Лекции / Лекции Кузьмина / WORD6~1 / ПРИЛОЖ~1
.DOCКоординатные плоскости, рекуррент над полем.
GF(q); q=p2; deg f(x)=r;
элементы поля ;
Элементы : 1, q, q r, …, q r-1 – базис
Пусть e0 e1 …er-1 – некоторый базис поля
U – ЛПР;
Определение: последовательность значений (Uj(0), Uj(1), …) – j-ая координатная последовательность ЛРП U в базисе e :
Теорема: пусть U-ЛРП максимального периода порядка m ( то есть deg F(x)=m ) над полем GF(q) Þ " базиса = (e0…er-1) – базис поля
-
Uj – ЛРП – максимального периода над полем GF(p) степени rm;
-
U0, …, Ur-1 – ЛНз над GF(p);
-
" j,k Uj – сдвиг Uk на число шагов кратное D:
Доказательство:
Определение: базис = (X0…Xr-1) – двойственный к базису , если : ;
( Для каждого базиса существует к нему двойственный ).
-
Пусть q - корень в GF(qm) Þ
С другой стороны:
ordq = qm-1 = p2m-1; Þq - корень некоторого многочлена GF(p)(x) ' G(x) степени rm (то есть q - примитивный элемент мультипликативной группы поля GF(qm)) Þ
T(G) = ord q = p2m –1; G(x) = mq,GF(p)(x);
-
Пусть все координатные плоскости ЛЗ Þ $ С0,…Сr-1 : не все равные0.
- возможно в том и только в том случае, когда a=0, a0 Û - последнее Û Сj=0, "j , но мы предположили, что не все С=0 Þ противоречие.
-
так как q - примитивный элемент поля Þ $ l : Xj то есть сдвиг на l шагов.
, а Þ
. Ч.Т.Д.
Пусть a - корень f(x), degf(x)=r над GF(p)[x] Þ {1, a, a2, …, ar+1} – базис Þ H(i)=åHj(i)aj;
Произведение ЛРП на её сдвиг.
Пусть U-ЛРП;
V(i) = f(H(i) … U(i+m+1));
Пусть V(i) = U(i)*U(i+k);
Опишем вид минимального многочлена произведения ЛРП максимального периода на её сдвиг, то есть U-ЛРП максимального периода над GF(q), f(x), degf(x) = m;
Пусть q - корень f(x) вGF(q)Þ
{так как
Так как предел суммирования от (-t) до (m-1-t), то можно его заменить на от (0) до (m-1) }=
=Þ возьмём элемент: Þ элементы: корни неприводимого многочлена.
0 1 2 m-2 m-1 , то есть все слагаемые разбиваются на пары ( или почти все).
Пусть m = 2l+1;
;
Пусть m = 2l Þ
0 1 2 l-1 l l+1 m-1 остаётся l без пары Þ V(i)= ------ +
последний след можно переписать;
Теорема: пусть U-ЛРП над GF(q), c f(x), degf(x) = m, q - корень многочлена f(x) в его поле разложения GF(qm), a – параметр, задаваемый начальным вектором U;
Þ последовательность V определяется равенством:
V(i) = U(i)U(i+l) – имеет f-ное представление вида: m = 2l;
Следствие: пусть в условиях теоремы
Доказательство: в теореме получено f-ное представление V в виде суммы ЛРП-ей с попарно- различными неприводимыми множествами Þ mV(x) = произведению тех неприводимых множеств, у которых соответствующие коофициенты не равны нулю. (ql + qlqn)0