3.4. Теплопроводность твердых тел при низких температурах

Теплопроводностью жидкостей и газов называют процесс распространения теплоты при непосредственном соприкосновении частиц, имеющих различную температуру, т.е. процесс атомно-молекулярный, не связанный с макроскопическим движением среды.

Коэффициент теплопроводности λ является физическим параметром и характеризует способность вещества проводить тепло, т.е. определяет количество тепла, которое в единицу времени проходит через единицу поверхности, перпендикулярной направлению распространения тепла, при падении температуры в 1 ^С на единицу толщины слоя вещества; измеряется в Вт/(мК).

Для понимания характера изменения теплопроводности при низких температурах необходимо различать следующие механизмы передачи теплоты в материалах:

• движение электронов – как это происходит в металлических проводниках;

• передача энергии колебаний решетки или энергии фононов – как это происходит в твердых телах;

• движение молекул – как это происходит в органических твердых телах и газах.

В жидкостях передача теплоты осуществляется посредством передачи энергии колебания молекул, тогда как в газах теплота передается в основном путем переноса энергии поступательного движения (для одноатомных газов) и энергии поступательно-вращательного движения (для двухатомных газов).

Согласно кинетической теории газов теплопроводность связывается с другими свойствами материала следующим соотношением:

,

(3.8)

где  – отношение теплоемкостей; – изохорная теплоемкость; – средняя скорость частицы; – средняя длина свободного пробега частицы (или среднее расстояние, которое проходит частица до изменения направления своего движения).

Средняя скорость частицы вычисляется как

,

(3.9)

где – коэффициент пересчета ( = 1 ).

Для всех газов теплопроводность уменьшается с уменьшением температуры, т.к. произведение , а удельная теплоемкость слабо зависит от температуры. Теплопроводность газов будет изменяться так же, как и средняя скорость частиц (3.9).

Для всех криогенных жидкостей теплопроводность увеличивается с уменьшением температуры, за исключением водорода и гелия, у которых теплопроводность уменьшается.

Понятие теплопроводности твердых тел используется при расчете потока по закону Фурье

,

(3.10)

где – коэффициент теплопроводности твердого материала; – площадь поперечного сечения стержня; – градиент температуры.

Коэффициент теплопроводности зависит от рода материала и температуры.

Или (3.10) можно записать как

,

(3.11)

где – длина стержня.

Теплопроводность твердого тела определяется двумя факторами: движением свободных электронов и распространением колебаний кристаллической решетки. Преобладание того или иного вида переноса зависит от типа материала и его свойств. В проводниках тепловой поток переносится электронами, в диэлектриках – колебаниями атомов, в материалах с промежуточными свойствами происходит смешанный перенос.

Таким образом, в общем случае коэффициент теплопроводности твердого тела:

,

(3.12)

где – коэффициент электронной теплопроводности; – коэффициент фононной (решеточной) теплопроводности.

Явление электронной теплопроводности объясняют на основе модели свободного электронного газа, где электроны участвуют в хаотичном тепловом движении наподобие молекул идеального газа. Для электронного газа также существует понятие длины свободного пробега частиц и их средней скорости .

При описании теплопроводности , обусловленной распространением колебаний кристаллической решетки, удобно использовать понятие фононного газа. Распространение тепловых волн, связанных с энергией упругих колебаний решетки, можно рассматривать как движение квазичастиц – носителей тепловой энергии, называемых фононами. Энергия фононов имеет квантовую природу, определяется частотой колебаний и постоянна для фононов данного вида. Скорость фононов равна скорости распространения упругих колебаний в твердом теле, т.е. скорости звука. В отличие от атомов и электронов число фононов непостоянно; оно растет повышением температуры. Движение фононов сопровождается столкновениями и рассеянием их энергии, следовательно, существует понятие длины свободного пробега фононов.

Таким образом, движение частиц электронного и фононного газов обуславливается теплопроводностью твердого тела. Это позволяет использовать уравнение теплопроводности, полученное на основе молекулярно-кинетической теории идеального газа, для объяснения процесса теплопроводности твердого тела. С этой целью рассмотрим твердое тело как объем, заполненный электронным и фононным газами. Этот подход не дает точного количественного результата, но качественно хорошо объясняет характер изменения коэффициента теплопроводности при низких температурах. Используя формулу переноса теплоты в идеальном газе, рассмотрим изменение каждого множителя в зависимости от температуры:

.

(3.13)

Фононная теплопроводность. Фононы играют определяющую роль при переносе теплоты в неметаллах. Анализ составляющих формулы (3.12) для фононного газа (рис. 3.5) приводит к следующим выводам. Изменение теплоемкости определяется формулой Дебая (3.2). Скорость фононов равна скорости звука, которая очень мало зависит от температуры. Длина свободного пробега максимальна при Т = 0, но резко уменьшается с понижением Т, что обусловлено увеличением числа фононов и частоты столкновений между ними. Результирующая кривая теплопроводности (рис. 3.5, г) имеет максимум, зависящий от характеристики материала.

Дефекты решетки (примеси, дислокации, границы между кристаллами и др.) уменьшают средний пробег и фононную теплопроводность . Особенно малы значения этой теплопроводности для материалов с неупорядоченной структурой (стекло, пластмассы); при этом максимум сдвигается в область высоких температур. При , когда свободный пробег , характер уменьшения определяется ходом кривой теплоемкости , которая в свою очередь определяется формулой (3.4). Очевидно, что резко уменьшается и при абсолютном нуле становится равна нулю. С повышением Т число фононов увеличивается, но уменьшается длина их свободного пробега, что обуславливается максимальным значением при определенной Т.

При низких температурах, когда энергия и число фононов малы, свободный пробег определяется размерами отдельных кристаллов. Так, например, при температуре 1 К теплопроводность кварцевого стекла, состоящего из мелких кристалликов, составляет 0,01 теплопроводности монокристалла кварца.

Электронная теплопроводность характерна для металлов, электроны которых почти полностью определяют процесс переноса теплоты. Характер изменения отдельных множителей формулы (3.13) также отражают зависимости на рис. 3.5. Теплоемкость на единицу объема электронного газа определяется формулой (3.5) и линейно уменьшается с понижением температуры (рис. 3.5, а). Скорость электронов не зависит от температуры (рис. 3.5, б). Свободный пробег электронов максимален при низких температурах и уменьшается с ростом Т, так как при этом увеличиваются число фононов и число их столкновений с электронами (рис. 3.5, в). Взаимодействие противоположно влияющих факторов приводит к появлению максимума на результирующей кривой (рис. 3.5, г). При низких температурах свободный пробег и электронная теплопроводность уменьшается по линейному закону аналогично теплоемкости. При теплопроводность .

Рис. 3.5. Зависимость от температуры составляющих теплопроводности:

а – фононная и электронная теплоемкости; б – скорость частиц;

в – длина свободного пробега; г – результирующая кривая

Наличие примесей и дефектов решетки приводит к дополнительному рассеянию энергии электронов, уменьшению их свободного пробега, в результате теплопроводность также снижается. Таким образом, наличие примесей в материале и характер его обработки влияют на теплопроводность, которая максимальна для чистых и недеформированных металлов.

Теплопроводность металлов. При высоких температурах теплопроводность мало чувствительна к температуре и чистоте материала.

При низких температурах для очень чистых металлов отмечается максимум теплопроводности, причем соответствующее фактическое значение коэффициента теплопроводности может во много раз превышать значение, установленное при комнатной температуре. Величина достигнутого максимума и даже сам факт его получения зависят от содержания в металле небольших примесей определенных веществ. В чистых металлах основным является, по-видимому, перенос тепла электронами.

Теплопроводность сплавов. Многие технически важные сплавы (монель – металл, константан, мельхиор, нержавеющая сталь) обладают очень большим остаточным сопротивлением. Для них относительно мало и сравнимо с . При отжиге теплопроводность обычно возрастает.

Теплопроводность неметаллических материалов. Как уже отмечалось выше, перенос в неметаллических материалах обусловлен решеточной теплопроводностью; поэтому величина коэффициента теплопроводности в значительной степени зависит от упорядочности структуры вещества. Так, например, теплопроводность для монокристаллов при низких температурах иногда выше, чем для чистых металлов. Наоборот, диэлектрики с неупорядоченной структурой (стекло, пластмассы) обладают очень плохой теплопроводностью.