Лабораторная работа №6 Принятие решений в условиях риска
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
В большинстве теоретических задач речь идет о постановках и методах решения задач, не содержащих неопределенностей. Однако, как правило, большинство реальных инженерных задач содержит в том или ином виде неопределенность.
С точки зрения знаний об исходных данных в процессе принятия решений можно представить два крайних случая: определенность и неопределенность. В некоторых случаях неопределенность знаний является как бы "неполной" и дополняется некоторыми сведениями о действующих факторах, в частности, знанием законов распределения, описывающих их случайные величины. Этот промежуточный случай соответствует ситуации риска.
Говоря о принятии решений в условиях риска, обычно предполагают, что каждой альтернативе соответствует свое распределение вероятностей на множестве исходов. Если множества альтернатив и исходов конечны, то считаются известными вероятности всех исходов, возможных при выборе данной альтернативы.
Рассмотрим задачу принятия решения в условиях риска в общем случае, когда имеется n альтернатив x1,…xn и L исходов y1,…yL (рис.1). В качестве «состояния среды» возьмем множество возможных согласно графу связей альтернатив и исходов отображения zj: XY, j=1,…,S. В случае конечных множеств X и Y будем иметь
,
где Sj – количество стрелок, исходящих из альтернативы xj, на графе связей альтернатив и исходов.
-
Рис. 1
Таким образом, каждое «состояние среды» zj соответствует такому подграфу графа связей альтернатив и исходов (подграф состояния), в котором из каждой альтернативы xi исходит только одна стрелка, указывающая, какой исход будет реализован при выборе альтернативы xi (S – максимально возможное число таких подграфов). Следовательно, выбор «состояния среды» zj и альтернативы xi полностью определяет исход – обозначим его через yj(xi). Далее, каждому состоянию среды zj соответствует вероятность его наступления (вероятность реализации соответствующего подграфа состояния):
,
где
- заданная вероятность наступления
исхода yj
при выборе альтернативы xi.
Таким образом, для вычисления p(zj)
достаточно перемножить числа, стоящие
около стрелок, составляющих подграф
состояния zj.
Возможно построить таблицу, представляющую
функцию реализации.
Пусть в задаче принятия решения в условиях риска имеется две альтернативы и три исхода. Заданы вероятности всех исходов, возможных при выборе каждой альтернативы (рис. 2).
-
Рис. 2
Тогда
Таблица, представляющая функцию реализации, имеет следующий вид:
-
X
Z
z1(0.08)
z2(0.2)
z3(0.12)
z4(0.12)
z5(0.3)
z6(0.18)
x1
y1
y1
y1
y2
y2
y2
x2
y1
y2
y3
y1
y2
y3
Возможность представления задачи принятия решения в условиях риска в форме функции реализации означает, что статическую неопределенность, появляющуюся в неоднозначной (вероятностной) связи между средством и результатом, всегда можно интерпретировать как существование некоторой среды, оказывающей влияние на результат. Методологическое значение этого факта состоит в том, что достаточно широкий класс задач принятия решений может быть приведен к стандартной форме – функции реализации.
Пусть задана функция реализации y=F(x,z).
Будем считать, что задана функция
,
отображающая множество исходов Y
на множество вещественных чисел R.
Тогда существует функционал
и задача принятия решения эквивалентна
задаче оптимизации
. (1)
Говоря о такой формулировке задачи принятия решения, мы имеем в виду выбор альтернативы x в условиях, когда целевая функция задана, но задана не совсем точно – она содержит неопределенный параметр z.
Методологически важно различать две основные ситуации:
исход
,
соответствующий принятому решению x,
реализуется многократно;исход y реализуется однократно.
Например, выбор конструктивных параметров x изделия, выпускаемого серийно, дает пример многократной реализации исхода одного и того же выбора. Напротив, оптимальный выбор параметров уникального изделия – пример второй ситуации.
КРИТЕРИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
(критерий Байеса-Лапласа)
Обратимся к методам принятия решения при наличии многократно реализованного исхода. В этих случаях задачу (1) естественно заменить некоторой вероятностной задачей. Вполне разумным представляется выбор такой альтернативы x, которая максимизирует математическое ожидание критерия, т.е. является решением задачи
, (2)
где черта сверху означает математическое ожидание случайной величины J(x,z). Если предположить, что функционал J характеризует «полезность» или «доход», полученный от решения x и реализовавшегося исхода y, то математическое ожидание можно рассматривать как «средний доход», и, решая задачу (2), мы фактически максимизируем «средний доход».
Пусть задана следующая матрица решения (доходов).
-
X
Z
z1(0.3)
z2(0.7)
x1
2
4
x2
10
0
Тогда
.
Следовательно, согласно критерию (2) необходимо предпочесть первую альтернативу x1.
Использование критерия Байеса-Лапласа справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.
КРИТЕРИЙ ОЖИДАЕМОГО ЗНАЧЕНИЯ – ДИСПЕРСИИ
Критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций. Определенную роль может играть дисперсия критериальной функции J. Имеет смысл иногда поступиться немного значением математического ожидания для уменьшения возможного разброса результатов, т.е. уменьшения значения дисперсии. Тогда в качестве оптимальной выбирается та альтернатива xi, для которой
,
где
–
дисперсия случайной величины J(x,z);
k – заданная постоянная.
Эту постоянную целесообразно
интерпретировать как степень несклонности
к риску. Действительно, k
определяет «степень важности» дисперсии
по отношению к математическому ожиданию
случайной величины J.
Увеличение k приводит к
уменьшению «среднего дохода»
,
но зато уменьшает и вероятность отклонения
от «среднего дохода». Таким образом,
чем больше k, тем менее
склонно к риску лицо, принимающее
решение.
КРИТЕРИЙ НЕДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ БЕРНУЛЛИ
Этот критерий, по существу, применяется в условиях полной неопределенности, когда информация о вероятностях состояния среды zi отсутствует.
Яков Бернулли сформулировал его следующим образом: если нет данных к тому, чтобы считать одно событие из полной системы несовместных событий более вероятным, чем другие, то все события нужно считать равновероятными.
В контексте задачи принятия решения в условиях риска этот принцип приводит к оценочной функции
.
При этом, очевидно, множитель 1/m может быть опущен без изменения вводимого упорядочения альтернатив, и мы приходим просто к операции суммирования «доходов» по строкам матрицы решений.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Изучить теоретический материал.
По исходным данным выбрать оптимальную стратегию по критериям Байеса-Лапласа, Бернулли (вероятности состояния среды считать не заданными).
Ввести данные в ЭВМ и сравнить полученные результаты с п.2
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Дана задача принятия решения в условиях риска с двумя альтернативами x1, x2 и тремя исходами y1, y2, y3. Вероятности всех исходов, возможных при выборе каждой альтернативы, заданы в табл. 1. Выигрыши, получаемые в результате исходов, заданы в табл. 2.
Таблица 1
-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Таблица 2
-
№
y1
y2
y3
№
y1
y2
y3
1
0
1
3
2
3
1
0
3
2
0
5
4
0
2
4
5
1
2
0
6
1
0
2
7
0
4
1
8
4
2
0
9
3
0
1
10
0
2
1
СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
Краткое описание рассматриваемых методов.
Расчеты оптимальных стратегий по критериям Байеса-Лапласа, Бернулли.
Результаты работы программы.
Анализ и сравнение результатов.
Выводы.