Математический анализ. Лекции. / semestr5

ВАВТ, 5-й семестр, т. вер-стей, осень 2003 года, shurik-f.narod.ru

Л. 0. Повторение. Комплексные числа.

1. Комплексное число в алгебраической форме и его геометрическое изображение.

Комплексным числом называется выражение вида z = x+ iy (можно писать x+ yi), ãäå x è y действительные числа, а iтак называемая мнимая единица. Геометрически мы его изображаем точкой на плоскости XOY с координатами (x; y). В частности, если x = 0, то можно вместо 0 + iy писать iy; в еще более частном случае, когда x = 0, y = 1, вместо 0 + i1 пишут просто i. Таким образом, мнимая единица изображается на комплексной плоскости точкой (0; 1). Åñëè y = 0, то вместо x + i0 пишут просто x. Таким образом, действительные числа с этой точки зрения являются частным случаем комплексных чисел и изображаются точками оси OX.

2. Сопряженное число. Пусть z = x + iy комплексное число. Сопряженным к нему (или комплексно-сопряженным) называется число z¯ = x − iy. Как легко заметить, z è z¯ изображаются точками, симметричными относительно оси OX.

3. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме.

Пусть z1 = x1 + iy1; z2 = x2 + iy2. Суммой этих чисел называется выражение z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2). Заметим, что изображается z1 + z2 точкой, радиус-вектор которой равен сумме радиус-векторов слагаемых. Разностью этих чисел называется выражение z1 −z2 = (x1 −x2)+i(y1 −y2). Изображается z1 −z2 точкой, радиус-вектор которой равен разности

радиус-векторов слагаемых. Произведением этих чисел называется выражение z1z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2). Запомнить эту формулу нормальному человеку невозможно, да и не нужно, поскольку есть простой способ ее вывода: перемножаем скобки (x1 + iy1) è (x2 + iy2), как если бы они состояли из обычных чисел, а выражение i2 заменяем на −1. Итак, самое важное, что нужно запомнить из этой лекции:

i2 = −1

вектором точки (x; y). Такое определение не может считаться правильным, поскольку в этом случае, например, числа i

è −i имели бы один и тот же аргумент, равный π2 . На самом деле аргумент числа i равен π2 , а аргумент числа −i равен −π2 . При нахождении аргумента мы не просто измеряем угол между двумя направлениями, а смотрим, на какой угол

нужно повернуть ось OX для того, чтобы она прошла через изображение z, при этом угол считается положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке.

Как ищется аргумент ϕ числа z? Легко найти его тангенс:

tg ϕ = xy

(по крайней мере, так он ищется, если x 6= 0). Но этим условием аргумент определен еще не полностью, так как если вместо z = x + iy взять число −z = −x − iy, то тангенс аргумента не изменится. Для того, чтобы написать точную рекомендацию, как найти аргумент z, придется вспомнить, что такое arctg a: это угол, тангенс которого равен a, причем

8

arctg y/x, åñëè x > 0

>

>

> arctg y/x + π, åñëè x < 0

>

<

ϕ = π/2, åñëè x = 0, y > 0

>

> −π/2, åñëè x = 0, y < 0

>

>

:не определен, если x = y = 0

5.Комплексное число в тригонометрической и показательной формах. Чтобы записать число z в тригонометрической форме, напишем формулы для косинуса и синуса аргумента: cos ϕ = |xz|; sin ϕ = |yz|. Отсюда z = x+iy = |z| cos ϕ+i|z| sin ϕ. Èòàê,

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)

1

Переходим к показательной форме. Замечаем, что скобка в предыдущей формуле зависит от одного единственного числа от значения аргумента ϕ. Чтобы формула была короче, можно обозначить эту скобку тем или иным способом,

например f(ϕ), g(ϕ) и т. д. Принято ее обозначать на первый взгляд очень вычурно: eiϕ. Почему мы выбираем именно

это обозначение не должно Вас сейчас интересовать. Возможно, оно поможет в запоминании формул из следующего пункта. Смысл же его раскроется для Вас в пятом семестре, когда вы будете изучать науку под названием ТФКП теория функций комплексного переменного.

Èòàê,

(так называемая формула Эйлера).

В результате тригонометрическая форма перешла в показательную:

6. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах. На лекции я обязательно одну из этих формул аккуратно выведу, а здесь только объясню, как их запоминать. Запоминаются они благодаря показательной форме. Вспомним свойства показательной функции:

an · am = an+m; an = an−m; (an)m = anm

am

Поэтому можно предположить (и предположение это правильное), что если z1 = |z1|eiϕ1 , z2 = |z2|eiϕ2 , òî

z1 · z2 = |z1||z2|ei(ϕ1+ϕ2);

z1 = |z1|ei(ϕ1−ϕ2). z2 |z2|

Âтригонометрической форме соответствующие формулы выпишите самостоятельно.

7.Возведение в степень и извлечение корня. Как возводить в натуральную степень, должно быть более или менее понятно, ведь zn = z · z · . . . · z:

Оказывается, эта формула справедлива не только для натуральных n, но и для целых отрицательных. В самом деле,

С извлечением корня дело обстоит несколько сложнее. Число w называется корнем n-й степени из комплексного числа z, åñëè wn = z. Таких чисел оказывается несколько, что и неудивительно, если вспомнить, что и для действительных чисел бывает так же: например, для числа x = 16 существует два числа (2 è −2), которые в четвертой степени равны 16.

Пусть z = |z|eiϕ, w = |w|eiψ. Поскольку wn = z, |w|neinψ = |z|eiϕ. Вывод: |w|n = |z|; nψ = ϕ + 2πk, ãäå k какое-то

аргумент ψ не станет ровно на 2π больше первого полученного при k = 0, поскольку полный оборот не дает нам нового решения нашей задачи. Поэтому в качестве k мы берем числа k = 0, 1, 2, . . . , n−1. Вывод: если z 6= 0, то существует ровно n комплексных корней n-й степени из z, причем на комплексной плоскости они расположены на окружности радиуса

p

в вершинах правильного n-угольника, вписанного в эту окружность. Окончательный итог:

2

ВАВТ, 5-й семестр, т. вер-стей, осень 2003 года, shurik-f.narod.ru

Л. 1. Функции комплексного переменного.

Понятие области в плоскости комплексного переменного. Односвязные и многосвязные области.

Определение функции комплексного переменного. Понятие многозначной функции.

Определения основных элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, гиперболических. Их основные свойства.

Понятие области в плоскости комплексного переменного. Односвязные и многосвязные области.

Под областью в плоскости комплексного переменного мы всегда будем понимать открытое связное множество. Иными словами, область это множество, не содержащее свои граничные точки (это равносильно тому, что если точка принадлежит области, то этой области принадлежит и некоторая окрестность этой точки), состоящее, грубо говоря, из одного куска.

Замечание. На самом деле нужно требовать не просто связность, а так называемую линейную связность, но такие тонкости мы будем опускать.

Область называется односвязной, если она не имеет дырок. Более наукообразное определение состоит в том, что любую замкнутую кривую, лежащую в этой области, можно непрерывно стянуть в точку, не выходя за пределы области. Область называется многосвязной, если она не является односвязной.

Определение функции комплексного переменного. Понятие многозначной функции.

Мы говорим, что на множестве M задана функция w = f(z), если известен закон, по которому каждому комплексному числу z M сопоставлено комплексное число w. Поскольку z = x + iy, то можно считать, что w является комплексной функцией двух действительных переменных x è y. Если комплексное число w записать в виде w = u + iv, òî ìû

получаем две действительные функции u(x, y) è v(x, y) двух действительных переменных. Этот подход в дальнейшем будет использоваться.

Функция называется многозначной, если одному значению z могут соответствовать несколько значений w (иногда их конечное число, иногда бесконечное). Примеры таких функций будут встречаться в дальнейшем.

Определения основных элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, гиперболических. Их основные свойства.

1). Степенная функция

w = zn; n N.

3

Задачи.

Выделить действительную и мнимую части функции: 1). w = z2 + iz¯;

2). w = zz¯;

3). w = z · z¯;

4). w = |z|;

z + i

5). w = z¯ − 1 .

Найти образ точки при отображении: 1). z0 = −2i; w = z2;

1

2). z0 = 1; w = z + i;

z¯

3). z0 = 3 − 2i; w = z .

Найти образ линии при отображении: 1). |z| = 2; w = z2;

2). arg z = π4 ; w = z3;

3). |z| = 3; w = z1 ;

4). Re z = 0; w = z1 ;

π2 ; w = z1 ; w = z1 ;

z + 1 6). Re z = 0; w = z − 1 ;

z + 1 7). Im z = 0; w = z − 1 ;

8). Re z = 0; w = 1 + z1 ;

9). Im z = 0; w = 1 + z1 .

Выделить действительную и мнимую части функции: 1). w = e−z;

2). w = sin z;

3). w = 2z2 ;

4). w = tg z.

Найти модуль и аргумент функций в точках:

1). w = ez; z = 2 + 1π/4; 2). w = cos z; z = π4 + i ln 3;

3). w = sh z; z = 2 + iπ/3.

Найти образ линии при отображении: 1). w = ez; Re z = 1;

2). w = ez; Im z = π/2; 3). w = Ln z; |z| = 1;

4). w = Ln z; arg zπ.

Доказать справедливость тождеств: 1). ez1+z2 = ez1 · ez2 ;

2). ez+2πni = ez;

3). Ln(z1z2) = Ln z1 + Ln z2;

4). Ln(z1/z2) = Ln z1 − Ln z2.

Найти логарифмы следующих чисел: 1) e; 2) i; 3) 3 + 2i.

Найти:

1) ii; 2) 1i; 3) (1 − i)3−3i. Решить уравнение:

1) sin z = 3;

2) ez = −1;

3) 4 cos z + 5 = 0; 4) e2z + 2ez − 3 = 0;

5) ch z = i.

4

ВАВТ, 5-й семестр, т. вер-стей, осень 2003 года, shurik-f.narod.ru

Л. 2 Дифференцирование функций комплексного переменного.

Предел и непрерывность функций комплексного переменного. Определение производной. Регулярность функции в области и точке. Регулярность основных элементарных функций. Теорема о необходимых условиях дифференцируемости. Формулировки достаточных условий дифференцируемости. Гармонические функции и их связь с регулярными функциями.

Предел и непрерывность функций комплексного переменного.

Понятие предела функции комплексного переменного ничем по существу не отличается от понятия предела функции

действительного переменного: lim f(z) = A, åñëè > 0 δ > 0 : z 6= z0, |z − z0| < δ |f(z) − A| < .

z→z0

Иными словами, если z неограниченно приближается к z0, òî f(z) неограниченно приближается к A.

Точно так же переносится понятие непрерывности. Функция w = f(z) называется непрерывной в точке z0, åñëè

lim f(z) = f(z0).

z→z0

Определение производной. Регулярность функции в области и точке. Регулярность основных элементарных функций.

Определение производной вполне естественно:

Надо только иметь в виду, что этот предел не должен зависеть от того, как происходит стремление z к нулю. Функция,

имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Есть еще один термин: такая функция называется моногенной в этой точке.

Функция называется регулярной (аналитической, голоморфной) в области D, если она имеет конечную производную во всех точках этой области.

Функция называется регулярной (..., ...) в точке z0, если существует такая окрестность точки z0, в которой эта функция регулярна. Оказывается, это более сильное условие, чем моногенность. Пример функции, которая моногенна, но не регулярна в некоторой точке, будет приведен ниже.

Теорема о необходимых условиях дифференцируемости.

Пусть функция f(z) имеет производную в точке z. Как уже говорилось, предел, задающий производную, не зависит

Мы доказали необходимые условия дифференцируемости комплексной функции в точке. Они носят название условий Коши-Римана: Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке

u0x = vy0 è u0y = −vx0 .

Легко сообразить, что достаточными условиями дифференцируемости условия Коши-Римана не являются, посколькузаведуют поведением функции только по двум прямым, а ведь мы можем приближаться к точке z и по другим

направлениям. Рассмотрите, например, функцию f(z), которая равна нулю на действительной и мнимой осях и единице

в остальных точках. В нуле условия Коши-Римана, естественно, выполнены, однако функция в этой точке не только не имеет производной, но даже не является непрерывной.

Формулировки достаточных условий дифференцируемости.

Существуют различные достаточные условия дифференцируемости.

1. Если функции u(x, y) è v(x, y) таковы, что в точке z выполнены условия Коши-Римана и, кроме того, u è v дифференцируемы в этой точке как функции двух переменных (что означает наличие у них дифференциала), то функция

w = u + iv имеет конечную производную как функция комплексного переменного.

5

Соответственно, если все вышеперечисленное справедливо во всех точках области D, то в этой области функция w = u + iv будет регулярна.

2. Условий Коши-Римана вместе с непрерывностью в точке z для дифференцируемости комплексной функции может

не хватить, однако если и то и другое выполнено в области D, то функция будет регулярна в этой области. Это вторые достаточные условия дифференцируемости.

Гармонические функции.

Функция u(x, y) называется гармонической в области D, если она удовлетворяет так называемому уравнению Лапласа

u00xx + u00yy = 0

Легко показать, что действительная и мнимая части регулярной функции являются гармоническими функциями. Докажите это самостоятельно с помощью условий Коши-Римана.

Верно и обратное. Точнее, если u гармоническая функция, обязательно найдется функция v (также гармоническая)

такая, что u + iv является регулярной функцией. Процесс поиска второй половинки будет продемонстрирован на семинаре.

Задачи.

Проверить регулярность функции w = f(z) исходя из определения производной и найти эту производную там, где

она существует.

1) f(z) = z;

2) f(z) = z2;

3) f(z) = z¯;

4) f(z) = z1.

Проверить регулярность функции w = f(z) с помощью условий Коши-Римана.

1)f(z) = z;

2)f(z) = z2;

3)f(z) = z¯;

4)f(z) = zz¯;

5)f(z) = |z|;

6)f(z) = ez;

7)f(z) = sin z;

8)f(z) = cos z;

9)f(z) = z;

10)f(z) = Re z;

11)f(z) = Im z;

12)f(z) = sh z;

13)f(z) = ch z;

14)f(z) = ez2 ;

15)f(z) = sin(2 + iz);

16)f(z) = |z| Re z¯.

Восстановить регулярную функцию по ее действительной (мнимой) части, предварительно проверив гармоничность.

1)u = y, f(i) = 1 + i;

2)u = ex cos y, f(0) = 1;

3)v = 3y − 4xy, f(1) = 2; x 1

4)u = x2 + y2 , f(π) = π ;

5)v = x2 − y2 + 2x; f(i) = 2i − 1.

6

ВАВТ, 5-й семестр, т. вер-стей, осень 2003 года, shurik-f.narod.ru

Л. 3 Интегрирование функций комплексного переменного. Определение интеграла от функции комплексного переменного. Связь этого интеграла с линейными интегралами от функций действительного переменного. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральные формулы Коши. Бесконечная дифференцируемость регулярной функции.

Определение интеграла от функции комплексного переменного.

Пусть нам дана функция w = f(z), от которой для простоты душевной потребуем непрерывность в области D, и кривая L = AB с началом в точке A и концом в точке B, целиком лежащая в D. Разбиваем кривую на части

k=1

интегральной суммой. Предел интегральных сумм при стремлении к нулю максимальной длины кусочков разбиения называется интегралом от функции f(z) по кривой L и обозначается

Z

f(z) dz

L

Кстати, благодаря предположению о непрерывности функции, мы можем не сомневаться в существовании интеграла.

Связь этого интеграла с линейными интегралами от функций действительного переменного.

Обозначим f(ζk) через fk = uk + ivk, а также заменим zk íà xk + i yk; интегральная сумма может быть преобразована так:

Z Z Z

f(z) dz = u dx − v dy + i v dx + u dy

L L L

Конечно, в таком виде формулу запомнить сложно. Лучше ее запомнить в виде

ZZ

f(z) dz = (u + iv)(dx + idy)

LL

Важные пример и задачи. Пример. Докажем, что

ãäå n целое число, отличное от единицы.

ãäå n целое число, отличное от единицы.

Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.

Теорема Коши для односвязной области. Пусть функция w = f(z) регулярна в односвязной (то есть без дырок) области D, а L замкнутая кривая, лежащая в этой области. Предположим, что нам известно также, что функции u и

v непрерывно дифференцируемы (на самом деле можно доказать, что это условие для регулярных функций выполнено автоматически). Тогда I

f(z) dz = 0

L

Для доказательства достаточно обратить внимание на то, что выражения u dx − v dy и v dx + u dy являются полными дифференциалами, или просто воспользоваться формулой Грина

IZ

P dx + Q dy = (Q0x − Py0) dx dy

LG

7

(движение по L против часовой стрелки. Иными словами, двигаться нужно так, чтобы область G, ограниченная кривой

L, оставалась слева.) Если P = u, à Q = −v, òî Q0x − Py0 = −vx0 − u0y = 0. Åñëè P = v, à Q = u, òî Q0x − Py0 = −u0x − vy0 = 0. Естественно, мы здесь воспользовались условиями Коши-Римана.

Теорема Коши для многосвязной области. Пусть функция w = f(z) регулярна в многосвязной (то есть с дырками ) области D и на ее границе L L1 L2 . . . Ln (L внешняя граница, Li границы дырок ). Тогда

I I I I

f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz + . . . + f(z) dz

L L1 L2 Ln

(по всем кривым движение производится против часовой стрелки).

Кстати, регулярность в области и на ее границе приводит к регулярности и в некоторой большей области. Доказательство будет приведено на лекции.

Интегральные формулы Коши. Бесконечная дифференцируемость регулярной функции.

Пусть f(z) функция, регулярная в односвязной области D, контур L лежит в этой области, а точка z0 лежит внутри

Это первая интегральная формула Коши.

Вывод этой формулы проведем на интуитивном уровне.

Рассмотрим окружность |z − z0| = r такого маленького радиуса, чтобы она целиком лежала внутри контура L. Применив теорему Коши для многосвязной области той, что лежит между L и окружностью, получаем, что

II

Приведем без доказательства очень важную теорему.

Теорема. Если функция w = f(z) регулярна в области D, то она бесконечно дифференцируема в этой области.

Иными словами, наличие первой производной в области приводит к существованию там производных всех порядков. Другая формулировка: производная регулярной функции сама является регулярной функцией.

Интегральные формулы Коши для производных аналогичны первой формуле Коши. А именно,

I

Кстати, если точка z0 лежит вне контура L, то интегралы в приведенных формулах равны нулю. Часто интегральные формулы Коши записывают в виде

Предыдущая запись хороша при вычислении интегралов, последняя же для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что значения регулярной функции внутри контура восстанавливаются по значениям ее на самом контуре.

Задачи.

8

ВАВТ, 5-й семестр, т. вер-стей, осень 2003 года, shurik-f.narod.ru

Л. 4 Ряды Тейлора и Лорана. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля. Радиус и круг сходимости. Формулировка теоремы о разложении функции, регулярной в круге, в ряд Тейлора. Единственность разложения. Разложения основных элементарных функций. Формулировка теоремы о разложении функции, регулярной в кольце, в ряд Лорана. Единственность разложения. Примеры.

Перед изучением этой лекции можно посоветовать повторить материал предыдущего семестра с 8-й по 13-ю лекции. Непосредственно на случай комплексных чисел переносятся основные понятия теории рядов: числовой ряд, частичные суммы, сумма, сходимость, расходимость, остаток, необходимый признак сходимости, абсолютная и условная сходимость, функциональный ряд и его область сходимости, степенной ряд.

На последнем понятии остановимся подробнее.

Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля. Радиус и круг сходимости.

Степенной ряд это ряд вида

Изучение произвольного степенного ряда можно всегда свести к изучению этого более простого ряда: для этого нужно сделать замену z − z0 = w.

Первое простое наблюдение: ряд (2) всегда сходится как минимум в одной точке, так как при z = 0 получается

ðÿä c0 + 0 + 0 + . . .. Как оказывается, иногда область сходимости на этом исчерпывается, иногда ряд сходится на всей комплексной плоскости, бывают и промежуточные варианты. На вопрос, насколько сложной может быть область сходимости степенного ряда, отвечает теорема Абеля.

Теорема Абеля. Если ряд (2) сходится в точке z1, то он сходится (причем абсолютно) во всех точках, находящихся на более близком расстоянии от начала координат, чем точка z1.

Иными словами, если |z| < |z1|, то в точке z ряд сходится (то есть сходится внутри круга с центром в нуле и радиусом

|z1|.

Задача. Сформулировать теорему Абеля для ряда (1).

Для простоты докажем эту теорему в предположении, что в точке z1 ряд сходится абсолютно. В этом случае абсолютная сходимость ряда в точке z следует из признака сравнения: |cnzn| = |cn| · |z|n ≤ |cn| · |z0|n = |cnz1n|.

Простое следствие из теоремы Абеля: если ряд (2) расходится в точке z0, то он расходится во всех точках, находящихся на большем расстоянии от начала координат, чем z0. Продумайте самостоятельно это утверждение.

Вывод. Область сходимости степенного ряда (2) может быть только следующей: состоять из единственной точки 0; состоять из внутренности круга плюс, может быть, какие-то точки окружности, ограничивающей этот круг; всей

комплексной плоскостью.

Считая точку кругом нулевого радиуса, а всю комплексную плоскость кругом бесконечного радиуса, видим, что область сходимости всегда задается числом R (условно будем считать, что бесконечность также является числом) таким,

что внутренность круга радиуса R входит в нее, внешность не входит, а точки окружности могут как входить, так и не входить в нее.

Нахождение радиуса круга сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости степенного ряда это то самое число R, о котором шла речь в предыдущем абзаце.

˛cn+1 ˛

Обратите внимание, что, вообще говоря, D зависит от z. Если этот предел существует, причем D < 1, òî åñòü |z| lim ˛ ˛ <

˛ cn ˛

9

Рассуждая аналогично (используя признак Коши), получаем еще один способ нахождения радиуса сходимости:

1 R = lim p

n |cn|

Правильная сходимость степенного ряда.

Теорема. Степенной ряд сходится правильно в любом круге |z| < r, ãäå r < R.

Как следствие, сумма степенного ряда является непрерывной функцией в круге |z| < R.

Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Обозначим радиусы сходимости исходного ряда и ряда из производных через R1 è R2 соответственно. Если исходный

ðÿä èìåë âèä P cnzn, то продифференцированный P ncnzn−1, тогда

Доказательство завершено.

Теорема. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать в области |z| < R, где R радиус сходимости.

С дифференцируемостью все должно быть ясно сразу: утверждается, что если f(z) является суммой ряда c0 + c1z + c2z2 + . . . + cnzn + . . . в круге |z| < R, то f(z) является регулярной функцией (в этом круге), причем f0(z) является

суммой ряда c1 + 2c2z + . . . + ncnzn−1 + . . ., полученного из предыдущего дифференцированием.

Интегрирование можно рассматривать с двух точек зрения неопределенного и определенного интегрирования. Рассмотрим сначала вопрос об определенном интегрировании. Если L = AB гладкая (или кусочно-гладкая, то есть

и в неопределенном смысле.

Формулировка теоремы о разложении функции, регулярной в круге, в ряд Тейлора. Единственность разложения.

Чуть ранее была сформулирована теорема, из которой следовала регулярность суммы степенного ряда. Оказывается,

верен и обратный результат, а именно: если функция регулярна в некотором круге с центром в точке z0, то она может быть представлена там в виде суммы степенного ряда. Сам факт мы доказывать не будем, а только научимся находить коэффициенты этого ряда.

Предположим, что функция w = f(z) в некоторой окрестности точки z0 представлена в виде суммы некоторого степенного ряда:

f(z) = c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + c3(z − z0)3 + . . . + cn(z − z0)n + . . .

Чему равны коэффициенты cn? Подставляем вместо z число z0, в результате все слагаемые, за исключением первого, обратятся в ноль. Следовательно, f(z0) = c0. Дифференцируя ряд, получаем

f0(z) = c1 + 2c2(z − z0) + 3c3(z − z0)2 + . . . + ncn(z − z0)n−1 + (n + 1)cn+1(z − z0)n + . . .

Поэтому f0(z0) = c1. Аналогично, сосчитав n-ю производную и подставив в нее z0, получаем f(n)(z0) = n! · cn.

Итак, если функцию можно разложить в окрестности точки z0 в степенной ряд по степеням (z−z0), то это разложение обязательно следующее:

Полученный ряд называется рядом Тейлора функции f(z). Доказательство того, что регулярная функция является суммой своего ряда Тейлора, мы опускаем.

10