3.1.3. Определение плана перевозок для доставки мелких партий груза

Отличие построения данного плана перевозок от общего случая транспортной задачи состоит в том, что поставка товаров осуществляется с одного склада в несколько пунктов назначения, что часто можно встретить в сетевой рознице. Целью данного класса задач является определение количества маршрутов и очередность поставки товаров в магазины для каждого маршрута с наименьшими транспортными затратами.

Решение данной задачи раскладывается на два этапа:

1. Определение количества маршрутов и входящих в каждый маршрут пунктов назначения.

2. Определение последовательности доставки товаров в пункты назначения внутри каждого маршрута.

Алгоритм решения.

1 шаг. Определить количество маршрутов путем деления общего объема спроса на грузоподъемность транспортного средства.

2 шаг. Методом минимального остовного дерева связать все пункты назначения в единую сеть минимального длины.

3 шаг. По каждой полученной ветви, начиная с наиболее удаленного пункта назначения, группируют пункты в маршруты с учетом объема спроса и грузоподъемностью транспортного средства.

4 шаг. С использованием метода ветвей и границ или суммирования по столбцам определяют последовательность поставки товаров в магазины внутри маршрута.

Задача 1

Определить оптимальный план перевозок товаров со склада S в магазины. Товар в магазины поставляется со склада с использованием Газели грузоподъемностью 1,5 тонны. Транспортная сеть представлена на рис. 3.1.1, а потребности магазинов в товаре отображены в таблице 3.1.42.

Рис. 3.1.1. Транспортная сеть.

Таблица 3.1.42

Потребность магазинов в товаре

	Магазины
	1	2	3	4	5	6	7	8
Спрос, т.	0,33	0,25	0,35	0,45	0,25	0,5	0,47	0,31

Решение

Определим количество маршрутов:

где

– суммарный спрос товаров в магазинах, т.;

Q – грузоподъемность транспортного средства, т.

марш.

Построим транспортную сеть минимальной длины методом остовного дерева. Вырежем первый узел (склад) и соединим его с наиболее приближенным к складу магазином (5) – см. рис. 3.1.2 а. Дальше рассмотрим следующий узел (магазин первый) и соединим в транспортную сеть (рис. 3.1.2. б) с наиболее приближенным узлом (склад).

а) б)

Рис. 3.1.2. Построение транспортной сети

Вырежем второй пункт. Второй пункт может быть соединен в транспортную сеть (рис. 3.1.1) с пунктами один (7,3 км), четыре (4,5 км), семь (5,2 км) и восемь (6,3 км). Выберем наименьшее расстояние и, следовательно, соединим в транспортную сеть пункт второй и четвертый (рис. 3.1.3 а). Рассмотрим восьмой пункт. Наиболее приближен к восьмому пункту седьмой. Соединим их между собой в транспортную сеть (рис. 3.1.3 б).

а) б)

Рис. 3.1.3. Построение транспортной сети (продолжение)

Третий пункт может быть соединен с пунктом шесть (4,6 км), а также с транспортными сетями 2 – 4 и 1 – S – 5. С сетью 1 – S – 5 пункт третий может быть соединен через пункты S (7,2 км) и пять (5,3 км), а с сетью 2 – 4 через пункт четыре (6,2 км). Соединим пункт третий с пунктом шестым в транспортную сеть, так как расстояние между этими пунктами наименьшее (рис. 3.1.4.).

Рис. 3.1.4. Построение транспортной сети (продолжение)

Таким образом, получилось четыре несвязанные между собой сети: 1 – S – 5, 2 – 4, 3 – 6 и 7 – 8, в которые входят все исходные пункты. Соединим полученные сети в одну кратчайшими маршрутами.

Соединим сеть 3 – 6 с сетями 8 – 7, 2 – 4, 1 – S – 5. Для этого укажем возможные маршруты из третьего и шестого пункта и выберем наименьшее расстояние, соединив пункты 6 и 7 (рис. 3.1.5.).

Рис. 3.1.5. Построение транспортной сети (продолжение)

Рассмотрим существующую сеть 2 – 4. Пункт второй можно соединить с пунктами восемь (6,3 км), семь (5,2 км) и один (7,3 км), а пункт четвертый с третьим (6,2 км), первым (6,8 км), шестым (5,4 км) и седьмым (6 км). Кратчайшим является расстояние от пункта второго к седьмому, следовательно, сеть 2 – 4 соединяем с сетью 3 – 6 – 7 – 8 через эти пункты (рис. 3.1.6).

Рис. 3.1.6. Построение транспортной сети (продолжение)

Соединим две полученные транспортные сети в одну. Выберем кратчайший из маршрутов 1 – 2 (7,3 км), 1 – 4 (6,8 км), 5 – 3 (5,3 км), 5 – 6 (7,2 км), S – 3 (7,2 км) (рис. 3.1.7.). Наименьшим является расстояние между третьим и пятым пунктом, через которые и соединяем две сети в одну.

Рис. 3.1.7. Построение транспортной сети (продолжение)

Таким образом, получили транспортную сеть наименьшей длины (рис. 3.1.8).

з)

Рис. 3.1.8. Построение транспортной сети (окончание).

Сформируем маршруты с учетом объема спроса и грузоподъемности транспортного средства от наиболее удаленного по построенной транспортной сети магазина от склада.

Маршрут 1		Маршрут 2
Магазин	Объем поставок	Магазин	Объем поставок
4	0,45	6	0,5
2	0,25	3	0,35
8	0,31	5	0,25
7	0,47	1	0,33
Итого	1,48		1,43

Определение последовательности поставки товаров в магазины будем вести с помощью метода суммирования по столбцам. Построим матрицу кратчайших расстояний (таблица 3.1.43) между магазинами и складом в первом маршруте: на главной диагонали матрицы размещаются обозначения пунктов маршрута, а на пересечении соответствующих столбцов и строк – кратчайшие расстояния между пунктами (рис. 3.1.1). Определим сумму расстояний в каждом столбце и запишем ее в последней строке таблицы 3.1.43.

Таблица 3.1.43

Матрица кратчайших расстояний

S	10,2	10,7	17	14,6
10,2	4	4,5	9,7	6
10,7	4,5	2	6,3	5,2
17	9,7	6,3	8	3,7
14,6	6	5,2	3,7	7
52,5	30,4	26,7	36,7	29,5

Поставка товаров всегда начинается со склада и транспортное средство должно вернуться на склад, поэтому склад всегда является начальным и конечным пунктом маршрута. Определение последовательности поставки товаров в первом маршруте начинают с выбора двух объектов, имеющих наибольшие значения сумм в соответствующих столбцах – в данном случае это 4 и 8, и первый вариант маршрута обозначим как S – 8 – 4 – S. Следующим включается пункт, имеющий наибольшую сумму в последней строке таблицы 3.1.43. Пункт включается между тремя выбранными магазинами таким образом, чтобы приращение длины маршрута было минимальным.

где

l_ai – расстояние между исходным пунктом a и включаемым i – пунктом, км;

l_ib – расстояние между включаемым i – пунктом и конечным пунктом b, км;

l_ab – расстояние между исходным и конечным пунктом, км.

Согласно таблице 3.1.43 следующим пунктом, включаемым в маршрут, будет магазин седьмой. Определим приращение исходного маршрута, если седьмой магазин будет располагаться между пунктами S-8, 8-4 или 4-S.

; ;

Таким образом, наименьшее приращение исходного маршрута будет в случае, если включить седьмой магазин между восьмым и четвертым пунктом. Получим маршрут: S – 8 – 7 – 4 – S.

Определим приращение исходного маршрута при включении второго магазина.

;

;

;

Наименьшее приращение длины исходного маршрута получим при включении второго магазина между складом и восьмым магазином. Таким образом, последовательность поставки товаров со склада в магазины в первом маршруте длиной 36,9 км получает вид:

S – 2 – 8 – 7 – 4 – S.

Для определения последовательности поставки товаров в магазины со склада во втором маршруте построим матрицу кратчайших расстояний (табл. 3.1.44).

Таблица 3.1.44

Матрица кратчайших расстояний

S	9,8	7,2	2,6	3,4
9,8	6	4,6	7,2	12,2
7,2	4,6	3	5,3	10,6
2,6	7,2	5,3	5	6
3,4	12,2	10,6	6	1
23	33,8	27,7	21,1	32,2

Выберем исходный маршрут из двух магазинов, имеющих наибольшую сумму, и склада: S – 6 – 1 – S. Определим наименьшее приращение при включении в маршрут третьего магазина.

; ;

Таким образом, получим маршрут S – 3 – 6 – 1 – S.

Включим пятый магазин. Для этого определим приращение исходного маршрута и выберем, между какими магазинами приращение будет наименьшим.

; ;

Магазин 5 включим между складом и магазином 3. Таким образом, поставку товаров в магазины со склада по второму маршруту общей длиной 28,1 км необходимо осуществлять по схеме: S – 5 – 3 – 6 – 1 – S. Общая длина двух маршрутов составляет 65 км (рис. 3.1.9).

Рис. 3.1.9. Последовательность поставки товаров в магазины по первому (а) и второму маршруту (б).