Корни многочленов над конечным полем и их свойства

Пусть a(x)=

Опр.: - значение многочлена a(x) на элементе α из поля.

Опр.: Если для некоторого многочлена a(x) над полем Р и элемента ? из Р выполнено условие a(α)=0, то α – κорень многочлена a(x)

Теорема (Безу): Пусть a(x)0 многочлен над полем Р. α – κорень a(x)

(x-α)|a(x).

Доказательство:

"" a(x)=q(x)(x-α)+r(x), deg r(x)<1 значит r(x)=cP

(если deg=0, то const; если deg=-, то 0).

a(α)=q(α)(α-α)+c, где a(α)=0 по условию, значит с=0 и a(x)=q(x)(x-α), следовательно (x-α)|a(x)

"" a(x)=q(x)(x-α); a(α)=q(α)(α-α); a(α)=0 значит α – корень. ч.т.д.

Опр.: Кратность корня α – наибольшее значение r : r=α

Замечание: Если многочлен имеет корень в поле, то он приводим (обратное неверно)

Утв.: Многочлен a(x), deg a(x)3 – неприводим над полем не имеет в этом поле корней.

Доказательство:

1. Многочлен первой степени неприводим (очевидно)

2. Пусть deg a(x)=3 (для второй аналогично). Докажем: приводим есть корни.

"" - по теореме Безу (см. замечание)

"" a(x) – приводим, значит a(x)=b(x)c(x), где 0<deg b(x)<3, 0<deg c(x)<3,

причем deg b(x)+deg c(x)=3, следовательно один из них многочлен первой степени.

Пусть deg b(x)=1, тогда b(x)=sx+t, s0 и x=- - корень b(x), а a(x)=b(x)c(x) , следовательно x=- - корень a(x). ч.т.д.

Пример: GF(2)[x]. (x²+x+1)² – приводим, но корней не имеет в поле GF(2); deg(x²+x+1)²=4

Опр.: Пусть a(x)0над полем Р. Тогда многочлен вида

a'(x)=- производная многочлена a(x).

Свойства производной многочлена:

1. (a(x)+b(x))'=a'(x)+b'(x)

2. (a(x)b(x))'=a(x)b'(x)+a'(x)b(x)

Опр.: Если кратность корня многочлена равна 1, то корень – простой.

Теорема: Пусть a(x)0над полем Р, значит множество его кратных (т.е. не простых) корней совпадает с множеством корней NOD(a(x),a'(x))

Доказательство: Пусть α – кратный корень. Тогда

"" a(x)=(x-α)^rg(x), r>1.

a'(x)=r(x-α)^r-1g(x)+(x-α)^rg'(x)=(x-α)^r-1[rg(x)+(x-α)g'(x)]

значит α – корень a'(x), следовательно (x-α)|a(x), (x-α)|a'(x), тогда (x-α)|(a(x),a'(x)).

"" от противного: если корень простой, то пусть α – простой корень. Тогда a(x)=(x-α)g(x), g(α)0, т.к. простой.

a'(x)=g(x)+(x-α)g'(x);

a'(α)=g(α)+(α-α)g'(α), где g(α)0, (α-α)=0 значит α – не корень a'(x). Следовательно (x-α)†a'(x) и не делит NOD, т.е. не является его корнем. ч.т.д.

Теорема: Над любым полем существует бесконечное число неприводимых многочленов

Доказательство: пусть существует конечное число N неприводимых многочленов над P.

Пусть f₁(x), f₂(x),…,f_N(x) – все неприводимые многочлены над Р.

F(x)=f₁(x)^.f₂(x)^. …^.f_N(x)+1, тогда существует многочлен f_j(x)|F(x), т.е. F(x) – либо приводим, либо совпадает с f_j(x). Тогда F(x)=0 (mod f_j(x)) значит 1=0 (mod f_j(x)) и f_j(x)|1 – противоречие, т.к. degf_j(x) 1 следовательно существует бесконечное число неприводимых многочленов. ч.т.д.

Неприводимые многочлены над числовым полем с, полем действительных чисел Rи полем рациональных чиселZ

Теорема (Гаусса): Любой многочлен над полем С имеет в этом поле корень.

Следствие: Над полем С неприводимы многочлены только первой степени.

Доказательство: Если deg2, то имеется корень α, тогда (x-α)|a(x), следовательно многочлен приводим.

Теорема: Над полем R неприводимы многочлены первой степени и второй степени с D<0 и только они.

Доказательство:

1. Первой – очевидно, т.к. они неразложимы

2. Комплексно сопряжены: aib; a,bR

1) α=a+ib, =a-ib, где , , т.к. α=a+ib, β=c+id α^.β=(ac-bd)+i(ad+bc)=(ac-bd)-i(ad+bc); =(a-ib)(c-id)=(ac-bd)-i(ad+bc)

] a(x)R(x), deg a(x)>1; a(x)=; ] α=a+ib – его корень=0== ==, т.к. a_kR - тоже корень а(х); т.о. если а(х) – имеет корень αC, то (x-α)(x-)|a(x) x²-(α+)x+α=x²-x+- многочлен с действительными коэффициентами.

2) ] a(x) – неприводим над полем R и не имеет действительных корней. По теореме Гаусса у него комплексный корень (x-α)(x-)|a(x) действительный полином [x²-2Reαx+|a|]|a(x) если deg a(x)3, то он автоматически приводим.

3) Для deg a(x)=2 – неприводим над R, т.е. не имеет действительных корней D<0, т.к. отсутствие действительных корней над полем R эквивалентно неприводимости.

Утв.: ] f(x) – неприводимый многочлен над полем R: x²+1, deg f(x)=2 C - кольцо, а т.к. f(x) – неприводим поле.

Доказательство: ] f(x)=x²+1, i – его корень ={a+ib|a; bR}

(для любого f(x) – неприводимого многочлена, вместо i – его корень)

Опр.: Многочлен a(x) над кольцом Z (с целыми коэффициентами) – примитивный, если множество его коэффициентов взаимно просто в совокупности.

Опр.: Два числа взаимно просты, если для любого простого числа одно из них на него не делится.

Опр.: Множество (a₀,…,a_n) – взаимно просто в совокупности, если для p – простого k, 0kn : p†a_k

Пример: (6,10,15)=1, т.е. NOD совокупности равен 1.

Опр.: Многочлены a(x), b(x) над полем Q – ассоциированные, если : a(x)=c^.b(x).

Утв.: Для многочлена над полем Q ! ассоциированный с ним примитивный многочлен с целыми коэффициентами.

Доказательство:

1. a(x)=, a_k=, p_k,q_k. (p_k,q_k)=1.

NOK(q_k; k=)=u ]b(x)=ua(x) – с целыми коэффициентами, т.е. Z[x].

NOD=v ]c(x)=b(x)=a(x) a(x), c(x) – ассоциированные.

=1 c(x) – примитивный, т.е. a(x) ассоциативный с ним примитивный с(х).

2. Докажем единственность: ] два таких многочлена: a(x)==; c(x), c'(x) – примитивные многочлены с целыми коэффициентами c'(x)=

c'(x)=; c(x)= c_k'=wc_k, wQ. w=, (α,β)=1; βc_k'=αc_k, k.

NOD(c_k'β;k=)=β=β

¦ ¦

NOD(c_kα; k=)=αNOD(c_k; k=)=α

α=β, (α,β)=1 (α,β)=1=α=β w==1 c'(x)=c(x) ч.т.д.

Лемма: ]a(x), b(x) – примитивные многочлены с целыми коэффициентами (старший коэффициент >0) их произведение – примитивный многочлен, т.е. a(x), b(x) – примитивные многочлены a(x)b(x) – примитивный многочлен.

Доказательство: a(x)b(x)=. Покажем, сто для произвольного р – простого найдется с_к : р†с_к.

] p – простой, т.к. а(х) – примитивный a_k : p†a_k: s={k : a_k не?0 (mod p)} p|a₀,…,p|a_s-1,p†a_s; b(x) : t={k : b_k не?0 (mod p)} p|b₀,…,p|b_t-1,p†b_t c_s+t=a₀b_s+t+a₁b_s+t-1+…+a_s-1b_t+1+a_sb_t+a_s+1b_t-1+…+a_s+tb₀, где только a_sb_t не делится на p с_s+t=a_sb_t (mod p), а a_sb_t не=0(mod p), т.е. p†a_sb_t p†c_s+tc(x) – примитивный. ч.т.д.

Теорема: a(x)?0 над полем Q – неприводим ассоциированный с ним многочлен над кольцом Z – неприводим.

Доказательство: от противного

"" ] a(x) – приводим a(x)=b(x)c(x) над Q примитивный. ] b*(x) – ассоциативный с b(x), c*(x) – примитивный ассоциативный с c(x); b*(x)c*(x) – примитивный многочлен (по лемме). b*(x)=ub(x); c*(x)=vc(x); u,vQ b*(x)c*(x)=uvb(x)c(x)= =uva(x), т.е. b*(x)c*(x) – ассоциативный с a(x) и примитивный b*(x)c*(x) – определен однозначно, т.е. b*(x)c*(x)=a*(x) – с целыми коэффициентами a*(x) – приводим над кольцом Z.

"" a*(x) – примитивный ассоциативный с a(x) – приводим. a*(x)=b(x)c(x) над Z.

a*(x)=ua(x), uQ. a(x)= c(x) a(x) – приводим. ч.т.д.

Теорема: ] a(x)?0 с целыми коэффициентами, примитивный р – простой, из приводимости а(х) в кольце Z его приводимость по mod p;

a(x)=; ZZp, если a_ka_k(mod p).

Доказательство: a(x)=b(x)c(x) над Z a(x)= b(x)c(x) (mod p), а примитивность, чтобы имело смысл, т.е. a(x) не?0 (mod p)

Следствие: ] a(x) – многочлен над Z. Если р – простое : многочлен a(x) по (mod p) неприводим, то он неприводим над кольцом Z (т.е. отрицание формулировки теоремы).

Пример: x¹⁹⁹⁸+2x⁷⁰⁰+12x¹⁹+1999x+2001 – неприводим, т.к. (x¹⁹⁹⁸+x+1)(mod 2) неприводим по таблице.

Теорема(Признак Эйзенштейна):]a(x) с целыми коэффициентами:a(x)= ] р – простое : p²†a₀,p|a₁,…,p|a_n-1,p†a_n a(x) – неприводим над Z.

Доказательство: от противного : пусть а(х) – приводим, т.е. a(x)=b(x)c(x), т.к. p†a_n s : p†c_s, t : p†b_t. b(x)=, c(x)=, т.к. a_n=b_mc_l. Выберем min m, min l с таким свойством : s': p|c₀,…,p|c_s'-1,p†c_s'; t': p|b₀,…,p|b_t'-1,p†b_t'. a_s'+t'=b₀c_s'+t'+b₁c_s'+t'-1+…+b_t'-1c_s'+1+b_t'c_s'+b_t'+1c_s'-1+…+b_s'+t'c₀ a_s'+t'=b_t'c_s' (mod p) не=0 (mod p) s'+t'=n, т.к. только р†a_n s'=l, t'=m, т.к. a_n=b_mc_l.

b(x) : p|b₀,p|b₁,…,p|b_m-1,p†b_m; c(x) : p|c₀,p|c₁,…,p|c_l-1,p†c_l. a₀=b₀c₀ p²|a₀.

Следствие: Над полем Q неприводимые многочлены -ой степени (их -ое число).

Доказательство: По "признаку Эйзенштейна": xⁿ-p, n1, p – простое- неприводимое, т.к. a₀=p, a₁=…=a_n-1=0, a_n=1, а -ое, т.к. множество р – бесконечно. ч.т.д.

Доказательство (свойства производной многочлена): a(x)=, a'(x)=.

1. (a(x)+b(x))'=a'(x)+b'(x). Доказательство: (a(x)+b(x))'===+. ч.т.д.

2. (a(x)b(x))'=a(x)b'(x)+a'(x)b(x). Доказательство: (a(x)b(x))'====(). a(x)b'(x)+a'(x)b(x)=+= ] =(j+1)a_j+1, т.к. ] i-1=j = == =={ ] t=k+1}==

=+={ ] k=i-t t=i-k}= + +=+= =

Задача: Обратный элемент в кольце многочленов: . -? a(x)^-1(x+1)= 1 (mod (x³+x-1)) f(x)u+a(x)v=1;

=x²-x+2 с остатком –3. 1) x³+x-1=(x²-x+2)(x+1)-3 v₁ - ?

v₀=1, v₁=-q₁=-x²+x-2

Проверка: (-x²+x-2)(x+1)=-x³+x²-2x-x²+x-2=-x³-x-2

=-1 с остатком –3=2 в GF(5). f(x)u+a(x)v=-3.

(x²)^-1 - ?

=x с остатком 11) x³+x-1=x^.x²+x-1; =x+1 с ост. 1 2) (x+1)(x-1)+1 v₂-? v₀=1, v₁=-q₁=-x, v₂=v₀-q₂v₁=1+(x+1)x=x²+x+1x²= 1(mod(x³+x-1)) Проверка: (x²+x+1)x²=x⁴+x³+x². =x+1 с остатком 1 (верно).

Задача: GF(3)[x], a(x)=(x⁴+x+2), b(x)=(x²-x-1). Представить их NOD в виде линейной комбинации.

Решение: =x²+x+2 с остатком 4x+4=x+1.

1) x⁴+x+2=(x²+x+2)(x²-x-1)+(x+1); 2) x²+x+1=(x-2)(x+1)+.

u₀=0, u₁=1, u₂=u₀-q₂u₁=0-(x-2)=2-x;

v₀=1, v₁=-q₁=-(x²+x+2), v₂=v₀-q₂v₁=1+(x²+x+2)(x-2)=1+x³+x²+2x-2x²-2x-4=x³-x²-= =x³-x²

u(x)a(X)+v(x)b(x)=1

(2-x)(x⁴+x+2)+(x³-x)(x²-x-1)=1, 2x⁴-x⁵+2x-x²+4-2x+x⁵-x⁴-x⁴+x³-x³+x²=4=1 (mod 3). Верно.

Задача: Дан многочлен 15-ой степени над полем GF(3): a(x)=x¹⁵+2x⁹+x⁵+x+1. Могут ли быть у этого многочлена кратные корни?

Решение: 1. a'(x)=15x¹⁴+18x⁸+5x⁴+1=2x⁴+1

2. NOD(a(x),a'(x)) - ?

1. =0.5x¹¹+0.5x⁷+x⁵+0.5x³ с остатком x³+x+1 (т.к. деление на 2 – это изменение знака).

2. =2x с остатком –2x²-2x+1=x²+x+1

3. =x-1 с остатком x+2

4. =x-1 с остатком 3=0 x+2 из 3) – NOD, его корень x=-2=1.

Задача: x⁶⁶+x³⁸+x¹⁴+x²+1; GF(2). Есть ли кратные корни?

66x⁶⁵+38x³⁷+14x¹³+2x=a'(x)=0 NOD(a(x),a'(x))=a(x) ?, но если есть корни, то они кратные, а в GF(2)={0,1}, где 0 – не корень, 1 – не корень корней нет.

Задача: Являются ли многочлены над различными полями неприводимыми?

1. (x³+x+1) над GF(5). Многочлен deg<4 – неприводим, если нет корней

2. (x⁶+2x³+1) над GF(3). x₀=-1 приводим. !Если NOD(a_x,a'_x)=a_x, то делитель многочлена является кратным.

(x⁶+3x²+15) над полем Q[x]. Признак Эйзенштейна: р=3 неприводим.