3. Преобразования Уолша-Адамара булевых функций.

Булеву функцию f определим отображением

f : [GF(2)]ⁿ  GF(2),

где GF(2) есть n–я декартова степень множества GF(2).

Пусть [GF(2)]ⁿ =, где векторы расположены в порядке возрастания чисел, для которых они являются двоичными разложениями.

Вектор

называется таблицей истинности булевой функции .

Вектор

.

называется характеристической последовательностью булевой функции .

Преобразованием Уолша-Адамара булевой функции называется вектор

,

координаты которого для всех двоичных векторов U₀,…,U₂^m_-1 определяются равенством

,

где и скалярное произведение вычисляется по модулю 2.

Из этих определений и записи матрицы Сильвестра-Адамара порядка следует, что

. (1)

Из этого равенства и равенства следует, что

.

Следовательно,

для любого двоичного вектора U размерности m. Это равенство определяет обратное преобразование Уолша-Адамара.

Для булевой функции , множество

будем называть весовым спектром функции.

Пусть булевы функции исвязаны равенством

,

где - обратимая двоичная матрица и двоичный вектор размерности . В этом случае говорят, что функция получается из функции аффинным преобразованием переменных. Имеем

, _,

где . Покажем, что в этом случае весовые спектры функций f(V) и g(V) совпадают.

Положим V=A^-1w+A^-1b. Тогда

где U^/=UA^-1для всех.

Равенство Парсеваля

следует из цепочки равенств

.

Аналогичным образом из равенств

вытекает равенство Парсеваля для векторов:

.

Для преобразований Уолша-Адамара имеет место соотношение ортогональности

.

ДОКАЖЕМ этот факт. Действительно,

где (W,x) - символ Кронекера.

Из доказанного равенства при V=0 следует равенство Парсеваля

.

В заключение данного пункта изложим трактовку значений преобразования Уолша-Адамара связанную с понятием расстояния Хэмминга между функциями.

Если U=(U₁,U₂,…,U_m), V=(V₁,V₂,…,V_m ), то скалярное произведение

представляет собой линейную функцию U от переменных x₁=V₁, x₂=V₂,…, x_m=V_m. В силу равенства

с учетом того, что

преобразование Уолша-Адамара определяет разность между числом совпадений и несовпадений булевой функци и f(V)=f(x₁, x₂,…,x_m) с линейной фикцией

Расстояние Хэмминга между функциями f и g определяется равенством

.

Нетрудно проверить, что d является метрикой на множестве булевых функций.

Из равенства

имеем

.

Поэтому

.

Аналогичным образом следует, что если есть дополнение линейной функции, т.е. аффинная функция, то

.

Таким образом, расстояние функции f до линейной или аффинной функции является минимальным тогда и только тогда, когда величина достигает максимального значения.