Сравнение силы роста простых и сложных процентов

При одной и той же ставке i наращение сложных процентов идет быстрее, чем простых процентов, при длине периода наращения более единичного и медленнее, если период наращения менее единичного. Для этого достаточно убедиться, что

(1+i)^t > (1+ti), если t>1 и

(1+i)^t < (1+ti), если 0<t<1

Мультиплицирующие и дисконтирующие множители

Мультиплицирующий множитель показывает, во сколько раз возрастает за n лет сумма, положенная в банк под i процентов годовых:

M(n,i)=(1+i)ⁿ

Величина M(n,i) есть будущая стоимость одной денежной единицы- через n лет при ставке процента i.

Дисконтирующий множитель показывает долю, которую составит начальная сумма, положенная в банк под i процентов годовых, от наращенной к концу n-го года:

D(n,i)=1/M(n,i)=(1+i)^-n

Величину D(n,i) называют еще приведенной или современной стоимостью одной денежной единицы через n лет при ставке процента i.

40 Эквивалентность во времени денежных сумм. Математическое дисконтирование. Номинальная и эффективная процентные ставки. Эквивалентность процентных ставок

Для процедур наращения и дисконтирования могут применяться различные виды процентных ставок. Эквивалентность процентных ставок означает, что при замене одной процентной ставки на другую при соответствующих условиях значение финансового результата не изменится.

!Два контракта называются эквивалентными, если современная стоимость этих контрактов одинакова.

Рассмотрим проблему эквивалентности номинальной и эффективной процентных ставок.

Если период начисления процентов отличается от периодов, к которым приурочена процентная ставка, то реальная ставка будет отличаться от номинальной.

Номинальная ставка указывается в договоре, реальная ставка – это эффективная ставка.

Эффективная процентная ставка – реальная годовая ставка, которая при начислении процентов один раз в год даёт тот же результат, что и начисление процентов m-раз в год по номинальной ставке i.

Напомним, что эффективная процентная ставка – реальная годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m–разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум видам ставок (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу. Эффективная ставка используется для сравнения схем начисления

, (5.1)

откуда

(5.2)

или

. (5.3)

В общем случае для нахождения эквивалентной ставки необходимо приравнять соответствующие множители наращения и из этого равенства определить нужную ставку.

Эффективная ставка может использоваться в промежуточных расчётах задач замены контрактов или договоров.

!!! Две процентные ставки называются эквивалентными, если будучи применённые к одним и тем же суммам за одно и то же время они дают одинаковый результат.

Эквивалентность во времени денежных сумм. Математическое дисконтирование.

Наращение (или прямая задача) – определение будущей стоимости.

Дисконтирование – определение текущей (современной) стоимости, если известна будущая стоимость.

Денежные суммы S(T) в момент T и s(t) в момент t называются эквивалентными по ставке сравнения i, если S(T)=s(t)(1+i)^(T-t). При T>t это означает, что сумма s(t), наращенная по ставке i сложных процентов, превратится в момент T в сумму S(T); однако можно считать, что T может быть и меньше t, тогда это означает, что сумма S(T), наращенная по ставке i сложных процентов, превратится в момент t в сумму s(t). Вместе с тем можно сказать и по-другому: при T>t эквивалентность сумм S(T) и s(t) означает, что сумма S(T), уменьшающаяся при движении в прошлое за каждый единичный промежуток в 1/(1+i) раз, к моменту t превратится в точности в сумму S(T)=S(T)/[ (1+i)^(T-t)]. Такой пересчет будущей суммы к настоящему моменту называется приведением ее или нахождением ее современной величины. Сама же формула сравнения денежных сумм в любые моменты времени наз. математическим дисконтированием.

41. Инвестиционные процессы. Основные характеристики. Анализ инвестиционных процессов.

Сущность, формы, цели и задачи инвестирования. Экономические объекты моделирования: элементы, свойства. Примеры.

Инвестициями являются долгосрочные вложения капитала в различные отрасли хозяйства с целью получения прибыли.

В мировой практике выделяют три основные формы инвестирования:

1.Прямые, или реальные, инвестиции (помещение капитала в промышленность, торговлю, сферу услуг — непосредственно в предприятия).

2.Портфельные, или финансовые, инвестиции (инвестиции в иностранные акции, облигации и иные ценные бумаги).

3.Среднесрочные и долгосрочные международные кредиты и займы ссудного капитала промышленным и торговым корпорациям, банкам и другим финансовым учреждениям.

Прямые инвестиции могут обеспечивать инвестирующим корпорациям либо полное владение инвестируемой компанией, либо позволяют устанавливать над ней фактический контроль. Иногда для этого необходимо иметь не более 10% акционерного капитала.

Портфельные инвестиции — основной источник средств для финансирования акций, выпускаемых предприятиями, крупными корпорациями и частными банками. В послевоенный период объем таких инвестиций растет, что свидетельствует об увеличении количества частных инвесторов. Посредниками же при зарубежных портфельных инвестициях в основном выступают инвестиционные банки (посреднические организации на рынке ценных бумаг, занимающиеся финансированием долгосрочных вложений).

Основные характеристики. Анализ инвестиционных процессов.

Поток платежей – последовательность величин самих платежей (с учетом знака), и времени когда эти платежи происходили. Поток платежей задается: = {(Ri,ti)}

Инвестиционные процессы - это потоки платежей, в которых инвестиции отрицательны, доходы положительны. Пусть {(R_k,t_k)}- инвестиционный процесс- поток платежей R_k в момент времени t_k , знак платежа R_k имеет значение: если он положителен - это доход, если отрицательный- затраты или инвестиции. Все платежи производятся на стыке лет и только в неотрицательные номера лет. Процесс наз. конечным если в нем имеется последний платеж, иначе- бесконечным.

Приведенным чистым доходом NPV наз. сумма всех платежей, дисконтированных к моменту 0 по действующей ставке процента i:

Чистый приведённый доход для бесконечной ренты

Для конечного процесса можно определить наращенный чистый доход- NFV- это сумма всех платежей дисконтированных к моменту t_n последнего платежа по ставке процента i:

Ясно, что NFV=NPV*(1+i)^tn , где t_n - конец инвестиционного потока.

Процесс наз. окупающимся, если NPV>0.

Если рассматривать процессы, у которых все инвестиции происходят в начале проекта, то его можно охарактеризовать внутренней нормой доходности (IRR).

!!!Внутренняя норма доходности IRR – минимальное значение процентной ставки, при которой сумма дисконтированных выплат равна нулю.

Если проект окупается, то IRR>i.

Внутренняя норма доходности IRR определяется из уравнения

Для определения срока окупаемости используется ряд дисконтных выплат, причём рассчитывается нарастающий итог.

Доходность проекта – относительная величина, которая характеризует количество чистого приведенного дохода NPV, полученного на величину инвестиций:

, %

В доходности проекта отрицательной чертой является то, что здесь не учитывается время проекта (в отличии от IRR, где время учитывается).

Экономические объекты моделирования: элементы, свойства. Примеры.

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Между тем, общепризнанного определения понятия модели не существует. Можно использовать следующее определение.

Модель – объект любой природы, который создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает только существенные (с точки зрения разработчика) свойства оригинала.

Общие свойства модели:

1.Субъективность, т.е. она несет на себе печать индивидуальности исследователя;

2.Гомоморфность, т.е. в ней отражаются не все, а только существенные свойства объекта-оригинала;

3.Неоднозначность построения, т.е. возможно существование множества моделей одного и того же объекта-оригинала, отличающиеся целями исследования и степенью адекватности.

Адекватность модели объекту-оригиналу – это свойство данной модели, означающее, что она с достаточной степенью приближения на уровне понимания моделируемого процесса исследователем отражает закономерности процесса функционирования реальной системы во внешней среде.

Под моделирование понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Особенности применения метода математического моделирования в экономике.

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки. Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы. Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования. Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

Классификация моделей экономических систем по масштабу экономических систем

1.Модели одной стороны определенного экономического процесса в системе малого масштаба. Представляют собой весьма простые соотношения между двумя-тремя переменными. Обычно это алгебраические уравнения 2-й или 3-й степени, в крайнем случае система алгебраических уравнений, требующая для решения применения метода итераций (последовательных приближений). Они находят применение на практике, но не представляют интереса, с точки зрения специалистов, в области математического моделирования.

2.Модели экономических процессов в системах малого и среднего масштаба. Характерной чертой таких экономических процессов является их подверженность воздействию случайных и неопределенных факторов. Разработка таких моделей требует принятия допущений, позволяющих разрешить неопределенности. Например, требуется задать распределения случайных величин, относящихся к входным переменным. Эта искусственная операция в известной степени порождает сомнение в достоверности результатов моделирования. Однако другого способа создания математической модели не существует. Среди моделей этой группы наибольшее распространение получили модели систем массового обслуживания (СМО): аналитические и имитационные. Аналитические модели могут использоваться только как модели первого приближения. С помощью имитационных моделей исследуемый процесс может быть описан с любой степенью точности на уровне его понимания постановщиком задачи.

2.Модели больших и очень больших (макроэкономических) систем: крупных торговых и промышленных предприятий и объединений, отраслей народного хозяйства и экономики страны в целом. Создание математической модели экономической системы такого масштаба представляет собой сложную научную проблему, решение которой под силу лишь крупному научно-исследовательскому учреждению.