3. Вероятности перехода за несколько шагов

Мы обозначим через вероятность перехода из в ровно за шагов. Иначе говоря есть условная вероятность попадания в на -м шаге при условии, что начальным состоянием. Было ; она равна сумме вероятностей всех путей длины , начинающихся в и оканчивающихся в . В частности, и

(3.1)

По индукции мы получаем общую рекуррентную формулу

(3.2)

дальнейшая индукция по приводит к основному тождеству

(3.3)

(которое является частным случаем уравнения Колмогорова-Чепмена). Оно отражает тот простой факт, что первые шагов приводят из в некоторое промежуточное состояние и что вероятность последующего перехода из в не зависит от того, каким образом было достигнуто .

Так же как и в случае , образовавших матрицу , мы расположим в матрицу, которую обозначим . Тогда (3.2) утверждает, что для того, чтобы получит элемент матрицы , мы должны умножить элементы -й строки на соответствующие элементы -го столбца и сложить полученные произведения. Эта операция называется умножением матриц и и выражается символически равенством . Данное определение позволяет назвать -й степенью ; уравнение (3.3) выражает известный закон .

Для того чтобы (3.3) было справедливо для всех , мы определим , положив и при , что вполне естественно.

Примеры. а) Независимые испытания. Обычно бывает трудно получить явные выражения для вероятностей перехода за несколько шагов, однако, к счастью они не представляют особого интереса. Как важное, хотя и тривиальное исключение, мы отметим частный случай независимых испытаний. Этот случай имеет место тогда, когда все строки тождественно совпадают с данным распределением вероятностей, и ясно без вычислений, чт о отсюда следует равенство при всех .

б) Серии успехов. В примере д) (серии успехов) легко видеть (либо из рекуррентной формулы (3.2), либо из самого определения процесса), что

В этом случае ясно, что сходится к матрице, такой, что все элементы в ее столбце с номером равны .

Безусловные вероятности

Пусть снова означает вероятность состояния в начальном (нулевом) испытании. Тогда (безусловная) вероятность попадания в на -м шаге равна

. (3.4)

Обычно мы считаем, что процесс начинается из фиксированного состояния , т.е. полагаем . В этом случае . Интуитивно мы чувствуем, что влияние начального состояния должно постепенно ослабевать, так как при больших распределение (3.4) должно быть почти независимым от начального распределения . Так оно и будет, если (как в последнем примере) сходится к независящему от пределу, т.е. если сходится к матрице с одинаковыми строками. Мы видим, что обычно это действительно так, хотя нам и придется еще принимать в расчет досадные исключения, обусловленные периодичностью.

Простейшие стохастические процессы с непрерывным временем

Общие понятия. Марковские процессы

Цепи Маркова могут быть описаны очень грубо как стохастические процессы, в которых будущее зависит лишь от настоящего состояния, но не от прошлой истории, или того способа, которым было достигнуто настоящее состояние. Эти процессы имеют только счетное множество значений (состояний) и зависят от дискретного временного параметра, т.е. изменения могут происходить лишь в фиксированные моменты времени . Мы можем рассматривать такие явления как телефонные вызовы, радиоактивный распад и расщепление хромосом, в которых изменения могут происходить в любой момент времени. С математической точки зрения мы будем иметь дело со стохастическими процессами со счетным множеством состояний, но зависящими уже от непрерывного временного параметра. В рамках дискретных вероятностей описание таких процессов невозможно, и мы на самом деле не в состоянии формально определить интересующий нас класс марковских процессов.

Выражение “будущее развитие не зависит от прошлой истории” имеет очевидное интуитивное значение (по крайней мере по аналогии с дискретными цепями Маркова). Переходной вероятности для цепей Маркова теперь соответствует переходная вероятность , а именно условная вероятность состояния в момент при условии, что в момент система находилась в состоянии . Как показывает обозначение, предполагается, что эта вероятность зависит только от продолжительности временного интервала, но не от его положения на оси времени. Такие переходные вероятности называются стационарными или однородными по времени. Основным соотношением является уравнение Колмогорова-Чепмена

, (1)

которое основано на следующем рассуждении. Предположим, что в момент времени 0 система находится в состоянии . Тогда -й член в правой части представляет вероятность сложного события, состоящего в том, что система в момент времени находится в состоянии , а в более поздний момент – в состоянии . Но переход из состояния в момент времени 0 в состояние в момент с необходимостью происходит через некоторое промежуточное состояние в момент времени , и, суммируя по всем возможным состояниям , мы видим, что (1.1) должно выполняться для произвольных (фиксированных) и .

В этой главе мы будем изучать решения основного уравнения (1). Будет показано, что простые постулаты, приспособленные к конкретным ситуациям, приводят к системам дифференциальных уравнений для и что из этих уравнений, даже не решая их, можно получить интересные результаты. И эти результаты имеют смысл, потому что наши решения действительно являются переходными вероятностями марковского процесса, который однозначно определяется этими вероятностями и начальным положением в момент времени 0. Этот интуитивно очевидный факт мы примем без доказательства.

Для фиксированных и переходные вероятности определяют обычное дискретное распределение вероятностей. Оно зависит от непрерывного параметра , однако мы уже встречались со многими семействами распределений, зависящих от непрерывного параметра. Технически рассуждения последующих параграфов остаются в рамках дискретных вероятностей, но это искусственное ограничение является для многих целей слишком строгим. Этот момент может проиллюстрировать распределение Пуассона . Нулевой член этого распределения можно интерпретировать как вероятность того, что за интервал времени фиксированной длины не поступило ни одного телефонного вызова. Но тогда будет также вероятностью того, что время ожидания первого вызова превышает , и поэтому мы косвенно имеем дело с непрерывным распределением вероятностей на оси времени. Мы вернемся еще к этому вопросу в параграфе 6.

ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС

Пуассоновский процесс можно рассматривать с различных точек зрения, и здесь мы рассмотрим его в качестве прототипа всех процессов из этой главы. Последующий вывод распределения Пуассона наилучшим образом подходит для наших обобщений, однако он никоим образом не является лучшим и в других контекстах.

В качестве эмпирических предпосылок возьмем такие случайные события, как распад частиц, поступающие телефонные вызовы, расщепление хромосом под воздействием вредной радиации. Предполагается, что все наблюдаемые события однотипны, и мы интересуемся полным числом событий, происшедших в течение произвольного интервала времени длины . Каждое событие представляется точкой на оси времени, и поэтому мы в действительности рассматриваем некоторые случайные размещения точек на прямой. Лежащие в основе нашей математической модели физические предположения состоят в том, что силы и воздействия, управляемые процессом, остаются постоянными, так, что вероятность любого отдельного события одна и та же для всех интервалов времени продолжительности и не зависит от прошлого развития процесса. Математически это означает, что наш процесс является однородным по времени марковским процессом. Выведем основные вероятности

.

Чтобы ввести понятия, подходящие и для других процессов из этой главы, мы выберем начало отсчета времени и будем говорить, что в момент времени система находится в состоянии , если между 0 и произошло ровно скачков функции . Тогда равняется вероятности состояния в момент , однако может быть также описана как вероятность перехода из произвольного состояния в произвольный момент времени в состояние к моменту . Теперь наше нестрогое описание процесса мы преобразуем в свойства вероятностей .

Разобьем временной интервал единичной длины на подинтервалов длины . Вероятность скачка внутри любого из этих подинтервалов равна , и поэтому математическое ожидание числа интервалов, содержащих скачки, равно . Интуитивно представляется, что при это число должно стремиться к математическому ожиданию числа скачков внутри произвольного интервала времени единичной длины, и поэтому естественно предположить, что существует число такое, что

. (2)

Физическая картина процесса требует также, чтобы скачок обязательно приводил из состояния в соседнее состояние , и отсюда вытекает, что математическое ожидание числа подынтервалов (длины ), содержащих более чем один скачок, должно стремиться к 0. Поэтому мы должны предположить, что при

. (3)

Чтобы окончательно сформулировать постулаты, запишем (2) в виде , где (как обычно) обозначает величину, по порядку меньшую чем . (Точнее говоря, означает такую величину, что при ). С учетом этого (3) эквивалентно соотношению . Сформулируем теперь следующие постулаты.

Постулаты пуассоновского процесса. Процесс начинается в момент времени 0 в состоянии ( ). Непосредственный переход из состояния возможен только в состояние ( ). Каково бы ни было состояние процесса в момент времени , (условная) вероятность скачка внутри последующего короткого интервала времени между и равна , тогда как (условная) вероятность наличия в нем более чем одного скачка есть .

Как было объяснено в предыдущем параграфе, эти условия слабее нашего исходного предположения об отсутствии влияния прошлой истории процесса на его будущую эволюцию. С другой стороны, наши постулаты носят чисто аналитический характер, и их достаточно, чтобы показать, что мы должны иметь

. (4)

Для доказательства этого возьмем сперва и рассмотрим событие, состоящее в том, что в момент времени система находится в состоянии . Вероятность этого события равна , и осуществиться оно может тремя взаимоисключающими способами. Во-первых, в момент времени система может находиться в состоянии , и между и не произойдет ни одного скачка. Вероятность этой возможности равна

.

Вторая возможность состоит в том, что в момент времени система находится в состоянии и между и происходит в точности один скачок. Вероятность этого равна . Любое другое состояние в момент более одного скачка в интервале между и , и вероятность подобного события есть . Следовательно, мы должны иметь

, (5)

а это соотношение можно переписать в виде

. (6)

При последний член стремится к нулю; следовательно, предел левой части существует и равен

. (7)

При вторая и третья из упомянутых выше возможностей не возникают, и поэтому (5) следует заменить на

, (8)

что приводит к

. (9)

Отсюда и из получаем . Подставляя это значение в (7) при , мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение для .

Легко проверить путем подстановки в формулу (7) и проверки тождества левой и правой частей, что ,

Поскольку , мы легко находим, что

,

,

,

… ,

а это полностью согласуется с (4).

Входящий поток заявок. Заявки выбираются из некоторой совокупности или источника заявок. Эта совокупность может быть конечной или бесконечной. В последнем случае математическая модель СМО будет более простой. Поэтому предположение о бесконечности источника заявок часто делается даже в случае конечного, но достаточно большого числа заявок в исходной совокупности.

Другой важной характеристикой входящего потока заявок является статистическая картина поступления заявок во времени. Самую простую статистическую картину дает регулярный входящий поток, когда заявки поступают в равноотстоящие друг от друга моменты времени. Если интервал времени между поступлениями заявок равен , то интенсивность поступления заявок (в единицу времени) есть .

Предположение о регулярности входящего потока не только не соответствует большинству реальных приложений, но и не является наиболее простым с точки зрения получения аналитических результатов. Простейшим с аналитической точки зрения и соответствующим многим приложениям, является предположение о совершенно случайной картине поступления заявок, описываемой пуассоновским процессом.

Более точно, входящим потоком заявок называется неубывающий случайный процесс , принимающий целочисленные значения, равные числу заявок, поступивших за промежуток времени . Пуассоновский случайный процесс получается при следующих предположениях. Пусть вероятность поступления одной заявки в течение любого малого интервала времени равна , где – интенсивность поступления заявок (т.е. среднее число заявок, поступающих за единицу времени) и вероятность поступления за этот интервал двух или более заявок составляет .

Символ используется, как обычно, для обозначения величины, стремящейся к нулю быстрее, чем , т.е. . В частности .

Отсюда вероятность отсутствия новых заявок в интервале времени длины равна . Говоря о совершенно случайной картине поступления заявок, мы имели ввиду следующее свойство: события, заключающиеся в поступлении или непоступлении заявки на интервале времени длины , статистически независимы для любых двух непересекающихся интервалов. При сделанных предположениях поступление заявки на интервале времени длины можно рассматривать как “успех” в схеме испытаний Бернулли число поступивших заявок за интервал времени , где , приближенно равно числу успехов в испытаниях Бернулли, которое имеет биномиальное распределение:

.

Полагая , а , и сохраняя при этом величину постоянной, получим, что число поступивших заявок на интервале времени имеет распределение вероятностей

,

которое называется распределение Пуассона.

В самом деле, пусть – вероятность того, что испытаний Бернулли с вероятностями успеха и неудачи закончились успехами и неудачами. Тогда

. (*)

В частности, есть вероятность того, что успехов не будет, а вероятность того, что будет хотя бы один успех, равна . Будем рассматривать как постоянную и обозначим число успехов в испытаниях через ; тогда . Согласно общей терминологии есть случайная величина, а функция (*) является распределением этой случайной величины; будем называть это распределение биномиальным.

Из (*) очевидно, что

(**)

Во многих приложениях мы имеем дело с испытаниями Бернулли, в которых относительно велико и относительно мало, а произведение и не мало и не велико. В таких случаях удобно использовать для предложенное Пуассоном приближение, вывод которого мы начинаем. Для имеем

.

Переходя к натуральным логарифмам и используя разложение Тейлора в окрестности нулевой точки

,

находим

,

так, что при больших

,

где знак означает приближенное равенство (в данном случае с точностью до членов порядка ). Далее из (**) видно, что для произвольного фиксированного и достаточно больших имеем

(здесь постоянная величина ).

Отсюда последовательно заключаем, что

,

,

и в общем случае по индукции получаем

.

Это и есть классическое пуассоновское приближение для биномиального распределения.

ПРОЦЕСС ЧИСТОГО РАЗМНОЖЕНИЯ

Простейшее обобщение пуассоновского процесса получается при предположении, что вероятности скачков могут зависеть от текущего состояния системы. Это приводит нас к следующим требованиям.

Постулаты. (i) Непосредственный переход из состояния возможен только в состояние .(ii) Если в момент времени система находится в состоянии , то (условная)вероятность одного скачка в последующем коротком интервале времени между и равна тогда как (условная) вероятность более чем одного скачка в этом интервале есть .

Отличительная черта этого предположения заключается в том, что время, которое система проводит в любом конкретном состоянии, не играет 6никако роли; возможны внезапные изменения состояния, однако, пока система находится в одном состоянии, она не стареет.

Пусть снова будет вероятностью того, что в момент времени система находится в состоянии . Эти функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, которую можно вывести при помощи рассуждений предыдущего параграфа с тем лишь изменением, что (5) в предыдущем параграфе заменяется на

. (1)

Таким образом, мы получим основную систему дифференциальных уравнений

(2)

В пуассоновском процессе было естественно предполагать, что в момент времени 0 система выходит из начального состояния . Теперь мы можем допустить более общий случай, когда система выходит из произвольного начального состояния . Тогда получаем, что

(3)

Эти начальные условия единственным образом определяют решение системы (2). (В частности, ) Явные формулы для выводились независимо многими авторами, однако для нас они не представляют интереса.

Пример. Радиоактивный распад. В результате испускания частиц или -лучей радиоактивный атом, скажем урана, может превратиться в атом другого вида. Каждый вид представляет собой возможное состояние, и, когда процесс протекает, мы получаем последовательность переходов . Согласно принятым физическим теориям, вероятность перехода остается неизменной, пока атом находится в состоянии , и эта гипотеза находит выражение в нашем исходном предположении. Стало быть, этот процесс описывается дифференциальными уравнениями (2) (факт, хорошо известный физикам). Если – конечное состояние, из которого невозможны никакие другие переходы, то и система (2) обрывается при . (При мы автоматически получаем ).

ПРОЦЕСС РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ

Процесс чистого размножения дает удовлетворительное описание радиоактивных превращений, однако он не может служить реалистической моделью для изменений объема совокупности, члены которой могут умирать (или исчезать). Это наводит на мысль об обобщении нашей модели, допускающем переходы из не только в ближайшее сверху состояние , но и в ближайшее снизу состояние .

Таким образом, мы начнем со следующих постулатов.

Постулаты. Изменения системы осуществляются путем переходов из состояний в ближайшие с ними соседние состояния (из в или в при , а из – только в ). Если в момент времени система находится в состоянии , то вероятность того, что между и произойдет переход равна , а вероятность перехода (если ) равна . Вероятность более чем одного изменения на протяжении есть .

Легко приспособить метод параграфа 2 для вывода дифференциальных уравнений для вероятностей того, что система находится в состоянии . Чтобы вычислить , заметим, что состояние в момент возможно лишь при выполнении одного из следующих условий: 1) в момент система находится в и между и не происходит никаких изменений; 2) в момент система находится в и происходит переход в ; 3) в момент система находится в и происходит переход в ; 4) между и происходит два или несколько переходов. По предположению вероятность последнего события есть . Первые три возможности взаимно исключаются, и их вероятности складываются; поэтому

(1)

Перенося член в левую часть и деля обе части уравнения на , получаем в левой части разностное отношение для , и в пределе при приходим к

. (2)

Это уравнение справедливо при всех . Для аналогичным образом получаем

. (3)

Если начальным состоянием является , то начальными условиями будут

. (4)

Таким образом, мы видим, что процесс размножения и гибели зависит от бесконечной системы дифференциальных уравнений (2) – (3) с начальными условиями (4). Вопрос о существовании и единственности решения в этом случае отнюдь не тривиален. В процессе чистого размножения система дифференциальных уравнений (2) также была бесконечной, но она имела вид рекуррентных соотношений: определялась первым уравнением, а могла быть вычислена по . Новая система (2) имеет иной вид, и все должны находиться одновременно. Здесь (как и в некоторых других случаях в этой главе) мы формулируем свойства решений без доказательства.

Можно показать (либо используя явный вид решений, либо из общих эргодических теорем для марковских процессов), что в любом случае пределы

(5)

Существуют и не зависят от начальных условий (4); они удовлетворяют системе линейных уравнений, которая получается из (2) – (3) при замене производных в левой части нулями.

МОДЕЛИ ОЧЕРЕДЕЙ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

С целью повышения загрузки (уменьшения простоев) программных и аппаратных ресурсов вычислительных систем (ВС) современная организация вычислительного процесса предусматривает возможность создания к ним очередей. Примером могу служить очередь заданий, ожидающих распределения памяти, очереди заданий к центральному процессору и на ввод-вывод. Ожидающие того или иного вида обслуживания задания (в других случаях это могут быть запросы, сообщения, задачи процессы или программы) будем называть заявками, а устройство, предназначенное для их обслуживания (например, память, центральный процессор (ЦП), устройство ввода-вывода), – обслуживающим устройством.

В ВС возможны очереди, в которых заявки не являются заданиями в обычном смысле этого слова. Так, например, в мультипроцессорных ВС, как правило, работать данным модулем памяти (производить считывание-запись) в каждый момент времени может только какой-нибудь один ЦП. Таким образом, если в процессе работы одного из ЦП с некоторым модулем памяти к тому возникает запрос от другого ЦП, то он должен подождать освобождения этого модуля памяти. Понятно, что в приведенном примере заявками являются запросы от ЦП, а обслуживающими устройствами – блоки памяти.

При количественном анализе очередей в ВС требуется дать ответ по крайней мере на два вопроса: насколько загружено рассматриваемое обслуживающее устройство и каково время ожидания заявок в очереди? Оба крайних случая, когда обслуживающее устройство занято мало, т.е. подолгу простаивает, у когда загрузка чрезмерно велика, вследствие чего заявки длительное время ожидают обслуживания, требуют принятия корректирующих решений в управлении вычислительным процессом. Поскольку в ВС многие ресурсы взаимосвязаны, излишняя загрузка одного из них и недостаточная загрузка другого могут привести к уменьшению пропускной способности ВС в целом.

Методы решения задач количественного анализа очередей составляют предмет одного из разделов теории вероятностей, известного под названием теория очередей или теория массового обслуживания.

СТРУКТУРА СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Хотя ВС представляет собой взаимосвязанную совокупность вычислительных ресурсов, в ряде случаев основной интерес представляет задача оценки загруженности одного из этих ресурсов, например, центрального процессора, накопителя на магнитных дисках или оператора вычислительной установки (например, сетевого оператора). Эту задачу можно решать в рамках моделей систем массового обслуживания с одним обслуживающим устройством, методы исследований которых составляют наиболее развитый и завершенный раздел теории.

Основные элементы системы массового обслуживания (СМО) показаны на рисунке.

Структура системы массового обслуживания

Обслуживаемой единицей в СМО является заявка. Заявки поступают на обслуживающее устройство. Если поступающие в СМО заявки не могут быть удовлетворены немедленно, то возникает очередь. Очередь присуща не всякой СМО. Существуют такие СМО, которых очередь не допускается, и заявка, заставшая обслуживающее устройство, занятым, теряется. Если в момент поступления заявки обслуживающее устройство занято, то заявка занимает очередь к нему, где ожидает начало обслуживания.

Выбор заявки на обслуживание в какой-то момент времени производится в соответствии с некоторым правилом, которое называется дисциплиной обслуживания. Далее выполняется обслуживание заявки, и после завершения обслуживания заявка покидает систему. Выходящий поток обслуженных заявок может оказаться весьма важным в тех случаях, когда он является входящим для другой СМО. Так, например, программы могут попеременно требовать обслуживания центрального процессора и процессора ввода-вывода.

О таких элементах СМО, как входящий поток заявок, механизм обслуживания и дисциплина обслуживания, можно сделать различные предположения. Остановимся на некоторых из них.

Входящий поток заявок

Пусть теперь – моменты поступления заявок пуассоновского потока. Тогда для любого функция распределения

или .

Таким образом, для пуассоновского входящего потока промежутки времени между моментами поступления заявок статистически независимы и имеют одинаковое экспоненциальное распределение.

Для пуассоновского входящего потока имеет место важное свойство отсутствия последействия: время ожидания поступления новой заявки не зависит от того, когда появилась предыдущая заявка. Поскольку интервалы между моментами поступления заявок имеют экспоненциальное распределение, точная формулировка этого свойства является следующей. Пусть случайная величина распределена по экспоненциальному закону, т.е.

Тогда для любого числа

. (1)

В общем случае входящий поток заявок определяется посредством задания для каждого совместного распределения случайных величин , где , а – моменты поступления заявок . В том случае, когда случайные величины независимы в совокупности, для определения входящего потока достаточно задать набор одномерных функций распределения . Такой входящий поток называется потоком с ограниченным последействием. Естественным обобщением пуассоновского потока является поток, для которого . Такой поток называется рекуррентным.

Рассмотрим ординарный поток однородных событий.

Этот поток называется потоком с ограниченным последействием (или потоком Пальма), если промежутки времени между последовательными событиями  представляют собой независимые случайные величины.

Очевидно, простейший поток является частным случаем потока Пальма: в нем расстояния представляют собой независимые случайные величины, распределенные по показательному закону.

Рассмотрим примеры потоков Пальма.

1. Некоторая деталь технического устройства (например, радиолампа) работает непрерывно до своего отказа (выхода из строя), после чего она мгновенно заменяется новой. Срок безотказной работы детали случаен; отдельные экземпляры выходят из строя независимо друг от друга. При этих условиях поток отказов (или поток «восстановлений») представляет собой поток Пальма. Если, к тому же, срок работы детали распределен по показательному закону, то поток Пальма превращается в простейший.

2. Группа самолетов идет в боевом порядке «колонна» с одинаковой для всех самолетов скоростью .

Каждый самолет, кроме ведущего, обязан выдерживать строй, т. е. держаться на заданном расстоянии  от впереди идущего. Это расстояние, вследствие погрешностей радиодальномера, выдерживается с ошибками. Моменты пересечения самолетами заданного рубежа образуют поток Пальма, так как случайные величины независимы. Заметим, что тот же поток не будет потоком Пальма, если каждый из самолетов стремится выдержать заданное расстояние не от соседа, а от ведущего.

Интересным примером потоков с ограниченным последействием являются так называемые потоки Эрланга. Они образуются «просеиванием» простейшего потока.

Рассмотрим простейший поток и выбросим из него каждую вторую точку (на рисунке выброшенные точки отмечены крестами).

Оставшиеся точки образуют поток; этот поток называется потоком Эрланга первого порядка . Очевидно, этот поток есть поток Пальма: поскольку независимы промежутки между событиями в простейшем потоке, то, независимы и величины , получающиеся суммированием таких промежутков по два.

Поток Эрланга второго порядка получится, если сохранить в простейшем потоке каждую третью точку, а две промежуточные выбросить.

Вообще, потоком Эрланга k-го порядка  называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить каждую -ю точку, а остальные выбросить. Очевидно, простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга нулевого порядка .

Механизм обслуживания

Второй компонентой СМО является количественная характеристика обслуживания, требуемого отдельной заявкой. Назовем эту характеристику длиной заявки. Единица измерения длины заявки меняется в зависимости от природы обслуживающего устройства и заявок. Если обслуживающее устройство – ЦП, а заявки – программы, то длина может измеряться в командах. Если обслуживающее устройство – линия передачи данных, а заявки – передаваемые сообщения или данные, то длина может измеряться в битах или байтах. Если совокупность заявок однородна, то предполагается, что длины различных заявок являются независимыми в совокупности и одинаково распределенными случайными величинами. В более сложных ситуациях заявки можно разделить на несколько различных типов, каждый из которых составит однородную совокупность заявок.

Чтобы задать механизм обслуживания полностью, помимо распределения длин заявок необходимо также задать быстродействие обслуживающего устройства. Обозначим величину быстродействия через C. Единица измерения быстродействия зависит от типа обслуживания. Если обслуживающее устройство – ЦП, то быстродействие измеряется в операциях в секунду. Если обслуживающее устройство – канал или линия передачи данных, то быстродействие, т.е. скорость передачи данных, измеряется в битах в секунду.

Если длина заявки равна S [единиц обслуживания] и она обслуживается устройством с быстродействием C [единиц обслуживания в секунду], то отношение [секунд] называется длительностью обслуживания заявки. Его среднее значение [секунд] называется средней длительностью обслуживания, а обратная к ней величина называется интенсивностью обслуживания.

Если C постоянно, то можно не делать различия между длиной заявки и длительностью ее обслуживания и в этом случае будем полагать, что . Тем самым длина заявки измеряется в единицах времени. Это соглашение принимается всюду далее, если не оговорено противное.

Пусть – длительность обслуживания k-й заявки. Если случайные величины независимы в совокупности, одинаково распределены и не зависят от входящего потока, то такое обслуживание называется рекуррентным. В дальнейшем, как правило, рассматриваются СМО с рекуррентным обслуживанием.

В некоторых случаях быстродействие меняется в зависимости от загрузки обслуживающего устройства. В качестве примера рассмотрим СМО с обслуживающими устройствами и общей очередью. Поступившая заявка обслуживается любым свободным обслуживающим устройством. Для простоты предположим, что все обслуживающие устройства имеют одинаковое быстродействие, скажем, C. Определим состояние СМО как число находящихся в ней заявок (как на обслуживании, так и в очереди). Тогда общее быстродействие станции обслуживания, состоящей из обслуживающих устройств, зависит от состояния и определяется формулой .

Дисциплина обслуживания.

Наиболее простой и хорошо известной является дисциплина обслуживания “первый пришел – первый обслужен”, при которой заявки обслуживаются полностью без прерываний в порядке их поступления, причем заявка, поступившая в момент простоя обслуживающего устройства, сразу же начинает обслуживаться. Легко представить себе ситуацию, когда эта дисциплина нежелательна. Например, часто бывает, что одни заявки важнее других и заслуживают предпочтительного обслуживания. Разделение заявок на группы по степени их важности осуществляется с помощью приоритетных дисциплин обслуживания, и соответствующая система массового обслуживания называется системой с приоритетами. Правило назначения приоритетов определяет порядок, в котором будут обслуживаться ожидающие заявки. Приоритетные дисциплины обслуживания бывают двух типов: с абсолютными приоритетами и с относительными приоритетами. Если обслуживание текущей заявки прерывается при появлении заявки с более высоким приоритетом и последняя немедленно начинает обслуживаться, то говорят, что имеет место дисциплина обслуживания с абсолютными приоритетами. Если прерывание обслуживания не допускается, то имеет место дисциплина с относительными приоритетами.

Далее, если специально не оговорено противное, рассматриваются СМО, в которых обслуживание заявок осуществляется в порядке их поступления.

Некоторые типы распределений. Хотя многие теоретические результаты по анализу СМО получены для общих распределений интервалов между поступлениями заявок и длительности обслуживания, на практике полезно применять некоторые специальные типы распределений, характеризуемые небольшим числом параметров. Далее кратко описываются наиболее часто используемые функции распределения.

Экспоненциальное распределение. Это распределение является самым простым с точки зрения получения аналитических результатов. Его функция распределения с параметром

и плотность

Среднее и дисперсия экспоненциального распределения равны соответственно и . Отсюда квадратичный коэффициент вариации экспоненциального распределения

.

При экспоненциальном распределении длительности обслуживания величина, обратная к средней длительности обслуживания, называется интенсивностью обслуживания.

Гамма-распределение и распределение Эрланга. В приложениях часто наблюдаются унимодальные распределения (т.е. распределения с одним максимумом) с квадратичным коэффициентом вариации, существенно отличным от единицы. В таких обстоятельствах наблюдаемое распределение можно попытаться аппроксимировать гамма-распределением с плотностью

(2)

где и – положительные постоянные, а – гамма-функция:

.

Среднее и дисперсия гамма-распределения равны соответственно

(3)

и

(4)

При гамма-распределение превращается в экспоненциальное распределение с параметром . При положительном и целом гамма-функция . Если положить среднее , то и в этом случае плотность (2) превратится в

.

Соответствующая этой плотности функция распределения имеет вид

.

Полученное распределение называется нормированным распределение Эрланга k-го порядка. Преобразование Лапласа от распределения Эрланга k-го порядка

показывает, что это распределение можно получить в результате k-кратной свертки экспоненциального распределения со средним . Поскольку свертка распределений представляет собой распределение суммы независимых случайных величин, распределению Эрланга k-го порядка можно дать следующую интерпретацию. Рассмотрим систему, в которой обслуживающее устройство состоит из k последовательно соединенных устройств, причем длительности обслуживания на каждом из них независимы и имеют одинаковое экспоненциальное распределение с параметром .

Иногда распределение Эрланга называют гипоэкспоненциальным, в отличие от гиперэкспоненциального распределения, к определению которого мы переходим.

Обобщенный закон Эрланга n-го порядка имеет плотность распределения вероятностей

.

Гиперэкспоненциальное распределение. Пусть имеется k типов заявок, заявка i-го типа появляется с вероятностью и длительность обслуживания заявки i-го типа имеет экспоненциальное распределение со средним . Тогда общее распределение длительности обслуживания представляет собой смесь экспоненциальных распределений:

,

с плотностью .

Полученное распределение называют гиперэкспоненциальным распределением k-го порядка. Его среднее и дисперсия равны соответственно

и

.

Отсюда квадратичный коэффициент вариации

,

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда для всех i.

В ряде случаев, когда обслуживающее устройство можно представить в виде совокупности параллельных устройств с длительностью обслуживания на каждом из них, имеющей экспоненциальное распределение, гиперэкспоненциальное распределение более адекватно описывает распределение длительности обслуживания по сравнению с гамма-распределением, хотя у последнего при коэффициент вариации также больше 1.

Преобразование Лапласа от гиперэкспоненциального распределения

.

Краткие обозначения. Для определения типа системы массового обслуживания часто используются обозначения вида , где символы A и B обозначают входящий поток и распределение длительности обслуживания соответственно, а l – число параллельных устройств обслуживания в СМО. Чтобы отличить СМО, в которой нет ограничений на допустимое число заявок, от СМО, в которой не может находиться более m заявок, для последней используются обозначения вида . Приведем некоторые из общепринятых обозначений для часто используемых распределений:

– экспоненциальное распределение, которое приводит к “марковскому” свойству СМО;

– обозначает вырожденное распределение (deterministic), при котором интервалы между моментами поступления или моментами начала и завершения обслуживания заявок являются постоянными;

– распределение Эрланга (Erlang) k-го порядка;

– гиперэкспоненциальное (hyperexponetial) распределение k-го порядка;

– произвольное (general) распределение;

– рекуррентный входящий поток (general independent).

Таким образом, под системой понимается СМО с одним обслуживающим прибором, пуассоновским входящим потоком и экспоненциально распределенной длительностью обслуживания. Аналогично, под системой понимается СМО с одним обслуживающим устройством, рекуррентным входящим потоком и гиперэкспоненциальным распределением второго порядка длительности обслуживания.

Показатели качества. Математическая модель реальной системы строится так, чтобы оценить какие-то показатели качества этой системы. Для систем с очередями необходимо прежде всего оценить загруженность системы. Простейшей мерой загруженности является нагрузка :

.

Если величины, стоящие в числителе и знаменателе этого отношения, равны соответственно и , то .

Если нагрузка превосходит единицу, то это означает, что заявки поступают быстрее, нежели их успевает обрабатывать обслуживающее устройство. В СМО с l параллельными обслуживающими устройствами на каждое из них приходится в среднем заявок в единицу времени. Поэтому нагрузка в такой СМО может быть поднята в l раз.

С нагрузкой тесно связан другой показатель качества – коэффициент использования, или коэффициент загрузки обслуживающего устройства. Этот показатель качества, обозначаемый через , определяется как доля времени, в течение которого обслуживающее устройство занято. Рассмотрим достаточно длительный интервал времени T. В СМО с l обслуживающими устройствами на каждое из них в среднем за время T придется по заявок в предположении, что поток заявок равномерно распределяется по l устройствам. Поскольку каждая заявка требует в среднем длительности обслуживания , то общее среднее время занятости обслуживающего устройства составит (сюда включены и простои обслуживающего устройства). Поделив эту величину на T, получим . Поскольку обслуживающее устройство не может быть занято более 100 % времени, то коэффициент использования не может превосходить единицу. Таким образом, получаем следующее выражение для коэффициента использования СМО с l обслуживающими устройствами:

.

Для СМО с одним обслуживающим устройством коэффициент использования , если , т.е. совпадает с нагрузкой.

При анализе моделей вычислительных систем одним из основных показателей качества служит пропускная способность. Эта величина как среднее число заявок, обслуженных за единицу времени. В СМО с l обслуживающими устройствами за каждую единицу времени в среднем завершается обслуживание заявок, откуда вытекает, что пропускная способность равна

.

Таким образом, пропускная способность совпадает с интенсивностью поступления заявок до тех пор, пока меньше максимальной интенсивности обслуживания , выше которой пропускная способность не поднимается.

С точки зрения заявки самым важным показателем качества, по-видимому, является время, которое она проводит в ожидании обслуживания. Определим время ожидания заявки j, равным отрезку времени от начала поступления заявки j в систему до начала ее обслуживания, а время ответа – равным отрезку времени от момента поступления заявки j в систему до момента завершения ее обслуживания. Таким образом, имеем следующее простое соотношение (индекс j опущен):

Время ответа (T) = время ожидания (W) + длительность обслуживания (S).

Для оценки качества СМО обычно применяются средние значения случайных величин и в установившемся (стационарном) режиме, когда . Эти средние уже не зависят от j, и мы будем обозначать их символами и соответственно.

Более подробную информацию о качестве СМО могут дать функции распределения и случайных величин и в установившемся режиме . Примером, где такие распределения представляют интерес, может служить случай, когда заявка может покинуть систему, если задержки велики.

Последней интересующей нас мерой загруженности является длина очереди. Пусть случайный процесс есть число заявок, ожидающих обслуживания в момент времени t. Аналогично, определим как число заявок, находящихся в системе либо в очереди, либо на обслуживании. Процесс называют длиной очереди. В СМО с l обслуживающими устройствами и связаны соотношением

.

Изучение распределения числа заявок, ожидающих обслуживания, требуется, например, при оценке объема буферной памяти, необходимой для размещения поступающих заявок.

Процессы и – это случайные процессы с непрерывным временем. Поэтому для оценки качества СМО, также как и в случае случайных последовательностей и , применяются средние значения случайных процессов и в установившемся режиме, когда . Эти средние уже не зависят от t, и мы будем обозначать их символами и соответственно.

Выведем (без излишней строгости) некоторые важные соотношения для показателей качества СМО в установившемся режиме. Пусть заданы – интенсивность поступления заявок в СМО и – средняя длительность обслуживания заявки. Интенсивность обслуживания заявок работающим устройством есть , а интенсивность выходящего потока заявок в произвольный момент времени равна , где – вероятность простоя обслуживающего устройства в установившемся режиме, т.е. – вероятность того, что устройство работает. Поскольку в установившемся режиме интенсивность ухода обслуженных заявок из системы совпадает с интенсивностью поступления заявок в систему, то . Отсюда

,

где – нагрузка, или коэффициент использования обслуживающего устройства. Как следует из (5), в установившемся режиме .

Процесс передачи заявок в системе с одним обслуживающим устройством проиллюстрирован на рисунке.