10. Расстояние до аффинных функций и корреляция.

Пусть - произвольная линейная функция и. Тогда из определения преобразования Уолша-Адамара следует, что

_.

Отсюда следует, что

,

где означает расстояние Хэмминга. Расстояние до соответствующей аффинной функциирасстояниевычисляется по формуле

,

так как в этом случае преобразование Уолша-Адамара равно .

Формула может быть использована для отыскания наилучшей аппроксимации булевой функциис помощью линейной функциипутем отыскания для данной функциитакого, чтодостигает максимума, т.е.

.

.

Из равенства (*)следует, что для совершенно нелинейных функций расстояниеd(f) до ближайшей аффинной функции равноd(f)= .

Если не является совершенно нелинейной функцией, то из равенства Парсеваля следует, что.Следовательно, в этом случаеd(f)<и, стало быть, эта функция ближе к множеству аффинных функций, чем совершенно нелинейная функция. Это показывает, что для класса совершенно нелинейных функций достигается оптимум не только по отношению к расстояниям до линейных структур, но по отношению к расстояниям до всех аффинных функций.

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 6.Класссовершению нелинейных функций совпадает с классом функций, для которых достигается максимум расстояния до аффинных функций, равный.

В начале пункта 10 указывалась формула

.

Из этой формулы следует, что расстояние совершенно нелинейной функции до любой аффинной функции равно либо, либо.Этот факт можно выразить с использованием понятия корреляции функций.

Корреляция для булевых функцийиопределяется равенством

.

Для в соответствии с равенством

имеем .

Из этого равенства и (*)следует, что абсолютная величина корреляции между совершенно, нелинейной функцией и любой аффинной функцией представляет собой постоянную, равную.

Если же функция не является совершенно нелинейной, то ее корреляция с аффинной функциейбольшепо абсолютной величине. Отсюда вытекает следующая

Теорема 7.Класс совершенно нелинейных функций совпадает с классом функций, для которых корреляция со всеми аффинными функциями достигает минимума.

Отметим, что корреляция булевой функцииснулевой функцией определяет степень сбалансированности. Ясно, что совершенно нелинейная функция никогда не может быть сбалансированной. Вместе с тем, отметим, что ее отклонение от сбалансированности, равноебыстро стремится к нулю, когдаnнеограниченно возрастает. То же самое имеет место и для корреляции с любой другой аффинной функцией.

11. Булевы функции от нечетного числа аргументов.

Совершенно нелинейные функции существуют только для четного числа аргументов. Для этих функций преобразование Уолша-Адамара имеет по абсолютной величине постоянное значение. По аналогии с этим свойством дадим способ построения булевых функций от нечетного числа аргументов, когда абсолютное значение преобразования Уолша-Адамара принимает по абсолютной величине два значения.

При нечетном n для булевой функции рассмотрим функциитакие, чтои. Обозначим черези- преобразования Уолша-Адамара функцийисоответственно. Для преобразования Уолша-Адамарафункцииприположимприипри. Таким образом. Тогда имеют место равенства:,.

Теперь, если и- совершенно нелинейные функции, то

.

Следовательно, и могут принимать точно два значения 0 или . Стало быть и принимает эти же два значения. Используя равенство Парсеваля, можно показать, что ровно половина значений равна 0, а другая половина равна . Можно также показать, что для класса функции , для которого преобразование Уолша-Адамара входящих в него функций принимает два значения 0 и , порядок нелинейности функции не превосходит , а расстояние до аффинных функций определяется величиной

.

Таким образом, при n нечетном функция является примерно так же далекой от аффинных функций, как и совершенно нелинейные функции при n четном.