Лекции / 2-й семестр / ЛЕКЦИИ~2

Перемножим:

b₀c₀+b₀c₁+b₀c₂+b₀c₃+b₁c₀+…++++++=(0100)+(0010)+ +(1100)+(0110)=(1100) по (mod2).

Линейные рекуррентные последовательности.

Последовательность над полем Р – произвольное отображение множества N₀ в поле Р:

U: N₀P; U=(H(0), U(1), U(2), …);

P^ - всё множество последовательностей над Р.

Линейная рекуррентная последовательность (ЛРП) над Р – последовательность U для которой  m, c₀, c₁, …, c_m-1P:  i 0 :

Отрезок последовательности: (U(c), …, U(m-1)) – начальный вектор рекуррентна.

Определение: - характеристический многочлен последовательности.

Порядок рекуррентны = deg(F(x));

Пример1: ГПр – ЛРП: b_n+1=qb_n; F(x)=x-q;

Пример2: АПр  а_n+1=a_n+d=a_n+(a_n-a_n-1);  a_n+2=2a_n+1-a_n; F(x)=x²-2x+1=(x-1)²;

Пример3: Фибоначчи: U_n+2=U_n+1+U_n; 1,1,2,3,5,8,11,…; F(x)=x²-x-1;

Утверждение: ЛРП U с характеристическим многочленом F(x), degF(x)=m – однозначно определяется своим начальным вектором длины m.

Следствие: число рекуррент (с F(x): degF(x)=m) =P^m;

Обозначение: множество всех ЛРП над Р с характеристическим многочленом F(x): pL(F).

Операции над последовательностями.

1. W=U+V; то есть: W(i)=U(i)+V(i);

2. CP, W=CU; W(i)=CU(i);

Утверждение: pL(F) – абелева группа, замкнутая относительно операции умножения на элементы Р (то есть ВПр-во).

Доказательство: 1. Замкнутость относительно , то есть W=(U-V) pL(F);

то есть W pL(F);

2. Замкнутость относительно  на СР:

h(i+m)=CU(i+m)=c_j(CU(i+j))=c_jW(i+j);

Ч.Т.Д.

Определение: последовательности U₁, …, U_m  pL(F) – базис семейства ЛРП с характеристическим многочленом F(х), если:

1. VpL(F)  c₁, …, c_m: V=c₁U₁+…+c_mU_m;

2. Константы c₁, …, c_m – определены однозначно, то есть представление 1. – однозначно.

Утверждение: U₁, …,U_m – базис 

1.  VpL(F)  c₁, …, c_m : V=c₁U₁+…+c_mU_m;

2. c₁U₁+…+c_mU_m=0  c₁=c₂=…=c_m=0.

Доказательство: “”

“” пусть

Ч.Т.Д.

Пусть е_k – последовательность pL(F): её начальный вектор длины m: , то есть (е(₀), е(₁), …, 0, …, е(_m-1)) – начальный вектор последовательности е_k.

(U(0), …, U(m-1)) 

Теорема: последовательности U₁, …, U_m - -базис , то есть определитель из начальных векторов не равен 0.

Доказательство: от противного: пусть А=0, тогда :

“” - это уравнение имеет ненулевое решение: (c₁, …,.c_m)= 

то есть пусть V=c_jU_j pL(F), где V0 – начальный вектор.

 V=0 – нулевая последовательность  по утверждению о базисе: U₁, …,U_m – не базис.

“”А0  - такая система линейных уравнений однозначно разрешима для любого вектора V. Пусть (c₁, …, c_m)- решение  ЛРП VpL(F), V=c_jU_j;

Ч.Т.Д.

Определение: пусть UР^, h(x)=;

 произведение последовательности U на многочлен h(x) – последовательность W=h(x)U;

Пример: x(U(0), U(1), U(2), …)=(U(1), U(2), …)

Свойства умножения последовательности на многочлен.

1. (A(x)+B(x))U=A(x)U+B(x)U;

2. (A(x)B(x))U=A(x)(B(x)U);

3. A(x)(U+V)=A(x)U+A(x)V;

Теорема: pL(F)={UP^: F(x)U=0};

Доказательство: U pL(F)  U(i+m)=c_jU(i+j)  U(i+m)-c_jU(i+j)=0  F(x)U=0;

Утверждение: U pL(F)   A(x), A(x)U pL(F);

Доказательство: F(x)(A(x)U)=(F(x)A(x))U=(A(x)F(x))U=A(x)(F(x)U)=A(x)0=0.

Следствие:  ЛРП имеет  число характерных многочленов.

Доказательство: F(x) –характеристический многочлен ЛРП: U;

G(x) – имеет старший коэффициент равный 1;

G(x)F(x) – характеристический многочлен ЛРП: U.

Определение: характеристический многочлен наименьшей возможной степени – минимальный многочлен ЛРП: m_U(x).

Утверждение: если UpL(F)  m_U(x)F(x); (то есть минимальный многочлен ЛРП делит любой её характерный).

Доказательство: F(x)=m_U(x)q(x)+r(x); degr(x)<degm_U(x);

F(x)U=0=[m_H(x)q(x)+r(x)]U=q(x)(m_H(x)U)+r(x)U=0;  r(x) – минимальный многочлен ЛРП U (если его поделить на С, обратную старшему коэффициенту r(x), тогда получим унитарный многочлен, а degr(x)<degm_U(x)) – противоречие.

Следствие: множество всех характерных многочленов ЛРП U имеет вид: {g(x)m_U(x)g(x)P(x); g(x) – унитарный}.

Определение: импульсная последовательность с характерным многочленом f(x): e^fpL(f) – последовательность принадлежащая pL(f) с начальным вектором: (0, ….., 0, 1)=e_m-1;

Теорема: для любого HpL(f) ! _U(x), deg_U(x)<m: U=_U(x)e^f;

Доказательство:

1. по теореме: {e^f, xe^f, …, x^m-1e^f} – базис pL(f) 

 (₀, ₁, …, _m-1): U=₀e^f+₁xe^f+…+_m-1x^m-1e^f(₀+₁x+…+_m-1x^m-1)e^f_U(x)e^f; deg_U(x)<m;

Ч.Т.Д.

Определение: многочлен _U(x) из Т – генератор плоскости U.

Следствие1: pL(f)={(x)e^f, (x)P[x], deg(x)<m} – другое описание множества всех ЛРП

над Р с характерным многочленом f(x).

Следствие2: _U(x)=U(0)x^m-1+

Теорема: как найти минимальный многочлен ЛРП по её характерному:

1. пусть UpL(f) 

2. пусть V=H(x)U 

Доказательство: 2.

 характеристический многочлен для V и

0=m_V(x)V= m_V(x)H(x)U  m_U(x)H(x)m_V(x)  d(x)m_U(x)=H(x)m_V(x);

многочлен и Um_V(x) 

1. заметим, что

пусть по определению;

знак с номером S последовательности равен 1, а по определению все знаки равны 0 – противоречие: то есть deg<degf(x)=m – ошибочно

 минимальный многочлен импульсной последовательности: deg=m;

f(x) (оба унитарные и одной степени m)  =f(x);

U=_U(x)e^f; 

Ч.Т.Д.

Определение: аннулятор последовательности: A_nnU={g(x)P[x]g(x)U=0}.

Теорема: пусть UpL(f)  A_nnU={g(x)P[x]F(x)g(x)_U(x)}

Доказательство: U=_U(x)e^f; g(x)U=g(x) _U(x)e^f;  g(x)U=0  g(x)_U(x)e^f=0 

Ч.Т.Д.

Пример: Р={0, 1, , 1+}; ²++1=0 – определяющее соотношение. Найти генератор и т.п.

Соотношения между семействами рекуррент.

1. pL(G)pL(F)  G(x)F(x);

2. L(G)L(F)=L((G,F));

3. L(G)+L(F)=L([G,F]);

4. (F(x),G(X))=  L(FG)=L(F)+L(G);

При этом представление каждой рекурренты из семейства L(FG) в виде суммы рекуррент из семейств L(F), L(G) – однозначно.

Доказательства: 1. “”F(x)=G(x)H(x);  UL(G)  G(x)U; H(x)

H(x)G(x)U=0; F(x)  F(x)U=0  UL(F)

Ч.Т.Д.

1. в одну сторону “”:

(G,F)G  L((G,F))L(G);

(G,F)F  L((G,F))L(F);

тогда L((G,F))L(G)L(F);

в другую сторону “”:

пусть UL(F)L(G); (A(x)F(x)U=B(x)G(x)U=0)

пусть A(x)F(x)+B(x)G(x)=(G,F);  (A(x)F(x)+B(x)G(x))U=0; (G,F)U=0  UL((G,F)), а так как “ ” и “” то, “=”. Ч.Т.Д.

2. “ ”

G(x)[G,F]  L(G)L[GF];

F(x)[G,F]  L(F)L[GF]  L(G)+L(F)L[GF];

“” : L(G)+L(F)L[GF] - ?

[GF]=F(x)G₁(x); G₁(x)G(x);

UL([GF]); U=[A(x)F₁(x)+B(x)G₁(x)]U;

U=A(x)F₁(x)U+B(x)G₁(x)U: A(x)F₁(x)G(x)U=0 & B(x)F(x)G₁(x)U=0. Ч.Т.Д.

3. A(x)F(x)+B(x)G(x)=1;

пусть UL(FG); U=[A(x)F(x)+B(x)G(x)]U;  U=A(x)F(x)U+B(x)G(x)U 

A(x)F(x)UL(G)  G(x)A(x)F(x)U=A(x)(G(x)F(x))U=0  L(FG)L(F)+L(G);

аналогично для B(x)G(x)UL(F), то есть “”.

“ ” показывается как в 3:

L(F)L(FG);

L(G)L(FG)  L(F)+L(G)L(FG);

Однозначность: пусть _U=V₁+W₁; V₁V₂L(F);

U=V₂+W₂; W₁W₂L(G);

0=(V₁-V₂)+(W₁-W₂); F(x)

0=F(x)(V₁-V₂)+F(x)(W₁-W₂);

0=F(x)(W₁-W₂); A(x)

0=F(x)A(x)(W₁-W₂);

0=(1-B(x)G(x))(W₁-W₂);

0=(W₁-W₂)-B(x)G(x)(W₁-W₂);

0=(W₁-W₂)  0=(V₁-V₂)  W₁=W₂, V₁=V_2. Ч.Т.Д.

Способы представления ЛРП.

U: N₀P; U(i) - ?

Замечание: (F,G)=1  UL(FG); : U=V+W, VL(F), WL(G).

Биномиальные последовательности. Биномиальный базис.

Пусть P\0, биномиальная последовательность l-го порядка с корнем  - последовательность, знаки которой определяются по правилу:

Утверждение:

Доказательство: (x-)^[l]=V;  V(i)=^[l](i+1)-^[l](i)=

(x-)^[l]=^[l-1];

(x-)²^[l]=²^[l-2];

………………….;

(x-)^l^[l]=^l^[0], a ^[0](i)= ^l(x-)^[0]=0; (x-)^l+1^[l]=0 

(x-)^l+1 – характеристический многочлен 

пусть kl,

^l^[0](0)=^l0 – противоречие.

Теорема: пусть рекуррентное семейство  ^[0], ^[1], …, ^[l] – биномиальная последовательности – образуют базис множества.

Доказательство: 1. ^[j]L((x-)^l+1); j l – из утверждения.

2. покажем, что это базис:

; =1²…..^m-10  базис. Ч.Т.Д.

Теорема: пусть F(x) раскладывается над Р на линейные множители:

последовательности: -образуют базис множества рекуррент pL(F).

12