Определение
Исход игры x* является равновесием в доминирующих стратегиях, если стратегия каждого игрока в этом исходе является его доминирующей стратегией.
Примером ситуации, в которой у каждого игрока есть доминирующая стратегия, но нет строго доминирующей стратегии, является аукцион Викри.
Игра 3. «Аукцион Викри». Некий предмет продается с аукциона. Каждый из окупателей (i = 1, ..., m) подает в тайне от других свою заявку – предлагаемую им цену pi. Побеждает участник, предложивший самую высокую цену, но платит он самую большую цену, предложенную другими покупателями. Если самую высокую цену предложат сразу несколько участников, то победитель определяется жребием.
Другими словами, если i-й участник окажется победителем, то его выигрыш составит vi – p, где vi – ценность для него данного предмета, p – цена, которую он должен заплатить (выигрыш остальных покупателей будет равен нулю).
Особенность аукциона Викри состоит в том, что «правдивая» стратегия является доминирующей стратегией для каждого участника. «Правдивая» стратегия заключается в том, что участник называет цену, совпадающую с ценностью для него данного предмета (pi = vi).
Проверим это. Сначала проанализируем данную игру в случае, когда есть всего два участника (m = 2), а предлагаемые цены (заявки участников) могут принимать только конечное число значений.
Пусть, например, v1 > v2, и v1– v2 = 1. Предположим, что заявки могут принимать значения v1–2, v1–1, v1, v1 +1 или, в других обозначениях v2–1, v2, v2+1, v2 +2.
Задача 4. Опишете игру, соответсвующую аукциону Викри (укажите игроков, их стратегии и функции выигыша).
Ответ. Если при равенстве заявок предмет получает любой участник с вероятностью ½ и если его выигрыш оценивается (средней) величиной, то матрица выигрышей имеет вид:
Аукцион Викри |
Игрок 2 (выбор p2) |
||||
v2–1 = v1–2 |
v2 = v1–1 |
v2+1 = v1 |
v2+2 = v1+1 |
||
Игрок 1 (выбор p1) |
v1–2 |
(ничья) 1/2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
v1–1 |
0 |
(ничья) 0 |
0 |
0 |
|
2 |
1/2 |
0 |
0 |
||
v1 |
0 |
0 |
(ничья) –1/2 |
-1 |
|
2 |
1. |
0 |
0 |
||
v1+1 |
0 |
0 |
0 |
(ничья) -1 |
|
2 |
1 |
0 |
-1/2 |
||
Например, в левой верхней клетке, если выиграет Игрок 1, то его выигрыш составит 2, но поскольку он выигрывает с вероятностью ½, то его средний выигрыш равен 1.
Стратегия pi = vi является доминирующей (но не строго доминирующей) стратегией каждого участника аукциона. Поэтому в данной игре существует равновесие в доминирующих стратегиях
Задача 5. Проверьте, что «правдивые» заявки являются доминирующими стратегиями каждого игрока, но не строго доминирующими стратегиями.
Вернемся к анализу аукциона с любым числом участников, в котором участники не ограничены в выборе заявок. Покажем, что утверждение задачи 5 имеет место и в случае, когда нет ограничений на величину заявок участников. Для простоты будем по-прежнему предполагать, что в аукционе два участника. (При большем количестве участников рассуждения будут аналогичными).
Поскольку участники входят в данную игру симметрично, то достаточно рассмотреть мотивацию только одного из них, например, 1-го.
Вычислим сначала выигрыши Игрока 1 при разных исходах. Если Игрок 1 назовет более высокую цену, чем Игрок 2 (p1 > p2), то он выиграет аукцион и заплатит p2. При этом его выигрыш составит v1 – p2. Если Игрок 1 назовет более низкую цену, чем Игрок 2 (p1 < p2), то он проиграет аукцион и получит выигрыш 0. Если цены совпадут (p1 = p2), то с вероятностью 1/2 Игрок 1 получит выигрыш v1 – p2, а с вероятностью 1/2 он выигрыш 0. Таким образом, его ожидаемый выигрыш составит (v1 – p2)/2. Окончательно запишем функцию выигрыша Игрока 1:
Чтобы показать, что «правдивая» стратегия, p1 = v1, является доминирующей, нужно показать, что она дает не меньший выигрыш, чем любая другая стратегия. Следует рассмотреть 3 случая: p2 > v1, p2 = v1 и p2 < v1.
Случай p2 > v1. В этом случае Игроку 1 не выгодно выигрывать аукцион, поскольку его выигрыш был бы отрицательный, а в случае проигрыша он получит 0. Поэтому «правдивая» стратегия является одной из оптимальных.
Случай p2 = v1. В этом случае Игрок 1 получит 0. Значит, «правдивая» стратегия даст ему выигрыш не меньший, чем любая другая.
Случа p2 < v1. В этом случае Игроку 1 выгодно выиграть аукцион, поскольку его выигрыш будет положительным. «Правдивая» стратегия обеспечивает ему максимальный выигрыш, v1 – p2.
Мы видим, что «правдивая» стратегия, в самом деле, является доминирующей для Игрока 1. Более того, как несложно увидеть, это единственная доминирующая стратегия. Если он назовет цену ниже или выше своей оценки v1, то можно подобрать такую цену Игрока 2, что Игрок 1 потеряет по сравнению с p1 = v1.
Проведя аналогичные рассуждения для Игрока 2, мы сделаем вывод, что в этой игре существует (единственное) равновесие в доминирующих стратегиях:
p1 = v1, p2 = v2.