Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
-
План ответа:
Постановка задачи
Прямые методы (определение, примеры)
Итерационные методы (определение, понятие одношаговых и двухшаговых методов, условия окончания итераций, каноническая форма записи итерационных методов, понятие стационарных, нестационарных, явных и неявных методов, понятие матрицы перехода от n-ой итерации к (n+1)-ой, достаточное условие сходимости стационарных методов, необходимое и достаточное условие сходимости стационарных методов)
Рассмотрим задачу численного решения системы вида
(1)В матричном виде она записывается
Ax = b, (1а)
где
- вектор свободных членов;
- вектор неизвестных с вещественными
координатами;
- вещественная квадратная матрица
коэффициентов системы размерности
.Будем предполагать, что определитель матрицы A отличен от нуля. Тогда для каждого вектора b система (1) имеет единственное решение.
Для решения таких систем можно использовать как прямые, так и итерационные методы.
Прямые методы позволяют за конечное число действий получить точное решение системы уравнений, если входная информация задана точно и вычисления ведутся без округления (напр., методы Гаусса, Крамера и т.п.).
Итерационный метод позволяет найти приближенное решение системы путем построения последовательности приближений (итераций), начиная с некоторого начального приближения. Само приближенное решение является результатом вычислений, полученным после конечного числа итераций.
Перейдем к общему описанию метода итераций для решения СЛАУ. Будем рассматривать систему
(1)Для ее решения выбирается некоторое начальное приближение
,
и последовательно находятся приближенные
решения (итерации) уравнения (5.1).
Значение итерации
выражается через известные предыдущие
итерации
.В дальнейшем верхний индекс будет указывать номер итерации, т.е.
,
где
- n-ая итерация i–той
компоненты вектора x.Определение 1 Если при вычислении используется только одна предыдущая итерация
,
то итерационный метод называют
одношаговым (или двухслойным)
методом; если же
выражается через две итерации
и
,
то метод называют двухшаговым
(или трехслойным).Окончание итераций определяется либо заданием максимального числа итераций
,
либо условием
, (2)где > 0 – заданное число.
Определение 2. Канонической формой одношагового итерационного метода решения системы вида (5.1) называется его запись в виде
(3)Здесь
- матрица, задающая тот или иной
итерационный метод,
- итерационный параметр,
- вектор, полученный на n
– ой итерации.Предполагается, что задано начальное приближение
и существует
.Определение 3. Итерационный метод (3) называется явным, если
,
неявным, если
,
где E – единичная
матрица.Определение 4. Итерационный метод (3) называется стационарным, если
и
,
т.е. не зависят от номера итерации, и
нестационарным – в противоположном
случае.Определение 5. Матрица
называется матрицей перехода от n-ой
итерации к (n+1)-ой.Теорема 1. (Необходимое и достаточное условие сходимости)
Итерационный метод
сходится при любом начальном
приближении, тогда и только тогда,
когда все собственные значения матрицы
перехода S по модулю
меньше единицы.Теорема 2. (Достаточное условие сходимости)
Итерационный метод сходится при любом начальном приближении, если норма матрицы перехода S меньше единицы.