Математический анализ. Лекции. / semestr1

Л.1 Предел функции.

Предел функции в точке, односторонние пределы в точке.

Предел функции в бесконечности, односторонние пределы в бесконечности.

Свойства функций, имеющих предел: ограниченность, сохранение знака, переход к пределу в неравенствах, предел промежуточной функции.

Арифметические операции с пределами (без д-ва).

Типы неопределенностей. Два замечательных предела (без док-ва).

Повторение школьной математики (понятие модуля).

1. |a| = расстояние между a è 0.

2. |a − b| = расстояние между a è b.

3. |a + b| = |a − (−b)| = расстояние между a è −b.

4. |x| = |y| x = ±y.

5. |x| = a (ïðè a ≥ 0) x = ±a.

6. |x| < a x (−a; a) (a > 0)

7. |x − a| < b x (a − b; a + b) (b > 0)

Предварительные понятия.

f(x) функция, ограниченная на множестве D åñëè C : x D |f(x)| < C (а можно так: A; B : x D

A ≤ f(x) ≤ B;

окрестность точки a это любой интервал (b; c), содержащий эту точку;

δ-окрестность точки a это интервал (a − δ; a + δ).

проколотая окрестность точки a это окрестность точки a без самой точки a.

a) Предел последовательности.

интервал (a − ε; a + ε), мы можем указать, с какого номера члены последовательности оказываются в этом интервале.

Таким образом, мы интересуемся не первым, может быть случайным, вхождением в этот интервал, а уже окончательным вхождением в него).

б) Предел функции в точке, односторонние пределы в точке.

lim f(x) = A ε > 0 δ > 0 : x 6= a, |x − a| < δ |f(x) − A| < ε (òî åñòü åñëè x достаточно близок к a, òî

x→a

f(x) достаточно близок к A; заметим, что значение функции в самой точке a в расчет не принимается; оно не влияет ни на значение предела, ни на само существование его). Можно переписать определение предела, заменив неравенства с модулями на двойные неравенства или на условие принадлежности x è f(x) интервалам:

»

x 6= a; |x − a| < δ 0 < |x − a| < δ a − δ < x < a x (a − δ; a) (a; a + δ); a < x < a + δ

|f(x) − A| < ε A − ε < f(x) < A + ε f(x) (A − ε; A + ε)

Односторонние пределы.

Предел слева: f(x) = A ε > 0 δ > 0 : x < a, |x − a| < δ |f(x) − A| < ε.

Условие x < a, |x − a| < δ можно, естественно, переписать иначе: x < a, |x − a| < δ a − δ < x < a x (a − δ; a)

Задача. Самостоятельно записать определение предела справа.

Бесконечный предел. lim f(x) = ∞ C > 0 δ > 0 : x 6= a, |x − a| < δ |f(x)| > C (òî åñòü åñëè x достаточно

близок к a, òî f(x) становится достаточно большой (по модулю)).

Задача. Написать вариации этого определения, если предел равен −∞ èëè +∞, è (èëè) x стремится к a только с

г) Свойства функций, имеющих предел: ограниченность, сохранение знака, переход к пределу в неравенствах, предел промежуточной функции.

Теорема 1. Если lim f(x) = A 6= ∞, то существует такая окрестность точки a, в которой функция ограничена (про

x→a

такую функцию говорят, что она локально ограничена).

1

В самом деле, исходя из определения предела, можно записать, что A − < f(x) < A + на множестве (a − δ; a + δ)

(ну, может быть, только в самой точке a значение функции может не попасть в этот промежуток, но это же не может

испортить ограниченность (почему?)).

Теорема 2. Если lim f(x) = A 6= 0, то существует окрестность точки a, во всех точках которой (за исключением,

x→a

быть может, самой точки a) функция имеет тот же знак, что и A. (таким образом, речь идет о проколотой окрестности точки a).

δ берем меньшее из двух дельт, которые строятся из определения предела для функций f(x) è g(x).) Для таких точек получаем f(x) > g(x), что противоречит условию теоремы.

Теорема 4. Если в некоторой проколотой окрестности точки a выполнено неравенство f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), причем lim f(x) = lim h(x) = A, òî lim g(x) существует и также равен A.

2

Л.2 Бесконечно малые функции.

Определение бесконечно малой функции.

Теоремы о сумме бесконечно малых, произведении бесконечно малой на ограниченную, произведении бесконечно малых. Теорема о связи функции с ее пределом (необходимое и достаточное условие).

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

Определение бесконечно малой функции.

Функция y = α(x) называется бесконечно малой в точке x0 (èëè ïðè x, стремящемся к x0), åñëè lim α(x) = 0.

x→x0

Теоремы о сумме бесконечно малых, произведении бесконечно малой на ограниченную, произведении бесконечно малых.

Теорема. Если α(x) è β(x) являются бесконечно малыми в точке x0, à C1 è C2 константы, то C1 · α(x) + C2 · β(x)

также является бесконечно малой в этой точке.

Задача. Доказать эту теорему с помощью теоремы об арифметических операциях с пределами.

Теорема. Если α(x) является бесконечно малой в точке x0, à β(x) ограниченной в окрестности этой точки, то

α(x) · β(x) является бесконечно малой в этой точке.

Задача. Доказать эту теорему с помощью теоремы о пределе промежуточной функции.

Теорема. Если α(x) è β(x) являются бесконечно малыми в точке x0, òî α(x) · β(x) также является бесконечно малой

в этой точке.

Задача. Доказать эту теорему с помощью теоремы об арифметических операциях с пределами.

Теорема о связи функции с ее пределом .

Теорема. Предел функции y = f(x) в точке x0 равен A тогда и только тогда, когда y = f(x) −A является бесконечно малой в этой точке.

второго в 13 раза, то есть на самом деле в три раза меньше. Первоначальный вывод: если мы большее число делим на меньшее (имеется в виду, что эти числа положительные, или что речь идет о большем и меньшем числе по модулю), то получится число, большее (по модулю) единицы. Если же меньшее число делится на большее, то получится число, меньшее (по модулю) единицы. Если числитель во много раз больше знаменателя, то получится очень большое число. Если числитель во много раз меньше знаменателя, то получится очень маленькое число. Если же числа почти равны, то частное практически равно единице (на самом деле все не так просто: если нам даны числа 101 и 100, то они не очень

то и близки, а их отношение близко к 1, если же рассмотреть числа 1 и 0, 5, то они значительно ближе друг к другу, однако их отношение далеко от 1. Поэтому это рассуждение справедливо только для чисел, достаточно далеких от 1). Надо отметить, что результат деления чисел 6 и 2, а также 60 è 20, 66 è 22, 3 è 1, 1 è 1/3 и т. д., один и тот же, поэтому

тот факт, что результат деления равен 3, ничего не говорит о том, насколько большими или маленькими являются сами числитель и знаменатель.

Говорят, что бм в точке x0 (бм сокращение для бесконечно малой) α(x) является бесконечно малой более высокого

порядка малости, чем бм (в той же точке) β(x), åñëè lim α(x) = 0; в этом случае используют, на первый взгляд весьма

x→x0 β(x)

странную, форму записи (хотя, если к ней привыкнуть, она становится очень удобной): α(x) = o(β(x) (читают так: α(x) есть o-малое от β(x)).

Пример. lim x5 = 0, поэтому x5 является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем бесконечно малая

x→0 x3

x3 (в точке 0); x5 = o(x3).

Åñëè lim α(x) = A 6= 0, то говорят, что эти функции одного порядка малости.

x→x0 β(x)

Важный частный случай этого понятия разбирается в следующем пункте.

Эквивалентные бесконечно малые и их свойства.

Åñëè lim α(x) = 1, то говорят, что (бесконечно малые) α(x) è β(x) эквивалентны (и пишут α(x) β(x)).

x→x0 β(x)

3

Замечание. Впрочем, никто не может нам помешать распространить это понятие и на другие функции, не являющиеся бесконечно малыми.

Задача. Доказать следующие (очень простые) утверждения.

1.Åñëè α(x) в некоторой (проколотой помните такой термин из первой лекции?) окрестности точки x0 отлична от нуля, то α(x) α(x) в точке x0.

2.Åñëè α(x) β(x) в точке x0, òî è β(x) α(x) (это утверждение оправдывает термин эквивалентные бм : если бы это утверждение не было бы справедливо, надо было бы говорить, что одна функция эквивалентна другой.

3.Åñëè α(x) β(x) в точке x0, à β(x) γ(x) в той же точке, то α(x) γ(x).

Задача. Выведите эквивалентности 2 5 из первого замечательного предела; проверьте справедливость 6-ой для m = 2; m = 3; m = −1; выведите 9-ую из второго замечательного предела; 10-ую из 9-ой; 7-ую из 9-й; 8-ую из 7-ой.

Если возникнут проблемы, теребите преподавателя, ведущего у Вас семинары.

заменяем на 2x − 2x = 0, откуда делаем непрвавильный вывод, что предел равен нулю. Ошибка в том, что мы стали

заменять числитель на эквивалентные функции частями.

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми .

Функция y = f(x) называется бесконечно большой (сокращенно бб , не путать с Бриджит Бардо) в точке x0, åñëè

lim f(x) = ∞

x→x0

1

Теорема. Если y = f(x) является бб в точке x0, òî y = f(x) является бм. Обратно, если y = α(x) является бм в точке x0 (неплохо потребовать еще, чтобы эта функция была отлична от нуля в некоторой проколотой окрестности этой

Задача. Доказать обратное утверждение.

4

Л.3 Непрерывность функции.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, произведения, частного. Непрерывность сложной функции.

Точки разрыва и их классификация. Непрерывность функции на отрезке.

Свойства функций, непрерывных на отрезке (без док-ва).

1. Непрерывность функции в точке. Это понятие тесно связано с понятием предела функции; на пальцах оно означает, что функция мало изменится, если мы отойдем от точки, в которой функция непрерывна, не слишком далеко.

Точнее: пусть x0 какая-то точка на числовой прямой, и f(x) функция, для которой мы и хотим дать определение

непрерывности. Естественно, первое, что нужно проверить что функция определена в этой точке. Кроме того, даже если функция в самой точке определена, но нигде в близких точках не определена, то это тоже явно не наш клиент: каким-то образом мы должны уметь подходить к нашей точке сколь угодно близко, не выходя при этом из области определения функции. На самом деле, чтобы не усложнять ситуацию, будем требовать (по крайней мере на первоначальном периоде

обучения), чтобы функция существовала сразу в некоторой окрестности точки x0

(a; b), содержащем точку x0). Ну и наконец основное условие: функция должна меняться мало, если аргумент меняется мало; иными словами, если от нас требуется указать окрестность точки x0, во всех точках которой значения функции отличаются от значения ее в точке x0 меньше, чем, скажем, на одну тысячную нет проблем, есть такая окрестность. Если одной тысячной нам недостаточно, и мы хотим, чтобы функция в точках некоторой окрестности отличалась от f(x0)

Определение 5. Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке x0, åñëè:

ε > 0 δ > 0 : x : |x − a| < δ |f(x) − f(x0)| < ε

(по сути мы здесь просто написали, что предел функции равен f(x0), только почему-то не пишем, что x не должен равняться x0. Вопрос: а почему?).

Задача. Доказать эквивалентность этих определений, учитывая, что x → 0 x → x0; f(x) → 0 f(x) → f(x0).

Кстати, последнее определение является самым прогрессивным . Суть в том, что оно работает, даже если не предполагать, что функция существует в некоторой окрестности точки x0; надо только в определении добавить требование, чтобы x

мы брали только из области определения функции (конечно, в самой точке x0 функция обязана существовать ведь в определение входит значение функции в этой точке).

Чтобы научиться работать с непрерывными функциями, нужно чуть-чуть поиграть с этим понятием: разобраться, какие издевательства над собой оно допускает; привести примеры непрерывных функций и не являющихся таковыми; понять, насколько часто в природе (ну если не в природе, так хотя бы в математике) такие функции встречаются.

2. Непрерывность суммы, произведения, частного. Теорема. Если функции f(x) è g(x) непрерывны в точке

a) f(x) + g(x) непрерывна в точке x0; b) C · f(x) непрерывна в точке x0;

c) f(x) · g(x) непрерывна в точке x0;

f(x)

d)åñëè g(x0) 6= 0, òî g(x) непрерывна в точке x0.

5

Задача. Самостоятельно доказать эту теорему. Для примера проведем доказательство самого сложного пункта d).

3. Непрерывность сложной функции.

Напомним, что термин сложная по отношению к функции вовсе не обязательно означает, что эта функция такая уж сложная в бытовом смысле. Сложная функция это означает, что мы записали нашу функцию так, что для вычисления ее значений производится несколько последовательных операций над аргументом. При этом одна и та же функция

функция f(x) простая , а g(x) сложная: при вычислении ее значений мы сначала аргумент возводим в квадрат,

а уже затем из получившегося (неотрицательного!) числа извлекаем арифметический корень. Про g(x) говорят, что она есть суперпозиция двух функций: g(x) = h(k(x)), ãäå k(x) = x2 внутренняя функция, а h(x) = √x внешняя функция.

Теорема. Если функция t = ϕ(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(t) непрерывна в точке t0 = ϕ(x0), то функция y = f(ϕ(x)) непрерывна в точке x0.

Доказательство по большому счету очевидно: когда x стремится к x0, t = ϕ(x) стремится к t0 = ϕ(x0) благодаря непрерывности внутренней функции; а раз t стремится к t0, òî f(t) стремится к f(t0) = f(ϕ(x0)) благодаря непрерывности внешней функции. Забывая про промежуточный аргумент t, получаем, что при стремлении

f(ϕ(x)) стремятся к f(ϕ(x0)), что и означает непрерывность этой функции.

4. Точки разрыва и их классификация.

Поскольку мы ввели понятие непрерывности, естественно задаться вопросом, что означает отсутствие этого свойства. При попытке дать строгое определение, мы сталкиваемся (при всей формальной простоте ситуации ведь надо просто

построить отрицание) с некоторыми сложностями. А именно, можно ли считать, что в точке x0 нарушается непрерывность

функции f(x), если функция в этой точке не определена? С одной стороны, поскольку при введении понятия непрерывности мы с самого начала рассматривали только точки из области определения функции, то и нарушаться это свойство вроде

определена? Приходим к выводу, что в нашей ситуации или нужно рассматривать только точки из области определения, или добавлять к ним граничные точки области определения. В лекциях выбрана вторая точка зрения.

Определение. Пусть точка x0 принадлежит области определения функции f(x) или, на худой конец , границе области определения (давайте для простоты душевной называть замыканием области определения множество точек из

области определения и ее границы). Говорят, что функция f(x) терпит разрыв в точке x0 (а точка x0 является точкой разрыва этой функции), если функция не является непрерывной в этой точке (иными словами разрывна в этой точке).

Таким образом, точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если этот разрыв можно устранить,

правильно доопределив функцию в этой точке (если она там не была определена), или правильно переопределив ее (если она там уже была определена).

Вопрос. Как Вы думаете, что значит правильно в предыдущей фразе?

2. Точка разрыва 1-ãî ðîäà. Такой разрыв так просто уже не устранить. Точка рода, если, как и в случае устранимого разрыва, выполнено условие

a)существуют конечные f(x0 − 0) è f(x0 + 0), íî:

b)f(x0 − 0) 6= f(x0 + 0).

Таким образом, в этом случае (двусторонний) предел функции просто не существует. Кстати, разность f(x0 +0)−f(x0 +0)

называется скачком функции f(x) в точке x0, что, скорее всего не вызовет раздражения у читателя.

2. Точка разрыва 2-ãî ðîäà. Так мы будем называть точку разрыва, которая не является ни точкой устранимого разрыва, ни точкой разрыва 1-го рода. Таким образом, для того, чтобы точка была точкой разрыва 2-го рода, нужно,

чтобы или f(x0 − 0), èëè f(x0 + 0), или оба сразу, равнялись бесконечности, или не существовали вовсе.

6

Стандартные задачи: Доказать, что x = 0 является точкой устранимого разрыва функции sin x

x ;

разрыва 1-го рода функции |x|

x ;

разрыва 2-го рода функции e1/x;

разрыва 2-го рода функции sin x1 .

5. Непрерывность функции на множестве M. Ничего сложного тут нет: мы говорим, что функция f(x) непрерывна

на множестве M, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Как частный случай, можно говорить о

непрерывности на том или ином отрезке, интервале, всей числовой прямой или полупрямой.

6. Свойства функций, непрерывных на отрезке (без доказательства).

Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда существует такая (естественно, положительная) константа C, что для любого x из отрезка [a; b] выполнено неравенство |f(x)| ≤ C.

такому условию, называется ограниченной на отрезке [a; b]. Таким образом, эту теорему можно переформулировать так:

из непрерывности на отрезке следует ограниченность.

Замечание. Из непрерывности на интервале èëè полуинтервале ограниченность, вообще говоря, не следует. (Подобная фраза в математике означает следующее: бывают ограниченные функции, непрерывные на интервале (a; b), à

хотя бы в одной из концевых точек терпящие разрыв, а бывают и неограниченные. Кстати, если разрыв там устранимый или 1-го рода, то ограниченность все же гарантировать можно. Но среди функций, терпящих на конце отрезка разрыв 2-го рода, неограниченных пруд пруди. Простейший пример функция f(x) = x1 на отрезке [0; a]. Заметим также, что если функция непрерывна на всей числовой прямой или на полупрямой, то ограниченности тоже может не быть.

Пример: f(x) = x.)

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда найдутся такие точки c и d на этом промежутке, что f(c) является самым маленьким среди значений функции на [a; b], а f(d) самым большим. Можно эту теорему переформулировать так: если f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на нем свои наибольшее и наименьшее

значения.

Замечание. Читатель с легкостью придумает примеры, показывающие, зачем на функцию (и промежуток) накладываются такие условия. Иными словами, ожидается, что читатель сумеет привести примеры, в которых промежуток является бесконечным и (или) функция не является непрерывной, и утверждения теорем оказывается неверным.

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда ее значения целиком заполняют отрезок [f(c); f(d)]

между самым маленьким и самым большим ее значениями. Иными словами, непрерывная функция принимает все свои промежуточные значения .

Замечание. Иногда эту теорему формулируют в более слабой форме, заменяя отрезок [f(c); f(d)] на (вообще говоря, м'еньший) отрезок [f(a); f(b)] (естественнно, если f(a) > f(b), то нужно концы поменять местами.

Важный частный случай. Если непрерывная на [a; b] функция принимает на концах этого отрезка значения разных

знаков, то найдется точка внутри этого промежутка (может быть и не одна), в которой функция равна нулю. ОЧЕНЬ ВАЖНАЯ Теорема. Любая элементарная функция непрерывна на любом интервале, целиком лежащем

в области ее определения (без доказательства).

Замечание. Во многих книгах можно найти другую формулировку: Любая элементарная функция непрерывна на области своего определения. В чем тут дело? Представляется, что порой это есть следствие некоторой небрежности авторов. В самом деле, в большинстве книг (по крайней мере предназначенных для нашей весовой категории ) в определении непрерывности функции требуется,√÷òîáû√îíà была определена в некоторой окрестности точки; в этом случае говорить о непрерывности функции y = x + −x, которая существует в одной единственной точке x = 0, íå

приходится. Если же использовать нашу формулировку теоремы, то такие казусы невозможны. С другой стороны, если использовать последнее определение непрерывности, то указанная функция будет непрерывна, более того, это же можно сказать и про любую другую элементарную функцию.

Эту теорему мы доказывать не будем, но обсудить ее необходимо. Первый вопрос, который может возникнуть: какие функции называются элементарными? Ответ: те, которые могут быть получены из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций плюс, минус, умножить, разделить и взятия суперпозиции (то есть взятия функции от функции). Второй вопрос, навеянный ответом на первый: какие функции называются основными элементарными? Ответ: грубо говоря, это те функции, которые изучаются в школе: степенная y = xn, показательная

y = ax, логарифмическая y = loga x, тригонометрические (не будем их перечислять), обратные тригонометрические. Примеры элементарных функций:

y = x2 + 2x;

7

Эти примеры показывают, что круг элементарных функций очень широк, и не всегда можно сразу определить, элементарная это функция или нет.

И в конце еще одна теорема, приводимая без доказательства, на которую впоследствии будем ссылаться (например, когда будем давать определение обратной функции).

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и строго монотонна на этом отрезке, то обратная функция существует, также непрерывна и монотонна.

8

Л.4 Производная. Производная сложной и обратной функции. Логарифмическая производная.

Определение производной, ее геометрический смысл. Теорема о приращении дифференцируемой функции. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Примеры функций, непрерывных, но не дифференцируемых в точке. Производная суммы, произведения, частного.

Таблица производных основных элементарных функций. Теорема о производной обратной функции. Примеры. Теорема о производной сложной функции. Логарифмическое дифференцирование.

Производная показательно-степенной функции.

Âэтой лекции используются следующие понятия: окрестность точки (см. лекция 1);

предел функции (см. лекция 1);

приращение функции и аргумента (см. лекция 3);

непрерывность функции (см. лекция 3);

тангенс угла;

угловой коэффициент прямой; уравнение прямой с известным угловым коэффициентом;

чему равен tg π2 ?

- число e = 2, 718281828459045... = lim (1 + x)1/x;

x→0

loga b = c b = ac;

- частный случай, когда a = e; обозначение: ln b (натуральный логарифм);

- свойства логарифма (формулировать будем для натурального логарифма):

ln(x · y) = ln x + ln y (x > 0; y > 0);

ln xy = ln x − ln y (x > 0; y > 0);

ln xy = y · ln x (x > 0)

Тригонометрические функции в треугольнике:

- sin α есть отношение противолежащего катета к гипотенузе; - cos α есть отношение прилежащего катета к гипотенузе;

- tg α есть отношение противолежащего катета к прилежащему;

- tg α = sin α cos α;

Тригонометрические функции для произвольного угла:

- sin α есть ордината, а cos α абсцисса точки на единичной окружности с центром в начале координат;

- tg α > 0 в первой и третьей четвертях и < 0 во второй и четвертой; Аналитическая геометрия на плоскости:

- уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b; здесь b координата точки пересечения прямой с осью ординат, а k угловой коэффициент прямой, то есть тангенс угла наклона этой прямой;

- уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0; y0) и имеющей угловой коэффициент k: y − y0 = k(x − x0); - прямые y = kx + b è y = k1x + b1 взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда k · k1 = −1

Определение производной, ее геометрический смысл.

Мотивация. Введенное на третьей лекции понятие непрерывности без сомнения, очень полезное понятие, охватывающее важный класс функций. Но зачастую этот класс оказывается слишком широким. Чаще всего на практике достаточно ограничить себя функциями, которые всюду или почти всюду гладкие, в том смысле, что график такой функции не

имеет (или имеет мало) точек излома, таких, как график функции y = |x| в точке x = 0.

Подводя к определению производной, рисуем график той или иной функции, берем линейку (то есть прямую линию) и пытаемся приставить ее к графику функции так, чтобы она касалась графика.Что значит касалась? На бытовом уровне разногласия по этому поводу вряд ли возникнут. Читатель, без сомнения, встречался с таким понятием. Возможная фраза на эту тему: ¾пуля прошла по касательной¿, или ¾мы лишь коснемся этой темы¿ является хорошей иллюстрацией. Менее удачными являются ассоциации, возникающие от фразы ¾это меня не касается¿, или ¾не прикасайся ко мне¿.

Задача. Придумать несколько своих фраз.

Итак, что значит линейка (то есть прямая) касается кривой ? Ясно во-первых, что мы рассматриваем только плоские кривые (лежащие в плоскости XOY ), и что касательная должна также лежать в этой плоскости. Неудачной была бы

попытка (навеянная, например, видом касательных к окружности), определить касательную как прямую, имеющую единственную точку пересечения с кривой: прямая x = 0 имеет единственную точку пересечения с параболой y = x2,

однако касательной является не она, а прямая, заданная уравнением y = 0. Неудачной является попытка забраковать

прямую x = 0 в последнем примере на основании того, что эта прямая разрезает кривую на две части, расположенные

в разных полуплоскостях: прямая y = 0 разрезает кубическую параболу y = x3 на такие части, а касательной между

тем является. Иллюзией является также мнение, что касательная обязана иметь только одну общую точку с кривой ну, хотя бы, отметит осторожный читатель, в некоторой окрестности точки касания: касательная к прямой совпадает

9

с прямой на всем протяжении. Может быть, это единственное исключение? Ничуть не бывало: рассмотрите функцию y = x2 · sin x1 , доопределенную в точке (устранимого) разрыва x = 0 значением y = 0

ïðè x = 0; а если из-за каких-то предрассудков Вы этот пример забракуете (только имейте в виду, что бракуете Вы его

незаконно), рассмотрите пример y = x2 · sin2 x1 .

Переходим к точным определениям. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Берем на графике: фиксированную точку (x0; f(x0)) и переменную точку (x; f(x)). Проводим секущую через эти точки (тангенс

стабилизируется, то это означает, что секущая в пределе занимает некоторое положение, и та прямая, которая из нее

получилась, и называется касательной. Тангенс же угла наклона касательной и называется производной функции f(x). Для тех, кто является противником всяких геометрических рассмотрений, напишем строгое алгебраическое определение.

Определение. Производной функции f(x) в точке x0 называется предел (если он, конечно, существует)

f0(x0) = lim f .

x→0 x

Обычно, когда говорят, что производная существует, имеют в виду, что эта производная конечна. Если же предел в определении производной равен бесконечности, то говорят, что производной там нет, или что она равна бесконечности. Нам представляется более правильным второй подход, поскольку в точках, где этот предел бесконечен, касательная к графику между тем существует, только она становится вертикальной (можно сказать, что тангенс угла наклона такой касательной равен бесконечности).

Замечание. Рассмотрим функцию f(x) = sgn x; тогда f0(0) = ∞; можно ли считать, что касательная к графику при x = 0 существует? Мы будем считать, что она есть (это прямая x = 0), хотя многим это может показаться странным.

Задача. Доказать эти тождества.

Итак, определение касательной мы получили, с геометрическим смыслом производной также разобрались: производная равна тангенсу угла наклона касательной; иными словами, производная равна угловому коэффициенту касательной.

Отсюда уравнение касательной: y − f(x0) = f0(x0)(x − x0).

Для тех, кто знает, что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых рано −1, нетрудно

1

написать уравнение нормали к кривой: y − f(x0) = −f0(x0) (x − x0).

И еще немного терминологии: мы будем называть функцию дифференцируемой в точке x0, если она в этой точке

имеет конечную производную. Это слово произошло от слова дифференциал, которое будет иметь очень важное значение в дальнейшей теории. Для функции одной переменной ситуация окажется намного проще, чем для функции большего числа переменных; наличие конечной производной и дифференциала для функции одной переменной вещи равносильные.

Первая теорема о приращении дифференцируемой функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, òî lim f = 0.

x→0

Доказательство очевидно: если бы приращение функции не стремилось бы к нулю, то дробь, дающая в пределе значение производной, не могла бы стремиться к конечному числу.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Эту теорему можно рассматривать как переформулировку предыдущей.

Замечание. В этих теоремах крайне важно помнить, что функция называется дифференцируемой, если она имеет конечную производную. В приведенном выше примере функция y = sgn x имеет бесконечную производную в нуле; при

этом приращение этой функции в нуле не стремится к нулю (при x > 0 приращение функции равно 1, ïðè x < 0 равно

−1). Итак, из дифференцируемости следует непрерывность, но из наличия бесконечной производной непрерывность не

√

следует. Хотя и возможна; пример y = 3 x. Можно было бы рассмотреть и корень второй степени, но он определен

только при неотрицательных x, и поэтому формально мы не имеем права говорить о производной этой функции в нуле.

Можно, правда, говорить об односторонней производной по аналогии с односторонним пределом, но чтобы получить пример, полноценный со всех точек зрения, мы и берем корень нечетной степени.

Вторая (и основная) теорема о приращении дифференцируемой функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, òî f = f0(x0)Δx + α(Δx), ãäå α(Δx) стремится к нулю

быстрее, чем x. (иными словами, α(Δx) = ε(Δx) · x, ãäå ε(Δx) есть бесконечно малая функция при x, стремящемся

10