7. Расстояние до линейных структур.

Линейная структура булевой функции определяется существованием такого вектора, что выражение f(x+a)+f(x) принимает для всеходно и то же значение, равное 0 или 1. Обозначим через LS(n) множество булевых функций, имеющих линейные структуры. Заметим, что LS(n)содержит в себе множество A(n) всех аффинных функций. Для булевой функции f определимрасстояние до линейной структуры как расстояние f до множества LS(n):

.

Расстояние до линейной структуры может быть одним из критериев нелинейности булевой функции. Это вытекает, в частности, из следствия из теоремы 1.

Следствие 2.Для группы J(симметрий расстояния до линейной структурыимеет место включение.

Применим теорему 1 и покажем, что .Пустьи пустьесть линейная структура f, т.е. для всехвыполнено равенство f(x+a)=f(x)=C, где постоянная. Тогда дляравенство

выполняется для всех . Это означает, что-1(a) есть линейная структураf. Отсюда следует, что.

8. Порядок нелинейности.

Для булевой функции обозначим через O(f)— степень члена в алгебраической нормальной форме, имеющего наивысший порядок. Величину O(f) будем называтьпорядком нелинейности булевой функции.Порядок нелинейности, определяемый функциейудовлетворяет требованиям критерия нелинейности в силу следующей теоремы.

Теорема 2.Группа симметрийфункции 0 совпадает с аффинной группой. AGL(n).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО содержит два пункта.

а) Покажем, что . Пустьи выбрана произвольная функция. Вычислим алгебраическую нормальную форму для, используя ее связь с. Bнекоторые нелинейные членымогут исчезать, а некоторые появляться как новые. Однако, члены некоторой степенивне могут впорождать члены степени выше, чем. Отсюда следует, что

.

Эту формулу применим к случаю, когда действие определяется .

Имеем

.

Из приведенных формул следует, что

.

Следовательно, .

б) Покажем теперь, что .

Пусть . Тогда при действиинаимеем нелинейную компонентуи изследует, что. Стало быть, в то время как 0(f)=1. Отсюда вытекает, что.

Из теоремы 2 следует, что другие критерии нелинейности для случая, когда расстояние до функций с порядком нелинейности, не превосходящим k , также остаются инвариантными при действии элементов из AGL(n).

9. Совершенно нелинейные функции.

Булева функция называетсясовершенно нелинейной функцией,если для каждого ненулевого векторазначения функции f(x+a) и f(x) совпадают точно для половины векторов.

Обозначим через множество всех совершенно нелинейных функций и покажем, что для этих функций достигается оптимум расстояния до линейных структур.

Для произвольной функции расстояние до линейных структур можно вычислить следующим образом. Пусть- ненулевой вектор. Тогда пространствоможно разбить нанеупорядоченных пар вида (x, x+a). Обозначим черезчисло элементов множествапар вида (x, x+a), для которых f(x)=f(x+a), а через- число таких пар множества, что.

Любая булева функция может быть получена из функции f путем изменения соответствующего множества f – значений. Таким способом функцию f можно преобразовать в функцию с линейной структурой a путем изменения f - значений либо для x либо для x+а для пары (x, x+a), или путем изменения f - значений, либо x, либо x+a для пары (x, x+a). Таким образом,значений можно изменить так, чтобы получить функциюgс линейной структурой такой, чтодля всех x, азначений изменить так, что получить функциюgс линейной структурой такой, чтодля всех x.Для того чтобы получить любую другую функцию с такой же линейной структурой необходимо изменить по крайней мерезначений. Следовательно,есть расстояние функции fдо ближайшей функции с линейной структурой .Заметим, чтоn зависит от вектора , то есть.

Отсюда расстояние до линейных структур определяется формулой .

Так как , то из этой формулы следует, чтодля всех. Максимум расстояния достигается для совершенно нелинейной функции и в этом случаедляили, что эквивалентно,. Таким образом доказана следующая

Теорема 3. Класссовершенно нелинейных функций совпадает с классом функций, имеющих максимальное расстояние до линейных структур равное 2^n-2.

Если - совершенно нелинейная функция и, то из определения совершенной нелинейности следует, что для любого ненулевого вектораимеет место равенство

Рассмотрим преобразование Уолша-Адамара для совершенно нелинейной функции . По определению имеем:

.

Из этого равенства следует, что

.

Пользуясь этими равенствами, с учетом соотношения

находим, что

. ( * )

Теорема 4.Булева функцияявляется совершенно нелинейной тогда и только тогда, когда матрица, строки и столбцы которой помеченывекторами пространстваи элементы имеют вид

является матрицей Адамара.

Из равенства (*)следует, что. Кроме того, скалярное произведение-й и-й строк удовлетворяет равенствам

в силу соотношения ортогональности для преобразований Уолша-Адамара. Так как ортогональность строк, выраженная предыдущим равенством, является характеристическим свойством для матриц Адамара, то достаточность теоремы 4доказана.

Обратно, если ,тот.е. функцияявляется совершенно нелинейной. Ортогональность строк матрицы Адамара сводится к соотношению ортогональности для преобразований Уолша-Адамара.

Функция ,для которой преобразование Уолша-Адамара удовлетворяет условию (*),называетсябент-функцией.Таким образом, справедлива следующая

Теорема 5.Класс совершенно нелинейных функций совпадает с классом бент-функций.

Из равенства (*)следует, что бент-функции могут существовать только для четныхn.Из свойств совершенно нелинейных функций следует, что порядок нелинейности бент-функции не превосходитn/2.