
- •Теорема Ферма. П усть функция определена и дифференцируема на интервале (a;b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда .
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши.
- •Достаточное условие экстремума.
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •Признак выпуклости.
- •Асимптоты графика функции.
Асимптоты графика функции.
Определение: Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М на графике до прямой l стремится к нулю при удалении точки М по графику функции от начала координат.
Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Вертикальной асимптотой называется
прямая x=a, если
.
Находят вертикальную асимптоту по точкам разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
Наклонной асимптотой называется
асимптота, уравнение которой имеет вид:
.
Оказывается, что если
является асимптотой, то
и
в уравнении определяются следующим
образом
,
.
Доказательство:
По определению асимптоты: если ОМ
,
то |MN|
0.
Þ |MQ|→0 при x→±∞, т.к.
.
По чертежу:
.
Перейдем к пределу при x→±∞:
(*)
Þ
.
.
Из (*) Þ
.
Ч.т.д.
Замечание 1: Чтобы у кривой были наклонные асимптоты, нужно, чтобы соответствующие пределы в определении k и b были конечными, причем предел при x→+∞ и предел при x→-∞ нужно вычислять отдельно.
Замечание 2: Если k=0, то y=b. Наклонная асимптота в этом случае называется горизонтальной.
Замечание 3: Кривая никогда не пересекает вертикальную асимптоту, а горизонтальные и наклонные асимптоты кривая может пересекать и даже бесконечное число раз.
Схема полного исследования функции.
1. Определить естественную область D(y) определения функции.
2. Исследовать на четность и нечетность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Найти асимптоты.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.
6. Найти интервалы выпуклости графика, точки перегиба.
7. Построить график функции.