Математический анализ. Лекции. / semestr5

>

>

>

:

Задача. Найдите функции распределения случайных величин из примеров 1 и 2.

Задача о повторении испытаний. Формула Бернулли.

Задача состоит в определении вероятности того, что некоторое событие A произойдет ровно k раз в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события A одна и та же.

Итак, пусть P (A) = p, тогда P (A) = 1 − p = q. Обозначим через Sn число успехов в n испытаниях. Так мы будем называть число наступлений события A.

Выведем формулу для вероятности k успехов в n испытаниях. Обозначим через i-м испытании произошло событие A. Ясно, что P (Ai) = P (A) = p.

1. n = 1. P (S1 = 0) = P (A) = q; P (S1 = 1) = P (A) = p.

2. n = 2. P (S2 = 0) = P (A1A2) = P (A1)P (A2) = q2; P (S2 = 1) = P (A1A2 + A1A2) = P (A1A2) + P (A1A2) = P (A1)P (A2) + P (A1)P (A2) = pq + qp = 2pq; P (S2 = 2) = P (A1A2) = P (A1)P (A2) = p2.

3. Общий случай. P (Sn = 0) = P (A1A2 . . . An) = P (A1)P (A2) . . . P (An) = qn; P (Sn = 1) = P (A1A2 . . . An+A1A2 . . . An+

. . . + A1A2 . . . An) = P (A1A2 . . . An) + P (A1A2 . . . An) + . . . + P (A1A2 . . . An)) = npqn; для произвольного k = 0; 1; 2; . . . ; n

вероятность P (Sn = k) подсчитывается аналогично: событие {Sn = k} распадается в сумму несовместных событий, каждое из которых состоит в том, что эти k успехов произошли во вполне определенных испытаниях. Существует ровно

Cnk способов выбрать из n испытаний k испытаний, поэтому мы имеем столько же несовместных событий. Каждое из этих событий есть произведение независимых испытаний вида Ai (в количестве k øòóê) è Aj (в количестве n − k øòóê), поэтому его вероятность равна pkqn−k. Суммарная вероятность, тем самым, равна

P (Sn = k) = Cnkpkqn−k.

Это и есть формула Бернулли.

Этой формулой можно пользоваться для произвольного натурального n и любого целого k = 0; 1; 2; . . . ; n.

Замечание. Очень часто встречается следующая ошибка: при вопросе, чему равна вероятность того, что при пяти бросаниях монеты ровно три раза выпадет герб, следует ответ: три пятых. Примерная логика понятна: здесь наблюдается некоторая аналогия с нахождением вероятности по формуле отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Однако здесь общее число исходов не пять, а намного больше (если мы хотим, чтобы они были равновероятны;

даже если рассматривать исходы {0}; {1}; {2}; {3}; {4}; {5}, то их, во-первых, не пять, а шесть, а кроме того, эти исходы

На самом деле это не одна случайная величина, а бесконечное множество их, получающихся при изменении числа n испытаний и вероятности p успеха в одном испытании.

При фиксированных n è p случайная величина Sn задается следующей таблицей:

21

Другое название этого распределения распределение Бернулли.

Геометрическое распределение.

Пусть мы находимся в ситуации схемы Бернулли, то есть ситуации, когда проводятся независимые испытания, в каждом из них с одной и той же вероятностью p может произойти событие A. Выше мы решали задачу о нахождении

вероятности того, что в n испытаниях событие A произойдет ровно один раз.

Естественно, эта задача не может быть единственной задачей в схеме Бернулли, Например, можно интересоваться вероятностью того, что в n испытаниях событие A произойдет хотя бы один раз. Проще всего эту задачу решать с

помощью перехода к противоположному событию: P (Sn ≥ 1) = 1 − P (Sn = 0) = 1 − qn.

Вот еще одна важная задача. Найдем вероятíîñòü ñîбытия, состоÿùåãî â òîì, ÷òо в испытаниях Бернулли первый успех произойдет в n-м испытании. Имеем: P (A1A2 . . . An−1An) = P (A1)P (A2) . . . P (An−1)P (An) = qn−1p.

Предположим, что производится бесконечная серия испытаний Бернулли. Рассмотрим случайную величину, равную номеру испытания, во время которого в первый раз произошло событие A. Эта случайная величина может принимать

значения 1; 2; 3; и так далее до бесконечности. (Таким образом, это пример дискретной случайной величины, принимающей счетное множество значений.) Она задается таблицей:

Распределение Пуассона и его связь с распределением Бернулли (без д-ва).

То, что распределение Бернулли (то есть биномиальное распределение) чрезвычайно важно, сомнений нет. При малых n никаких проблем с этим распределением возникнуть не может. При росте n начинают накапливаться вычислительные

трудности. Например, при p = q = 1/2 вероятность P (S3 = 2) = C32p2q1 = 3/8 подсчитывается в уме. Подсчет вероятности P (S6 = 4) = C64p4q2 = 15/64, скорее всего, уже потребует использование бумаги и ручки. Для подсчета вероятности

P (S10 = 6) = C106 p6q4 = 105/512 трудностей еще больше.

Выходом из положения могли бы стать таблицы распределений Бернулли, рассчитанные для достаточно мелкой сетки значений p (скажем, с шагом 0, 01) è âñåõ n до достаточно большого числа (например, до 1000), напечатанные в книге.

Но представьте объем такой книги, и Вам станет страшно или скучно.

Поиск чего-то более приемлемого приводит нас к случайной величине с распределением Пуассона.

Сначала простое замечание. Пусть нам дана последовательность (конечная или бесконечная) {ak} положительных чисел, которые могут быть как больше, так и равны, так и меньше единицы. Предполагаем, что их сумма меньше бесконечности. Как, сохраняя пропорции между ними, сделать из них вероятности некоторого распределения? Правильно, нужно все эти числа разделить на их сумму. Отсюда такой способ получения новых распределений. Берем аналитическую

функцию f(x) (то есть функцию, равную сумме своего ряда Тейлора), раскладываем ее в этот ряд, после чего делим левую и правую часть на f(x). Äëÿ òåõ x, при которых все члены ряда Тейлора положительны, получаем ряд из

То, что мы получили, и называется распределением Пуассона. Заметим, что распределение Пуассона (в отличие от распределения Бернулли) зависит только от одного, а не от двух параметров.

Теорема. При некоторых предположениях распределение Бернулли можно приблизить распределением Пуассона. Для этого в качестве параметра a нужно взять a = np.

таковы: n должно быть не слишком мало , p, наоборот, должно быть достаточно мало , а произведение np должно быть

где-то в пределах от одной десятой до двадцати единиц. Более точная формулировка получается на языке пределов. Читайте умные книжки. Для того, чтобы лучше понять суть этой теоремы, можно предложить следующий способ:

проверить ее самостоятельно, беря конкретные n, p è k.

22

ВАВТ, 5-й семестр, т. вер-стей, осень 2003 года, shurik-f.narod.ru

Л. 12 Непрерывные случайные величины.

Непрерывная случайная величина и ее плотность распределения. Свойства плотности распределения.

Примеры непрерывных распределений: равномерное, показательное, нормальное. Стандартное нормальное распределение.

Интеграл вероятностей.

До сих пор мы рассматривали дискретные случайные величины (принимающие конечное или счетное множество значений). Такие случайные величины мы задавали таблицей распределения. Упомянули также о том, что их можно

P

задавать с помощью функции распределения F (x) = P (X < x). Ясно, что для таких случайных величин F (x) = pi

i: xi<x

Теперь мы переходим к случаю случайных величин, принимающих более, чем счетное множество значений. Таблицей такую случайную величину уже не задашь, другое дело с помощью функции распределения.

Свойства (интегральной) функции распределения F (x) = P (X < x).

1). 0 ≤ F (x) ≤ 1.

2). F (x) неубывающая функция.

3). lim F (x) = 0.

x→−∞

4). lim F (x) = 1.

x→+∞

5). F (x) имеет не более счетного числа точек разрыва (все они первого рода, то есть скачок).

6). В точках разрыва F (x) непрерывна слева (то есть lim F (x) = F (x0)).

x→x0−0

Замечание. Пятое свойство является следствием второго.

Следствия из свойств.

1. Если точка a точка разрыва функции F (x), то величина скачка, то есть число F (a + 0) − F (a) равно P (X = a)

(ïîä F (a + 0) мы понимаем lim F (x), то есть предел справа.)

x→a+0

2.Åñëè a точка непрерывности функции F (x), òî P (X = a) = 0.

3.P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a).

4.P (a < X < b) = F (b) − F (a + 0).

5.P (X ≥ a) = 1 − F (a).

6.P (X > a) = 1 − F (a + 0).

Предположим, что существует такая неотрицательная функция f(x), что для любого x выполнено соотношение

Z x

F (x) = f(x) dx.

−∞

В этом случае случайная величина называется непрерывной, а функция f(x) называется плотностью вероятности , или

дифференциальной функцией распределения .

Свойства плотности распределения.

1). f(x) ≥ 0 (об этом, между прочим, говорится в определении).

2). R−b∞ f(x) dx = P (x < b) = F (b).

3). Rab f(x) dx = P (a ≤ x < b).

23

4). R−+∞∞ f(x) dx = 1.

5). F 0(x) = f(x).

Примеры непрерывных распределений: равномерное, показательное, нормальное.

1. Равномерное распределение.

4. Стандартное нормальное распределение. Интеграл вероятностей.

Нормальное распределение с a = 0 è σ = 1 называется стандартным. Далее будет показано, как произвольное нормальное распределение может быть сведено к стандартному. Для стандартного распределения составлены таблицы

для значений плотности вероятности и интегральной фукции распределения. Будем их обозначать ϕ(x) è Φ(x).

Это и есть интеграл вероятностей.

Иногда вместо функции Φ(x) рассматривают функцию

Нетрудно сообразить, что

1 Φ(x) = Φ0(x) + 2.

Для функции Φ0(x) (в силу ее нечетности) достаточно иметь таблицы только для положительных значений аргумента:

Φ0(−x) = −Φ0(x).

24

ВАВТ, 5-й семестр, т. вер-стей, осень 2003 года, shurik-f.narod.ru

Л. 13 Числовые характеристики случайных величин.

Случайные величины могут быть очень разные и очень сложные. А хочется каждую из них каким-либо образом оценить, сравнить одну с другой, каким-то образом расклассифицировать.

Например, что общего у случайных величин (и в чем они отличаются)

Значения у них сильно отличаются, однако обе расположены совершенно одинаково относительно своего среднего значения.

А случайные величины

Значения обеих расположены вокруг нуля, однако разброс значений Y1 намного больше разброса значений X1.

Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин, его механическая интерпретация.

Математическое ожидание оценивает среднее значение случайной величины, игнорируя величину разброса. Так, у случайных величин X è Y математичексие ожидания будут разные, а у X1 è Y1 одинаковые.

Математическим ожиданием конечной дискретной случайной величины

называется число

MX = x1p1 + x2p2 + . . . + xnpn.

Естественно, для случайной величины, принимающей счетное множество значений, математическое значение надо

Задача. Придумайте дискретные случайные величины, у одной из которых соответствующий ряд расходится к +∞,

у другой к −∞, у третьей к ∞, а у четвертой просто расходится.

Еще одна тонкость получающийся ряд может сходиться условно, а тогда сумма зависит от порядка слагаемых, что приводит к абсурду. Поэтому для такой случайной величины можно говорить о математическом значении только в случае, когда указанный ряд сходится абсолютно.

Механическая интерпретация математического ожидания состоит в следующем. Если x1, x2, . . ., xn координаты

материальных точек, расположенных на числовой оси, а p1, p2, . . ., pn веса этих точек, то центр тяжести этой системы ищется по формуле

x1p1 + x2p2 + . . . + xnpn = x1p1 + x2p2 + . . . + xnpn = MX. p1 + p2 + . . . + pn

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности f(x), называется

+∞

если, конечно, этот интеграл сходится абсолютно.

Попробуйте сами придумать объяснение этому определению. На лекции мы об этом поговорим.

Свойства математического ожидания.

25

1. MC = C.

2. M(X + C) = MX + C.

3. M(X + Y ) = MX + MY .

4. M(CX) = C · MX.

5. Åñëè X è Y независимые случайные величины, то M(XY ) = MX · MY .

(Случайные величины X è Y называются независимыми, если независимы события (X = xi) è (Y = yj) для всевозможных значений этих случайных величин.)

Дисперсия случайной величины.

Степень разброса случайной величины в некоторой степени характеризует еще одна числовая характеристика дисперсия DX = M(X − MX)2.

Иногда дисперсию вычисляют так:

DX = M(X−MX)2 = M(X2−2MX·X+(MX)2) = M(X2)−M(2MX·X)+M((MX)2) = MX2 −2MX·MX+(MX)2 =

MX2 − (MX)2

Èòàê,

DX = M(X − MX)2 = MX2 − (MX)2

Для дискретной случайной величины

XX

DX = (xi − MX)2pi = x2i pi − (MX)2

Для непрерывной случайной величины

Свойства дисперсии.

1. DC = 0.

2. D(X + C) = DX.

3. D(CX) = C2DX.

4. Åñëè X è Y независимые случайные величины, то D(X + Y ) = DX + DY .

Формулы для вычисления дисперсии произведения нет.

Среднее квадратическое отклонение.

√

Так называется величина σX = DX.

Смысл введения этой величины в том, что дисперсия измеряется в квадратных единицах, а σX в тех же единицах, что и сама случайная величина.

Свойства:

1. σC = 0.

2. σX+C = σX.

3. σCX = |C|σX.

p

4. Åñëè X è Y независимые случайные величины, то σX+Y = σX2 + σY2

26

ВАВТ, 5-й семестр, т. вер-стей, осень 2003 года, shurik-f.narod.ru

Л. 14 Числовые характеристики случайных величин (окончание).

Математические ожидания и дисперсии основных распределений: Бернулли, Пуассона, геометрического, равномерного, показательного, нормального. Другие числовые характеристики: моменты, мода, медиана.

Распределение Бернулли (биномиальное) .

Пусть n = 1. Тогда имеем:

„«

Для произвольного n случайную величину Sn представим в виде суммы n независимых случайных величин Sn = S1(1) + S1(2) + . . . + S1(n), ãäå S1(i) случайная величина, равная числу успехов в i-м испытании. Таким образом,

MX2 вычисляется аналогично. Попробуйте сами провести соответствующие выкладки. Должно получиться вот что:

Итак, для геометрического распределения

27

Равномерное распределение.