Лекции / Лекции Кузьмина / WORD6~1 / ЛЕКЦИИ~3
.DOCДоказательство: эти многочлены попарно взаимно простые Þ "НÎL(F) – однозначно представляется в виде: H=V1+V2+…+Vr; VjÎL(, а для семейства L( - базис по теореме : соберём базисы всех Vj Þ последовательности - базис pL(F)
Ч.Т.Д.
Пример: F(x)=(x-1)2(x-3); GF(5);
пусть начальный вектор: (001); U(1999) - ?
Решение: L(x-1)2, L(x-3) Þ
U(i)=c0+c1*i+D0*3i; c0,c1,D0 - ?
Начальный вектор:;
U(1999)=1+2*1999-31999=1+2*9-31999=4-31999=4-2=2;
Ответ: U(1999)=2.
Представление ЛРП через функцию “след”.
Теорема: пусть РÎGF(q); f(x) – неприводим над Р, degf(x)=m Þ a - корень f(x) в Q=GF(qm) Þ
" UÎpL(f), $! aÎQ:
Доказательство: 1. Покажем, что последовательность: ;
f(x)*V=W; Þ
VÎpL(f);
®А последовательностей вида Vi= число различных аÎQ=qm;
® А последовательностей pL(f)=qm – тоже.
Осталось показать, что все последовательности Vi - попарно различны:
пусть есть совпадающие последовательности:
пусть сjÎP:
- более большое поле, чем Р.
Лемма: число решений этого уравнения: qm-1;
Доказательство:
Þ " с – число решений исходного уравнения (число корней многочлена
-
пусть Nc – число корней
-
" xÎQ,
-
, а это при Nc=qm-1; qm-1¹qm – противоречие;
Ч.Т.Д.
Теорема: обозначим последовательности Vs: базис
Доказательство:
;
то есть все последовательности . Осталось показать, что все Vi различны и их число =(qm)k:
-
;
Число сумм этих последовательностей – сколько наборов (а0…аk-1), а их (qm)k;
-
Осталось, что все попарно различные, а биномиальные последовательности базисные Þ не может быть совпадающих сумм, иначе это не базис Þ все суммы попарно различные Þ других последовательностей в L(f(x)k), кроме вида Vi нет.
Пример: f(x)=x2+x+1; GF(2);
в GF(4) Q: Q2=Q+1;
U(i)=
Опредление1: UÎW¥- периодическая последовательность если $ lÎN0б, tÎN: " i³l:
U(i+t)=U(i); (1)
пусть W=R;
Утверждение: если W=R то " UÎW и U – периодической Þ U-ЛРП.
Определение2: если UÎW¥ ,U – периодическая, то наименьшее tÎN, для которого $ lÎN0 и выполняется (1) – период U; - T(U).
При этом наименьшее l: " i>l: U(i+T(U))=U(i) (3) – длина подхода U - L(U) (l предпериода).
Теорема1: если U периодическая и ÎW¥, то любые числа l и t, удовлетворяют (1) Û l³L(U) и T(U)½t; (4)
Доказательство: пусть множество MÍW,½M½£L(U)+T(U);
Пусть Р – поле, ½Р½³½M½;
j: M®R - инъективное отображение: , так строим
lÎN0,tÎN xl(xt-e)=(0); (5)
то есть (2) выполняется для когда - периодическая Þ xL(U)(xT(U)-e)*=(0) Þ
(4) Þ(5) xL (U)(xT(U)-e)½ xl(xt-e)Þ(5)
(5)Þ(4) (A(x), B(x))= xl(xt-e, xT(U)-e); t³T(U);
xt-e=xt-T(xT-e)+(xt-T-e).
Примечание: (x,(x-e))=1;
(xt-e;xT-e)=(xt-T-e,xT-e); t+T£k;
xl(xd-e)=(0); d³T, d½T Þ d=T.
Следствие1: если U- периодическая, то L(U)- наименьший l>0, lÎN0 для которого $ tÎN.
Теорема2: если U- периодическая последовательность над кольцом R, то " H(x)ÎR[x], V=H(x)*U – тоже периодическая, и
Доказательство: пусть L(U)ºl0, T(U)ºT0;
Ч.Т.Д.
Теорема3: пусть U,VÎR¥- периодические Þ W=U+V и ;
-
L(U)¹ L(V) Þ L(W)=max{L(U), L(V)}; (10)
-
(T(U), T(V))=1 Þ T(W)=[T(U), T(V)];
Доказательство: 1) l=max{L(U), L(V)}; t=[T(U), T(V)];
xl(xt-e)U=(0)
xl(xt-e)V=(0) Þ xl(xt-e)W=(0)
-
пусть L(U)< L(V) Þ l=L(V) и пусть L(W)<l; xl(xt-e)U=(0) и xl-1(xt-e)(W-U)=(0)
L(V)£l-1- противоречие Þ предположение ошибочно.
-
пусть (T(U),T(V))=1, T(W)=t тогда можно записать: [t,T(U)]=t*k Þ так как t½t*k, то T(U)½t*k Þ применяя Т1:
xl(xtk-e)W=(0)
xl(xtk-e)U=(0) Þ xl(xtk-e)V=(0) Þ T(V)½t*k.
Определение3: периодическая последовательность U над R¥ -чисто периодическая если её предпериод =0 (L(U)=0).
Определение4: периодическая последовательность U над R – вырожденная, если она имеет вид:
U=(U(0), U(1), …, U(l-1), 0, 0, 0, …..).
Теорема4: любая периодическая последовательность UÎR¥: U=U0+U1; (12)
, где U0- вырожденная и U1- чисто периодическая последовательность, при этом
Доказательство: 1) обозначим L(U)=l, T(U)=t Þ UÎLR(xl(xt-e));
-
(x, xt-e)=e Þ (xl, xt-e)=1;
LR(xl(xt-e))= LR(xl)+ LR(xt-e) Þ разложение верно и единственно, U0-выбирается из LR(xl)
U1 выбирается из LR(xt-e);
Пример: U=() Z4!
L(U)=5;
T(U)=4; U=U0+U1
Решение: kÎN; t*k³l;
xtkU=xtk(U0+U1)=xtkU1=U1;
xtkU0=(0);
x8U=(031203120..);
U0=U-U1=(01101000..).
Определение5: многочлен F(x)ÎR[x] – периодический многочлен, если $ l0ÎN0, tÎN: F(x)½xl(xt-e) (15).
T(F)- период многочлена F(x);
Наименьшее l: F(x)½xl(xt-e)- обозначим через L(F)- предпериод многочлена.
Теорема5: a) пусть унитарный многочлен F(x)ÎR[x]; F- периодический Û ЛРП еFÎRL(F);
e- (соот. ЛРП) тоже периодическая.
b) F- периодический многочлен Þ L(F)=L(еF);T(F)=T(e);
" ЛРП UÎRL(F), L(U)£L(F); T(U)½T(F);
Доказательство: a) Ann(еF)=R[x]*F(x);
" lÎN0, " tÎN: xl(xt-e)еF=(0) Û F(x)½xl(xt-e);
b) UÎRL(F), F(x)*U=(0); F(x)½xl(F)(xT(F)-e); xl(F)(xT(F)-e)*U=(0);
Следствие1: если F(x)ÎR[x], то lÎN0, tÎN: F(x)½xl(xt-e) Û l³L(F), T(F)½t;
Следствие2: если F(x), G(x)ÎR[x], (F(x), G(x))e, то H(x)=F(x)*G(x),
Лекция.
Определение1: UÎR¥- периодическая, если $l³0, t>0: U(i+l+t)=U(i+l), i³0. (1)
Определение2: последовательность- чисто периодическая, если l=0.
Определение3: вырожденная последовательность- если у неё только конечное число 1-ых знаков отлично от 0.
Утверждение1: любая периодическая последовательность- ЛРП.
Доказательство: по определению1 $l,t: U(i+l+t)-U(i+l)=0; (xt+l-xl)U=0; xl(xt-1)U=0 Þ UÎpL(xl(xt-1);
Определение4: наименьшее натуральное t, для которого $ l: выполняется (1)- период последовательности: Т(U).
Утверждение2: если параметры l,t- удовлетворяют (1), то T(U)½t; L(U)£l;
Доказательство: 1) l=max(L(U), l); t=T(U)q+r, 0£r<T(U);
" i³0 U(i+l+t)=U(i+l); U(i+l+T(U)q+r), a U(i+L(U)+T(U))=U(i+L(U)) Þ U(i+l+r)=U(i+l) Þ r=T/(U)<T(U), но по определению T(U) –наименьший Þ r=T/(U)=0 (если r>0 то противоречие с выбором T(U)) Þ t=T(U)q; Û T(U)½t;
-
пусть L(U)> l Þ l£L(U)-1; (L(U)ºL);
U(i+L-1+T(U))=U(i+L-1), так как L-1+T(U)³L;i:=i+T(U)-1;
U(i+L-1+T(U)+(q-1)T(U))=U(i+L-1+T(U));
U(i+L-1+qT(U))=U(i+L-1+t)=U(i+L-1), то есть L- не наименьший – противоречие с выбором L Þ l³L(U)
Ч.Т.Д.
Утверждение3: если U- периодическая то для любого H(x)ÎP[x]; V=H(x)U- периодический.
Доказательство: H(x)xl(xt-1)U=0=xl(xt-1)(H(x)U)=0 Þ V(i+l+t)= V(i+l).
Ч.Т.Д.
Теорема1: пусть U,V- периодические Þ W=U+V- периодическая и T(W)½[T(U),T(V)]ºt; L(W)£max(L(U), L(V))ºL;
Доказательство: пусть max(L(U), L(V))ºL Þ W(i+L+t)=U(i+L+t)+V(i+L+t)=U(i+(L-L(U))+L(U)+T(U)t/T(U))+V(i+(L-L(V))+L(V)+T(V)t/T(V))=U(i+L)+V(i+L)=W(i+L); Þ последовательность периодическая, мы нашли $ t, L + утв.2.
Ч.Т.Д.
Следствие1: если (T(U),T(V))=1, то T(W)=T(V)*T(U);
Следствие2: если L(U)¹L(V), то L(W)=max(L(V), L(U))ºL;
Доказательство: 1) (T(U),T(V))=1 Þ [T(U),T(V)]=T(V)*T(U) Þ по Т1: T(W)½T(V)*T(U);