1. Построение экономико-математических моделей задач линейного программирования

Рассмотрим процесс построения математических моделей задач линейного программирования на примерах.

Пример 1. Определение оптимального ассортимента продукции.

Предприятие изготавливает два вида продукции – П₁ и П₂, которая поступает в оптовую продажу. Для производства продукции используются два вида сырья – А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида П₁ и вида П₂ дан в таблице

Таблица

Вид сырья	Расход сырья на 1 ед. продукции вида П1	Расход сырья на 1 ед. продукции вида П2	Запас сырья, ед.
А	2	3	9
В	3	2	13

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П₁ никогда не превышает спроса на продукцию П₂ больше, чем на 1 ед. Кроме того, известно, что спрос на продукцию П₂ никогда не превышает 2 ед. сутки.

Оптовые цены единицы продукции равны:

3 денежные единицы – для П₁;

4 денежные единицы – для П₂.

Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение.

Процесс построения математической модели для решения поставленной задачи начинается с ответов на следующие вопросы:

1. Для определения каких величин должна быть построена модель, т.е. как идентифицировать переменные данной задачи?

2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?

3. В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Ответы на вышеперечисленные вопросы могут быть сформулированы для данной задачи так:

Фирме требуется определить объемы производства каждого вида продукции в тоннах, максимизирующие доход в д.е. от реализации продукции с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов.

Для построения математической модели необходимо идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных.

Предположим, что предприятие изготовит х₁ единиц продукции вида П₁ и х₂ едини ц продукции вида П₂. Поскольку производство продукции П₁ и П₂ ограничено имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:

Доход от реализации х₁ единиц продукции П₁ и х₂ единиц продукции составит

Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значение.

Пример 2. Задача составления кормовой смеси (задача о диете)

Пусть крупная фирма имеет возможность покупать m различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит различное количество питательных компонентов (ингредиентов). Определить количество каждого i -го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и ее питательности.

Решение.

Введем условные обозначения:

x_i - количество сырья i-го вида в смеси;

m - количество видов сырья;

n - количество ингредиентов в сырье

a_ij - количество ингредиента j-го вида, содержащегося в в единице i-го вида сырья;

b_j - минимальное количество ингредиента j-го вида, содержащегося в единице смеси;

c_i - стоимость единицы сырья i-го вида;

q - минимальный общий вес смеси, используемый, используемый фирмой.

Задача может быть представлена следующим образом.

Целевая функция:

При следующих ограничениях:

• на общий расход смеси

• на питательность смеси:

,

• на неотрицательность переменных:

,

Пример 3. Задача составления жидких смесей

Фирма торгует химическими продуктами, которые представляют собой смесь нескольких компонентов. Предположим, что фирма планирует изготовление смесей m-видов.

Обозначим подлежащее определению количество литров i-го химического компонента, используемого для получения j-го продукта через x_ij. Будем предполагать, что

, ,

Первая группа ограничений относится к объемам потребляемых химических компонентов:

,

где S_i - объем i-го химического компонента, которым располагает фирма в начале планируемого периода.

Вторая группа ограничений отражает требование, заключающееся в том, чтобы запланированный выпуск продукции хотя бы в минимальной степени удовлетворял имеющийся спрос на каждый из химических продуктов:

где D_j - минимальный спрос на продукцию j-го вида в течение планируемого периода.

Третья группа ограничений связана с технологическими особенностями, которые необходимо учитывать при приготовлении смеси, например, заданное соотношение между объемами двух химических компонентов в процессе получения продукта:

где r - некоторая заданная константа.

Обозначив через P_ij - доход с единицы продукции x_ij, запишем целевую функцию в следующем виде:

Пример 4. Транспортная задача

Имеется три поставщика и четыре потребителя однородной продукции.

Введем обозначения:

c_ij - затраты на перевозку груза от i-го поставщика к j-му потребителю;

a_i - запасы груза у i-го поставщика;

b_j - потребности j-го потребителя.

Будем считать, что суммарные потребности равны суммарным запасам:

Введем переменные x_ij - количество груза, перевозимого от i-го поставщика к j-му потребителю.

Ограничения задачи выглядят следующим образом:

• потребности всех потребителей должны быть удовлетворены полностью:

,

• груз от поставщика должен быть вывезен полностью:

,

• условие неотрицательности переменных:

, ,

Целевая функция - минимизировать суммарные затраты на перевозку :