В. П. Бусыгин, А. К. Ковальджи.

Выбор стратегии: вопросы и задачи: Материал для учителей математики и экономики в средней школе. М.: Династия, МФТИ, ИЭПП, 2006.

Введение

Цель настоящей брошюры – помочь читателям освоить экономический образ мышления. Базой такого мышления является логика и навык работы с числами и выражениями. Первая часть предлагаемой брошюры посвящена проверке и тренировке необходимых математических навыков.

Экономическое мышление сегодня является частью стратегического мышления, навыки которого формирует теория игр. Вторая часть брошюры представляет введение в теорию игр, доступное для вдумчивого и заинтересованного старшеклассника. В частности, не предполагается знакомства читателя с математическим анализом.

Брошюра будет полезна учителям, научным работникам и бизнесменам, которые хотят получить представление о приложениях элементарной математики к экономическому анализу и хотят использовать результаты этого анализа для успеха своей деятельности.

Авторы: к.ф.-м.н., сотрудник Института экономики и организации промышленного производства В. П. Бусыгин и организатор математических олимпиад заместитель директора Лицея «Вторая школа» по научной работе А. К. Ковальджи.

1. Развивающие математические игры

Сначала читателю предлагается выполнить тесты, которые покажут степень его готовности к восприятию дальнейшего материала, а также уровень его математических способностей. Тесты №1 и №2 использовались при наборе в 7-9 физико-математические и экономико-математические классы Лицея «Вторая школа» г. Москвы.

Примерно из 1000 школьников 7-11 классов, писавших тесты №1 и №2, только 5 человек правильно решили все задачи, что составляет 0,5%. В 90% случаев у людей есть пробелы, а в 10% случаев допущены «глупые» ошибки. Невнимательность, конечно, меньшее зло, чем непонимание, но представьте себе водителя, который иногда путает газ и тормоз.

Тесты составлялись по принципу: какие задачи должен уметь решать обычный выпускник средней школы, когда он «всё» забудет, – забудет квадратные уравнения, синусы и логарифмы, – но всё же у него должны в «сухом остатке» сохраниться простейшие навыки решения практических задач.

Затем читателю предлагается набор игровых логических задач, которые традиционно используются на математических олимпиадах и разбираются на математических кружках. Эти игры исчерпываются, как только найдена выигрышная стратегия. Часть игр приводится с решениями, а другая – оставлена для самостоятельной работы.

1.1. Тест-разминка (на 30 минут)

На каждый вопрос можно ответить устно за несколько секунд. Если Вам не хватит 30 минут, то все равно решайте задачи до конца, чтобы узнать, сколько ошибок Вы сделали.

Если в одной задаче несколько вопросов, то «плюс» ставится за верные ответы на все вопросы. Обобщенным результатом является число плюсов.

Далее предложены критерии для оценки вашей готовности к восприятию материала брошюры. Цель тестов – проверить минимально необходимый технический уровень и элементарную логическую культуру.

Вы готовы к восприятию содержания и языка теории игр, если получили не менее 35 плюсов из 40 (допустимы ошибки в задачах 31 и 32, и еще допустимо не более трех ошибок «по невнимательности».

Если получено менее 30 «плюсов», то ситуация тревожная, и надо понять, в каких типах задач и почему сделаны ошибки. Возможны два «диагноза»: либо Вы слишком невнимательны и «спотыкаетесь на ровном месте», либо какие-то темы у Вас «хромают».

1. Укажите первые три простых числа ________

2. Сократите дробь 45/54 ______

3. Найдите частное ____ и остаток ____ от деления 44 на 5.

4. Выделите целую часть 17/7 _____

5. Переведите смешанную дробь в обыкновенную 2 + 3/4 _____

6. Переведите в десятичную дробь 1/8 _______

7. Переведите в обыкновенную дробь 0,75 _____

8. Укажите число, которое больше 0,1, но меньше 0,11 _______

9. На сколько 2/3 больше чем 4/9? _______

10. Во сколько раз 2/3 больше чем 4/9? _______

11. Какая дробь больше 5/7 или 7/10? _____

12. Разделите 112233445566778899 на 11 ___________________

13. Найдите наибольший общий делитель чисел 84 и 90 _____

14. Приведите дроби 1/36 и 1/54 к наименьшему общему знаменателю _________

15. Килограмм сыра стоит 80 руб. Сколько стоит 300 г сыра? _____

16. Сколько процентов составляет 2 от 5? _______

17. Найдите 3% от 150 ______

18. Если 5% числа равны 10, то чему равно число? ______

19. Прибыль первой фирмы уменьшилась в 2 раза. На сколько процентов она уменьшилось? ______. Прибыль второй фирмы увеличилась в 2 раза. На сколько процентов она увеличилось? ______

20. Решите уравнение _______

21. Решите уравнение _______

22. Решите уравнение _______

23. Турист прошел за 4 часа 18 км. С какой скоростью он шел? ____

24. Турист прошел 14 км со скоростью 4 км/ч. Сколько времени он шел? _____

25. Турист шел 3 часа со скоростью 3,5 км/ч. Какое расстояние он прошел? ______

26. Один трактор вспахивает 3 га за 8 часов. За какое время 10 тракторов вспашут 30 га? _______

27. Стог сена корова съедает за 3 дня, а коза – за 6 дней. За сколько дней они съедят стог сена вместе? _______

28. На числовой прямой А(-10), В(50), найдите координату середины отрезка АВ _____

29. Если периметр квадрата 20 см, то его площадь ______

30. Если диаметр круга 4 см, то его радиус _____

31. Сколько вершин у куба? _____ Сколько ребер? _____ Сколько граней? _____

32. Если сторона второго квадрата в 1,5 раза больше первого, то во сколько раз больше его периметр ______, во сколько раз больше площадь? ______

33. Если считать от первого вагона, то вагон-ресторан – 8-й, а если считать от последнего вагона, то вагон-ресторан – 7-й. Сколько вагонов в поезде? _______

34. Бревно пилили 5 раз. Сколько кусков получилось? _______

35. Сколько существует трехзначных чисел (от 100 до 999)? _______

36. Деревни А, В и С расположены вдоль шоссе в указанном порядке. Расстояние от А до В в пределах от 3 до 4 км, расстояние от В до С – в пределах от 1 до 2 км. В каких пределах находится расстояние от А до С? От ____ до ____

37. На карте указан масштаб 1:250000 (единицы измерения одинаковые). Расстояние между двумя пунктами на карте 1 см. Сколько это километров? ________

38. Круглый пирог разрезали по 10-и различным диаметрам (от края до края через центр). Сколько кусков получилось? _______

39. Квадратный пол со стороной 4 м покрывают квадратной кафельной плиткой со стороной 20 см. Плитки укладывают вплотную. Сколько плиток понадобится? _______

40. За доллар дают 30 руб., за евро дают 36 руб. Сколько долларов дают за евро? ______