4. Преобразование Фурье булевой функции.

Для булевой функции f(V), имеющей таблицу истинности f=(f(V₀),…,f(V₂^m_-1)), где векторы V₀,…,V₂^m_-1расположены в порядке возрастания чисел, для которых они являются двоичными разложениями, преобразование Фурье определяется как вектор

C_f=(C_f(U₀), C_f(U₁),… C_f(U₂^m_-1)),

где {U₀, U₁,…, U₂^m_-1} совокупность всех двоичных векторов, а координаты C_f(U) определяются равенством

где, как и ранее, скалярное произведение (U,V) вычисляется по модулю 2.

Числа C_f(U) называются коэффициентами Фурье булевой функции f.

Из последнего равенства следует, что

, (2)

где H - матрица Сильвестра-Адамара порядка 2^m. А так как из соотношения (2) следует, что

то для коэффициентов Фурье получаем следующую формулу

Рассмотрим некоторые свойства коэффициентов Фурье булевой функции.

1⁰.,

где C_f(0) - значение коэффициента Фурье булевой функции f для нулевого вектора, aвес булевой функции f, т.е. число таких значений, для которых f(V)=1.

Из свойства 1° следует, что булева функция f является cбалансирован-ной (равновероятной)тогда и только тогда, когда для нулевого коэффициента Фурье имеет место равенство

2°. Для любого вектора имеет место равенство

3°. Для любого вектора имеет место соотношение

где P(f(V)=(U,V)) — вероятность совпадения значений булевой функции с линейной функцией (U,V) при случайном равновероятном выборе вектора , скалярное произведение (U,V) вычисляется по модулю 2.

ДОКАЖЕМ 3°. Действительно, имеем

Таким образом,

Отсюда вытекает требуемое равенство из свойства 3° .

В криптографических исследованиях иногда используют вектор

координаты которого связаны с коэффициентами Фурье равенством

Вектор называется статистистической структурой булевой функции,а его координаты- коэффициентами статистической cтруктуры этой функции. Для U=0 обычно полагают