Часть II. Аналитическое выравнивание ряда динамики.

1. В соответствии с заданным видом уравнения тренда выровнять исходный ряд динамики. Для этого, используя МНК (метод наименьших квадратов) найти неизвестные параметры уравнения (составить систему уравнений).

Вспомогательные расчеты представить в таблице.

2. Рассчитать теоретические значения уравнений ряда и сравнить их с заданными.

Таблица 4

Сопоставление фактических и расчетных значений

(ti)
1.
2.
3.
и т.д.
Итого:

3. Проверить значимость уравнения тренда по критериям:

1.

2.

4. Изобразить графически динамику фактических и теоретических уровней и сделать вывод о правильности выбора вида уравнения тренда.

Одна из задач анализа ряда динамики – установление закономерностей развития явления, для чего и определяются общая тенденция и характер динамики. Под общей тенденцией понимается тенденция либо к увеличению, либо к стабильности, либо к уменьшению уровня явления, а под характером динамики – своеобразие изменения абсолютного прироста, коэффициентов и темпов роста (прироста и других показателей динамики).

Аналитическое выравнивание – один из методов определения тенденции в виде плавного уровня. Выравнивание уровней ряда динамики может производиться по уравнению прямой линии (параболы 1-го порядка), когда для всех уровней определяется средняя скорость их изменения, или по уравнению кривой линии (параболы 2-го порядка, гиперболы, экспоненты и др.), когда определяются и средняя скорость, и среднее ускорение изменения уровней ряда динамики.

Простейшим видом зависимости является прямая линия:

где a – начальная ордината;

b – средняя скорость изменения уровней;

t – время.

Задача выравнивания сводится к определению параметров этого уравнения: параметра a – начального уровня, т.е. отрезка на оси ординат от нуля до точки пересечения с ней прямой, и параметра b – средней скорости прироста (снижения) уровней ряда динамики, т.е. тангенса угла наклона прямой линии к оси абсцисс.

Для определения параметров уравнения прямой линии используется способ наименьших квадратов.

Исследуем значения суммы квадратов отклонений эмпирического ряда от теоретического:

; т.к. , то

Рассмотрим эту сумму как сумму двух параметров a и b.

Необходимое условие метода наименьших квадратов состоит в равенстве нулю частных производных функций по переменным.

Частная производная от S по a при условии, что b является постоянной величиной, имеет вид:

После преобразования и приравнивания этой производной нулю, получаем первое нормальное уравнение:

По переменной «b» получаем следующую производную:

После преобразования и приравнивания ее нулю получаем второе нормальное уравнение:

Таким образом, для определения двух параметров «a» и «b» имеем систему нормальных отношений:

Решим эту систему в общем виде. Умножаем первое уравнение на t², а второе – на - t, получаем:

Складываем почленно оба уравнения и находим:

На основе той же системы уравнений находим «b», для чего умножаем первое уравнение на -t, а второе на n. Складываем эти уравнения и находим «b»:

Из полученных формул видно, что для решения уравнения, т.е. нахождения параметров «a» и «b», необходимо получить значения четырех следующих сумм: «y, y∙t, t², t».

Сравнение выровненных и фактических значений «y» производится исходя из следующих свойств:

Если оказывается, что оба критерия соблюдаются, то уравнение тренда значимо, т.е. правильно выбрано для данной информации.

4. Оформление отчета

Лабораторная работа оформляется в отдельной тетради в виде отчета, который включает:

1. Исходные данные.

2. Расчетные формулы для определения показателей анализа динамического ряда.

3. Результаты расчетов показателей.

4. Расчетные формулы для выравнивания ряда.

5. Характеристики показателей ряда и вывод о правильности выбранной формы для выравнивания.

Лабораторная работа №4

«Расчет и анализ производительности труда на предприятиях нефтяной и газовой промышленности»