3.2. Числовые характеристики.
Используя формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения нетрудно убедится, что для показательного распределения
.
Таким образом, для показательного распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию.
Найдем вероятность попадания СВ в интервал (a,b):
3.3. Функция надежности.
Пусть некоторое устройство начинает работать в момент времени t0 = 0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т НСВ - длительность времени безотказной работы устройства. Если устройство проработало безотказно время меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ. Тогда функция распределения F(t)=P(T<t)=1- e-mt определяет вероятность отказа устройства за время t.
Найдем вероятность противоположного события- безотказной работы за время t:
.
Функция R(t) называется функцией надежности.
Выясним смысл числовых характеристик и параметра распределения.
Математическое ожидание - это среднее время между двумя ближайшими отказами устройства, а величина обратная математическому ожиданию (параметр распределения)- интенсивность отказов, т.е. количество отказов в единицу времени.
Пример. Время безотказной работы устройства распределено по закону
Найти среднее время безотказной работы устройства, вероятность того, что устройство не откажет за среднее время безотказной работы. Найти вероятность отказа за время t= 100 часов.
Решение:
По условию интенсивность отказов m =0,02. Тогда среднее время между двумя отказами, т.е. математическое ожидание М(Х)=1/0,02=50часов. Вероятность безотказной работы за этот промежуток времени вычислим по функции надежности:
По функции F(t) вычислим вероятность отказа за время t =100 часов:
