций, рассмотренных в предыдущем разделе, бывают ситуации, которые естественно моделировать, исходя из предположения, что игроки при принятии решений ориентируются на предполагаемые действия партнеров.

Если считать, что все игроки рациональны, так что каждый выбирает стратегию, дающую ему наибольший выигрыш при его ожиданиях, то эти предположения приводят к концепции решения, называемой равновесием по Нэшу (равновесием Нэша). В равновесии у каждого игрока нет оснований пересматривать свои стратегии.

Формально равновесие по Нэшу определяется следующим образом.

Определение

Набор стратегий x является равновесием по Нэшу,¹ если стратегия каждого игрока x_i является наилучшим для него откликом на данные стратегии других игроков x_-i:

u_i(x_i, x_-i) =   u_i(y_i, x_-i) для каждого i = 1, ..., n.

Для нахождения равновесий по Нэшу удобно использовать так называемый отклик. Отклик R_i(x _–i) игрока i на стратегии x _–i других игроков – это стратегия (или несколько стратегий) игрока i, которая дает ему максимальный выигрыш при условии, что другие игроки используют стратегии x_–i. Другими словами, каждая стратегия x_i  R_i(x_–i) i-го игрока является его откликом на набор стратегий других игроков x _–i, если выполняется соотношение

u_i(x_i, x _–i) =   u_i(y, x _–i)     

Введение понятие отклика позволяет записать определение равновесия по Нэшу следующим образом: набор стратегий x является равновесием по Нэшу, если для каждого i выполняется соотношение

x_i   R_i(x_-i)  

Другими словами, стратегия каждого игрока является его откликом на данные стратегии других игроков. Если отклик каждого игрока однозначен (является функцией), то каждое равновесие по Нэшу является решением следующей системы уравнений

x_i    R_i(x_-i)     i = 1, ..., n.

В матрице игры «Монополистическая конкуренция» отклики игроков представлены подчеркиванием выигрышей, соответствующих оптимальным действиям. Так, откликом Игрока 2 на стратегию «Низкая цена» Игрока 1 является стратегия «Высокая цена». Равновесие по Нэшу в данной игре – исход (клетка), где оба выигрыша оказываются подчеркнутыми. Это пара стратегий («Средняя цена»; «Средняя цена») совпадает с равновесием, найденным путем вычеркивания доминируемых стратегий. Это обстоятельство не является случайным, как показывает приведенная далее Теорема 1.

Проиллюстрируем использование функций отклика на примере игры, в которой игроки имеют континуум стратегий.

Игра 8. «Избирательные блоки». Формируются два избирательных блока, которые будут претендовать на места в законодательном собрании города N-ска. Каждый из блоков может выбрать одну из трех ориентаций: «левая» (L), «правая» (R) и «экологическая» (E). Каждая из ориентаций может привлечь 50, 30 и 20% избирателей соответственно. Известно, что если интересующая избирателя ориентация не представлена на выборах, то избиратель не будет голосовать. Если блоки выберут разные ориентации, то каждый получит соответствующую долю голосов. Если блоки выберут одну и ту же ориентацию, то голоса соответствующей группы избирателей разделятся поровну между ними. Цель каждого блока – получить наибольшее количество голосов.

Решение. Есть два равновесия по Нэшу: Если один из игроков выбрал левую ориентацию, то другому ничего не остается, как выбрать правую. Для обоих игроков такое сочетание стратегий неулучшаемо.

«Избирательные блоки»		Блок 2
		Левая	Правая	Эколог.
Блок 1	Левая	25	30	20
		25	50	50
	Правая	50	15	20
		30	15	30
	Эколог.	50	30	10
		20	20	10

Замечание. В игре нет доминирующих стратегий.

Задача 10. Предположим, что в некоторой игре двух лиц, каждый из игроков имеет 2 стратегии, и существует единственное равновесие по Нэшу. Покажите, что в этой игре хотя бы у одного из игроков есть доминирующая стратегия.

Решение. Предположим противное, т.е. у каждого игрока нет доминирующей стратегии.

«Избирательные блоки»		Игрок 2
		1 стратегия	2 стратегия
Игрок 1	1 стратегия
	2 стратегия

Пусть, например, ситуация ( , ) – равновесие по Нэшу. Тогда > , > . Но, поскольку у игроков нет доминирущих стратегий, то . Но тогда ситуация является вторым равновесием по Нэшу, что противоречит условию задачи.

Игра 9. «Конкуренция по Курно двух производителей на рынке однородного товара»

Два производителя одновременно (независимо друг от друга) выбирают объем выпуска производимого им товара _i. Цена, по которой они могут его продать, зависит от объемов выпуска как

x = 1 – ₁ – ₂.

Цель каждого производителя – максимизировать прибыль (для упрощения анализа будем считать, что издержки производства этого товара равны нулю).

u_i = x_i 

(Эта запись означает, что мы ищем максимум функции u_i по переменной _i.)

Максимизируем выигрыш первого производителя по ₁,

u₁ = ₁(1 – ₁ – ₂),

считая фиксированной величину ₂ (выпуск Игрока 2). Минимум квадратичной функции (условие первого порядка) удовлетворяет условию:

1 – 2 ₁ – ₂ = 0.

Получаем, что оптимальный отклик Игрока 1 на выпуск Игрока 2 дается формулой:

₁ = .

Мы получаем единственный отклик Игрока 1 на стратегию Игрока 2.

Аналогично, ищем максимум функции

u₁ = ₁(1 – ₁ – ₂),

Отклик второго производителя на стратегию первого получаем как решение уравнения:

1 – ₁ – 2 ₂ = 0.

Получаем отклик второго на выпуск первого:

₂ = .

Решив систему двух линейных уравнений

₁ = , ₂ = .

найдем равновесие по Нэшу этой игры:

 =  = 1/3.

Преимущество использования концепции равновесия по Нэшу состоит в том, что можно найти решение и в тех играх, в которых отбрасывание доминируемых стратегий не позволяет этого сделать.

Связь между введенными концепциями решений описывается следующими утверждениями.