Лекции / Лекции Кузьмина / WORD6~1 / ЛЕКЦИИ~2
.DOCПеремножим:
b0c0+b0c1+b0c2+b0c3+b1c0+…++++++=(0100)+(0010)+ +(1100)+(0110)=(1100) по (mod2).
Линейные рекуррентные последовательности.
Последовательность над полем Р – произвольное отображение множества N0 в поле Р:
U: N0®P; U=(H(0), U(1), U(2), …);
P¥ - всё множество последовательностей над Р.
Линейная рекуррентная последовательность (ЛРП) над Р – последовательность U для которой $ mÎN, c0, c1, …, cm-1ÎP: " i ³0 :
Отрезок последовательности: (U(c), …, U(m-1)) – начальный вектор рекуррентна.
Определение: - характеристический многочлен последовательности.
Порядок рекуррентны = deg(F(x));
Пример1: ГПр – ЛРП: bn+1=qbn; F(x)=x-q;
Пример2: АПр Þ аn+1=an+d=an+(an-an-1); Þ an+2=2an+1-an; F(x)=x2-2x+1=(x-1)2;
Пример3: Фибоначчи: Un+2=Un+1+Un; 1,1,2,3,5,8,11,…; F(x)=x2-x-1;
Утверждение: ЛРП U с характеристическим многочленом F(x), degF(x)=m – однозначно определяется своим начальным вектором длины m.
Следствие: число рекуррент (с F(x): degF(x)=m) =½P½m;
Обозначение: множество всех ЛРП над Р с характеристическим многочленом F(x): pL(F).
Операции над последовательностями.
-
W=U+V; то есть: W(i)=U(i)+V(i);
-
CÎP, W=CU; W(i)=CU(i);
Утверждение: pL(F) – абелева группа, замкнутая относительно операции умножения на элементы Р (то есть ВПр-во).
Доказательство: 1. Замкнутость относительно ±, то есть W=(U-V)Î pL(F);
то есть WÎ pL(F);
2. Замкнутость относительно * на СÎР:
h(i+m)=CU(i+m)=åcj(CU(i+j))=åcjW(i+j);
Ч.Т.Д.
Определение: последовательности U1, …, Um Î pL(F) – базис семейства ЛРП с характеристическим многочленом F(х), если:
-
VÎpL(F) $ c1, …, cm: V=c1U1+…+cmUm;
-
Константы c1, …, cm – определены однозначно, то есть представление 1. – однозначно.
Утверждение: U1, …,Um – базис Û
-
" VÎpL(F) $ c1, …, cm : V=c1U1+…+cmUm;
-
c1U1+…+cmUm=0 Þ c1=c2=…=cm=0.
Доказательство: “Þ”
“Ü” пусть
Ч.Т.Д.
Пусть еk – последовательность ÎpL(F): её начальный вектор длины m: , то есть (е(0), е(1), …, 0, …, е(m-1)) – начальный вектор последовательности еk.Þ
(U(0), …, U(m-1)) Þ
Теорема: последовательности U1, …, Um - -базис Û, то есть определитель из начальных векторов не равен 0.
Доказательство: от противного: пусть ½А½=0, тогда :
“Þ” - это уравнение имеет ненулевое решение: (c1, …,.cm)= Þ
то есть пусть V=åcjUjÎ pL(F), где V¹0 – начальный вектор.
Þ V=0 – нулевая последовательность Þ по утверждению о базисе: U1, …,Um – не базис.
“Ü”½А½¹0 Þ - такая система линейных уравнений однозначно разрешима для любого вектора V. Пусть (c1, …, cm)- решение Þ ЛРП VÎpL(F), V=åcjUj;
Ч.Т.Д.
Определение: пусть UÎР¥, h(x)=;
Þ произведение последовательности U на многочлен h(x) – последовательность W=h(x)*U;
Пример: x*(U(0), U(1), U(2), …)=(U(1), U(2), …)
Свойства умножения последовательности на многочлен.
-
(A(x)+B(x))U=A(x)U+B(x)U;
-
(A(x)B(x))U=A(x)*(B(x)U);
-
A(x)(U+V)=A(x)U+A(x)V;
Теорема: pL(F)={UÎP¥: F(x)U=0};
Доказательство: UÎ pL(F) Û U(i+m)=åcjU(i+j) Û U(i+m)-åcjU(i+j)=0 Û F(x)U=0;
Утверждение: UÎ pL(F) Þ " A(x), A(x)UÎ pL(F);
Доказательство: F(x)*(A(x)U)=(F(x)A(x))*U=(A(x)F(x))*U=A(x)*(F(x)U)=A(x)*0=0.
Следствие: " ЛРП имеет ¥ число характерных многочленов.
Доказательство: F(x) –характеристический многочлен ЛРП: U;
G(x) – имеет старший коэффициент равный 1;
G(x)*F(x) – характеристический многочлен ЛРП: U.
Определение: характеристический многочлен наименьшей возможной степени – минимальный многочлен ЛРП: mU(x).
Утверждение: если UÎpL(F) Þ mU(x)½F(x); (то есть минимальный многочлен ЛРП делит любой её характерный).
Доказательство: F(x)=mU(x)q(x)+r(x); degr(x)<degmU(x);
F(x)U=0=[mH(x)q(x)+r(x)]*U=q(x)*(mH(x)U)+r(x)U=0; Þ r(x) – минимальный многочлен ЛРП U (если его поделить на С, обратную старшему коэффициенту r(x), тогда получим унитарный многочлен, а degr(x)<degmU(x)) – противоречие.
Следствие: множество всех характерных многочленов ЛРП U имеет вид: {g(x)*mU(x)½g(x)ÎP(x); g(x) – унитарный}.
Определение: импульсная последовательность с характерным многочленом f(x): efÎpL(f) – последовательность принадлежащая pL(f) с начальным вектором: (0, ….., 0, 1)=em-1;
Теорема: для любого HÎpL(f) $! jU(x), degjU(x)<m: U=jU(x)*ef;
Доказательство:
-
по теореме: {ef, xef, …, xm-1ef} – базис pL(f) Þ
$! (j0, j1, …, jm-1): U=j0ef+j1xef+…+jm-1xm-1ef=(j0+j1x+…+jm-1xm-1)ef=jU(x)*ef; degjU(x)<m;
Ч.Т.Д.
Определение: многочлен jU(x) из Т – генератор плоскости U.
Следствие1: pL(f)={j(x)*ef, j(x)ÎP[x], degj(x)<m} – другое описание множества всех ЛРП
над Р с характерным многочленом f(x).
Следствие2: jU(x)=U(0)xm-1+
Теорема: как найти минимальный многочлен ЛРП по её характерному:
-
пусть UÎpL(f) Þ
-
пусть V=H(x)*U Þ
Доказательство: 2.
Þ характеристический многочлен для V и
0=mV(x)*V= mV(x)*H(x)*U Þ mU(x)½H(x)*mV(x) Þ d(x)mU(x)=H(x)*mV(x);
многочлен и U½mV(x) Þ
-
заметим, что
пусть по определению;
знак с номером S последовательности равен 1, а по определению все знаки равны 0 – противоречие: то есть deg<degf(x)=m – ошибочно
Þ минимальный многочлен импульсной последовательности: deg=m;
½f(x) (оба унитарные и одной степени m) Þ =f(x);
U=jU(x)*ef; Þ
Ч.Т.Д.
Определение: аннулятор последовательности: AnnU={g(x)ÎP[x]½g(x)*U=0}.
Теорема: пусть UÎpL(f) Þ AnnU={g(x)ÎP[x]½F(x)½g(x)*jU(x)}
Доказательство: U=jU(x)ef; g(x)U=g(x)* jU(x)ef; Þ g(x)U=0 Û g(x)jU(x)ef=0 Û
Ч.Т.Д.
Пример: Р={0, 1, q, 1+q}; q2+q+1=0 – определяющее соотношение. Найти генератор и т.п.
Соотношения между семействами рекуррент.
-
pL(G)ÌpL(F) Û G(x)½F(x);
-
L(G)ÇL(F)=L((G,F));
-
L(G)+L(F)=L([G,F]);
-
(F(x),G(X))= Þ L(F*G)=L(F)+L(G);
При этом представление каждой рекурренты из семейства L(F*G) в виде суммы рекуррент из семейств L(F), L(G) – однозначно.
Доказательства: 1. “Ü”F(x)=G(x)*H(x); " UÎL(G) Û G(x)*U; ½*H(x)
H(x)G(x)*U=0; F(x) Þ F(x)*U=0 Û UÎL(F)
Ч.Т.Д.
-
в одну сторону “É”:
(G,F)½G Þ L((G,F))ÎL(G);
(G,F)½F Þ L((G,F))ÎL(F);
тогда L((G,F))ÌL(G)ÇL(F);
в другую сторону “Ì”:
пусть UÎL(F)ÇL(G); Þ(A(x)F(x)U=B(x)G(x)U=0)
пусть A(x)F(x)+B(x)G(x)=(G,F); Þ (A(x)F(x)+B(x)G(x))*U=0; (G,F)*U=0 Û UÎL((G,F)), а так как “Ì ” и “É” то, “=”. Ч.Т.Д.
-
“Ì ”
G(x)½[G,F] Þ L(G)ÌL[GF];
F(x)½[G,F] Þ L(F)ÌL[GF] Þ L(G)+L(F)ÌL[GF];
“É” : L(G)+L(F)ÉL[GF] - ?
[GF]=F(x)*G1(x); G1(x)½G(x);
UÎL([GF]); U=[A(x)F1(x)+B(x)G1(x)]*U;
U=A(x)F1(x)U+B(x)G1(x)U: A(x)F1(x)G(x)U=0 & B(x)F(x)G1(x)U=0. Ч.Т.Д.
-
A(x)F(x)+B(x)G(x)=1;
пусть UÎL(FG); U=[A(x)F(x)+B(x)G(x)]U; Þ U=A(x)F(x)U+B(x)G(x)U Þ
A(x)F(x)UÎL(G) Þ G(x)A(x)F(x)U=A(x)(G(x)*F(x))U=0 Þ L(FG)ÌL(F)+L(G);
аналогично для B(x)G(x)UÎL(F), то есть “É”.
“Ì ” показывается как в 3:
L(F)ÌL(FG);
L(G)ÌL(FG) Þ L(F)+L(G)ÌL(FG);
Однозначность: пусть _U=V1+W1; V1V2ÎL(F);
U=V2+W2; W1W2ÎL(G);
0=(V1-V2)+(W1-W2); ½*F(x)
0=F(x)(V1-V2)+F(x)(W1-W2);
0=F(x)(W1-W2); ½*A(x)
0=F(x)A(x)(W1-W2);
0=(1-B(x)G(x))(W1-W2);
0=(W1-W2)-B(x)G(x)(W1-W2);
0=(W1-W2) Þ 0=(V1-V2) Þ W1=W2, V1=V2. Ч.Т.Д.
Способы представления ЛРП.
U: N0®P; U(i) - ?
Замечание: (F,G)=1 Þ UÎL(F*G); $!: U=V+W, VÎL(F), WÎL(G).
Биномиальные последовательности. Биномиальный базис.
Пусть aÎP\0, биномиальная последовательность l-го порядка с корнем a - последовательность, знаки которой определяются по правилу:
Утверждение:
Доказательство: (x-a)a[l]=V; Þ V(i)=a[l](i+1)-aa[l](i)=
(x-a)a[l]=aa[l-1];
(x-a)2a[l]=a2a[l-2];
………………….;
(x-a)la[l]=ala[0], a a[0](i)= al(x-a)a[0]=0; (x-a)l+1a[l]=0 Þ
(x-a)l+1 – характеристический многочлен Þ
пусть k£l,
al*a[0](0)=al¹0 – противоречие.
Теорема: пусть рекуррентное семейство Þ a[0], a[1], …, a[l] – биномиальная последовательности – образуют базис множества.
Доказательство: 1. a[j]ÌL((x-a)l+1); j£ l – из утверждения.
2. покажем, что это базис:
; D=1*a*a2…..*am-1¹0 Þ базис. Ч.Т.Д.
Теорема: пусть F(x) раскладывается над Р на линейные множители:
последовательности: -образуют базис множества рекуррент pL(F).