Производящие функции

Среди дискретных случайных величин особенно важны величины, принимающие только целые значения . Наиболее общим методом изучения таких случайных величин является метод производящих функций.

Определение. Пусть – последовательность действительных чисел. Если ряд

(1)

сходится в некотором интервале , то функция называется производящей функцией последовательности .

Переменная z сама по себе ничего не обозначает. Если последовательность ограничена, то сравнение с геометрической прогрессией показывает, что ряд (1) сходится хотя бы при .

Примеры. Если для всех j, то . Производящей функции последовательности (0, 0, 1, 1, 1, …) будет функция . Последовательность имеет производящую функцию . При фиксированном n последовательность имеет производящую функцию . Если X – число очков, выпавших при бросании правильной кости, то распределение вероятностей случайной величины X имеет производящую функцию

.

Пусть случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, … . Удобно ввести специальные обозначения как для распределения величины X, так и для “хвостов” распределения. Мы будем писать

; (2)

тогда . (3)

Производящими функциями последовательностей и будут функции

, (4)

. (5)

Так как , то ряд (4) сходится абсолютно хотя бы при . Коэффициенты ряда (5) меньше единицы, поэтому он сходится хотя бы при .

Теорема 1. При имеем

. (6)

Доказательство. Коэффициент при в разложении равен , если , и равен , если . Поэтому , что и утверждалось.

Теорема о среднем Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на, интервале . Тогда существует на интервале точка с, для которой выполняется равенство

(3)

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в таком виде:

Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки и графика функции , а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке . Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая (рис. 1) есть график непрерывной на функции, имеющей производную

на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой и .

Равенство (3) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений.

Рассмотрим теперь производную

. (7)

Здесь ряд сходится хотя бы при . При правая часть формально сводится к . Если математическое ожидание существует, то производная будет непрерывной в замкнутом интервале . Если же ряд расходится, то при . В этом случае мы будем говорить, что X бесконечное математическое ожидание, и писать . (если все рассматриваемые величины положительны, то употребление символа не приводит к противоречиям). Применяя теорему о среднем к числителю правой части соотношения (6), получаем что , где число заключено между z и 1.

Пределы берутся при , когда ряды еще сходятся. Функция , т.е. интервал в теореме Коши есть интервал изменения аргумента от z до 1.

Так как обе функции монотонно возрастают, из этого следует, что и имеют одинаковые конечные или бесконечные пределы, которые мы будем обозначать через и . Итак доказана следующая теорема.

Теорема 2. Математическое ожидание удовлетворяет соотношениям

, так как ;

или в терминах производящих функций

.

Дифференцируя формулу (7) и используя соотношение (дифференцируем второй раз и полагаем ), тем же способом находим

. (10)

Это важное соотношение будет нужно в дальнейшем при выводе формулы Полячека-Хинчина.

.

Чтобы получить дисперсию надо добавить первый момент и еще вычесть этот же первый момент в квадрате .

То есть для того, чтобы получить дисперсию X, к выражению надо прибавить , что приводит нас к следующей теореме.

Теорема 3. Справедливо равенство

, (11)

В случае бесконечной дисперсии при .

Формулы (9) и (11) часто дают самый простой способ вычисления и .