Лабораторная работа №5 Принятие решений в условиях полной неопределенности

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Задача принятия решений возникает, когда присутствует несколько вариантов действий (альтернатив) для достижения заданного или желаемого результата. При этом требуется выбрать наилучшую в определенном смысле альтернативу.

Пусть X – множество альтернатив, Y – множество последствий (исходов). В случае, когда множества альтернатив X и исходов Y конечны, ситуацию выбора альтернативы в условиях неопределенности можно представить с помощью матрицы, называемой матрицей решений.

X	Z
	z1	…	zj	…	zm
x1	y11	…	y1j	…	y1m
…	…	…	…	…	…
xi	yi1	…	yij	…	yim
…	…	…	…	…	…
xn	yn1	…	ynj	…	ynm

Здесь X={x₁,…,x_n}, Y={y₁₁,…,y_nm}. Вектор Z={z₁,…,z_m} описывает неопределенность обстановки и также предполагается конечным. По существу, имеется функция двух аргументов - функция реализации.

Заданная матрица интерпретируется следующим образом. Если мы выбрали решение x_j, то могут реализоваться различные исходы из соответствующей строки матрицы: y_j1,…,y_jm. Какой именно исход реализуется, зависит от значения параметра неопределенности z, который может иметь различный содержательный смысл.

Различают две основные ситуации.

1. Вектор Z отражает так называемые «природные» неопределенности, т.е. неопределенность «состояния природы» в момент принятия решения.

2. Множество Z={z₁,…,z_m} есть множество альтернатив, на котором (одновременно с нами) осуществляет выбор решения второй субъект, руководствуясь своими отношениями предпочтения (неопределенность типа «активный партнер»). При этом выбираемое нами решение x, в свою очередь, характеризует неопределенность обстановки для второго субъекта.

При рассмотрении методов принятия решений в условиях неопределенности используется понятие оценочной функции. Очевидно, что если принятие решений происходит в условиях определенности, то матрица решений будет содержать только один столбец. Принятие решений в условиях неопределенности состоит, по существу, тоже в формировании одностолбцовой матрицы решений и сведении задачи к случаю полной определенности. Эта процедура выполняется неоднозначно с помощью применения различных оценочных функций.

Пусть задана (nm)-матрица решений {y_ij}. Оценочной функцией называется вектор-функция , преобразующая эту матрицу в одностолбцовую матрицу {y_ij}:

,

т.е. зависят от всех элементов исходной матрицы. Многие методы принятия решений имеют оценочные функции вида

,

когда i-й элемент одностолбцовой матрицы зависит только от элементов i-й строки исходной матрицы решений.

После построения оценочной функции выбор наилучшей альтернативы x^* производится из условия максимума или минимума значений оценочной функции (в зависимости от интерпретации элементов матрицы решений – «доходы» или «потери»).

Без существенного ограничения общности можно полагать, что всякое решение в условиях неполной информации – сознательно или неосознанно – принимается в соответствии с некоторой оценочной функцией. Выбор самой оценочной функции – это неформальный акт, и этот выбор всегда должен осуществляться с учетом качественных характеристик ситуации, в которой принимается решение.

Рассмотрим несколько классических критериев принятия решений в условиях полной неопределенности на основе различных оценочных функций.

МАКСИМИННЫЙ КРИТЕРИЙ ВАЛЬДА

Пусть матрица решений является матрицей «доходов». Согласно критерию Вальда в качестве оптимальной выбирается та стратегия, при которой минимальный выигрыш максимальный:

.

Очевидно, что если матрица решений отражает не «полезность» альтернативы, не «доход», а, напротив, - «потери», то максиминный критерий превращается в минимаксный:

.

Максиминные и минимаксные критерии являются крайне осторожными, «пессимистичными», что может иногда приводить к нелогичным выводам, противоречащим здравому смыслу.

КРИТЕРИЙ МИНИМАЛЬНОГО РИСКА (СОЖАЛЕНИЯ) СЭВИДЖА

Введем новую матрицу вместо {y_ij} следующим образом:

,

если y – «доход»;

,

если y – «потери».

Таким образом, есть разность между наилучшим значением в столбце j и значением y_ij при том же i. Следовательно, обработка матрицы {y_ij} идет по столбцам.

Построенная таким способом матрица {r_ij} называется матрицей рисков (сожалений), т.к. по существу каждое число r_ij выражает «сожаление» лица, принимающего решение, по поводу того, что он не выбрал наилучшего решения относительно состояния z_j.

Критерий минимального сожаления, предложенный Сэвиджем, состоит в применении минимаксного критерия (независимо от того, какой характер имели элементы y_ij – «доходы» или «потери») к матрице сожалений {r_ij}:

,

т.е. числа r_ij всегда носят характер «потерь» и их необходимо минимизировать.

КРИТЕРИЙ ПЕССИМИЗМА-ОПТИМИЗМА ГУРВИЦА

Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений – от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного и сводится к взвешенной комбинации обоих способов, устанавливая баланс между случаями предельного оптимизма и крайнего пессимизма. Если y_ij означает «прибыль» (т.е. соответствующие величины необходимо максимизировать), то выбирается решение из условия

.

В том случае, когда y_ij представляет «затраты», оптимальное решение удовлетворяет аналогичному соотношению:

.

При имеем случай предельного оптимизма, при - случай крайнего пессимизма (критерий Вальда). Этот коэффициент выбирается из субъективных соображений, чем опаснее ситуация, тем ближе надо выбирать  к 0.

ПРИМЕР

Пусть задана матрица решений, характеризующая доходы:

X	Z
	z1	z2	z3
x1	0.20	0.30	0.15
x2	0.75	0.20	0.35
x3	0.25	0.80	0.25
x4	0.85	0.05	0.45

z₁, z₂, z₃ – качество исходного материала, x₁, x₂, x₃, x₄ – различные технологические режимы.

Найти оптимальное решение (стратегию) с помощью критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица (=0.4).

РЕШЕНИЕ

Критерий Вальда

В каждой строке матрицы выбираем наименьший выигрыш.

X	Z			wi
	z1	z2	z3
x1	0.20	0.30	0.15	0.15
x2	0.75	0.20	0.35	0.20
x3	0.25	0.80	0.25	0.25
x4	0.85	0.05	0.45	0.05

Из величин w_i максимальная 0.25. Следовательно, по критерию Вальда оптимальной является стратегия x₃.

Критерий Сэвиджа

Строим матрицу сожалений. В каждой строке матрицы находим максимальный риск.

X	Z			γi
	z1	z2	z3
x1	0.65	0.50	0.30	0.65
x2	0.10	0.60	0.10	0.60
x3	0.60	0	0.20	0.60
x4	0	0.75	0	0.75

Следовательно, по критерию Сэвиджа оптимальной является любая из стратегий x₂ или x₃.

Критерий Гурвица

; ;

X	Z			vi	wi	hi
	z1	z2	z3
x1	0.20	0.30	0.15	0.15	0.30	0.21
x2	0.75	0.20	0.35	0.20	0.75	0.42
x3	0.25	0.80	0.25	0.25	0.80	0.47
x4	0.85	0.05	0.45	0.75	0.85	0.37

Максимальное значение h_i соответствует стратегии x₃.

Таким образом, все три критерия говорят в пользу стратегии x₃.

№	Матрица решений	доход/потери	
1		доход	0.40
2		потери	0.35
3		доход	0.60
4		потери	0.80
5		доход	0.45
6		потери	0.55
7		доход	0.70
8		потери	0.20
9		доход	0.50
10		потери	0.65

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретический материал.

2. По заданной матрице решений выбрать оптимальную стратегию по критериям Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

3. Ввести данные в ЭВМ и сравнить полученные результаты с п.2

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Краткое описание рассматриваемых методов.

2. Расчеты оптимальных стратегий по критериям Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

3. Результаты работы программы.

4. Анализ и сравнение результатов.

5. Выводы.