Математический анализ. Лекции. / semestr1

Л.9 Неопределенный интеграл.

Первообразная функция. Теорема о множестве первообразных. Неопределенный интеграл. Взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования.

Теорема существования неопределенного интеграла (без доказательства). Таблица основных интегралов. Простейшие правила интегрирования: интегрирование суммы, вынесение постоянного множителя.

Первообразная функция.

Задача восстановить функцию по ее производной.

F (x) называется первообразной функцией для функции f(x), åñëè F 0(x) = f(x). Конечно, нужно указывать, на каком

промежутке та или иная функция является первообразной другой функцией. Скажем, y = |x| является первообразной

функцией для функции y = 1 ïðè x > 0 и первообразной функцией функции y = −1 ïðè x < 0.

Теорема о множестве первообразных.

Теорема. Пусть F1(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a, b). Тогда F1(x)+C также является первообразной для f(x) на этом интервале. Обратно, если F1(x) è F2(x) являются первообразными функциями для f(x),

то эти функции отличаются на константу: F2(x) = F1(x) + C.

Первое утверждение совсем очевидно, так как производная суммы равна сумме производных, а производная константы равна нулю.

Второе утверждение получается, если для разности

что взять с математиков) называется подинтегральной функцией, выражение f(x) dx подинтегральным выражением , x переменной интегрирования .

Взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования.

Эта взаимная обратность (совершенно очевидная) подчеркивается в следующих простых тождествах:

df(x) dx = f(x) dx

Z

f0(x) dx = f(x) + C

Z

df(x) = f(x) + C

df(x) имеется ыв виду, конечно, R f0(x) dx)

Теорема существования неопределенного интеграла (без доказательства).

Если функция f(x) непрерывна на интервале (a, b), то неопределенный интеграл от этой функции существует (конечно, для x (a, b)).

21

Л.10 Интегрирование подстановкой и по частям.

Теорема об инвариантности формул интегрирования. Интегрирование подстановкой.

Линейные подстановки: прибавление постоянной под знаком дифференциала, введение под знак дифференциала постоянного множителя.

Интегрирование по частям. Типы интегралов, которые вычисляются интегрированием по частям. Метод приведения интеграла к самому себе.

Примеры интегралов, не являющихся элементарными функциями.

Теорема об инвариантности формул интегрирования.

Теорема. R

Åñëè f(x) dx = F (x)+C, то эта формула остается справедливой, если x заменить на любую дифференцируемую функцию от x.

Линейные подстановки: прибавление постоянной под знаком дифференциала, введение под знак дифференциала постоянного множителя.

Имеется в виду использование следующих очевидных тождеств:

dx = d(x + C);

dx = C1 d(Cx) (C 6= 0).

виде результатом этих действий является формула

Z

f(ax + b) dx = a1 F (ax + b) + C,

ãäå F (x) первообразная для функции f(x) (любая).

Интегрирование по частям.

Первая наивная попытка вывести формулу типа интеграл от произведения равен произведению интегралов от сомножителей заканчивается ничем по той простой причине, что такой формулы в природе не существует (если бы она существовала, то производная произведения равнялась бы произведению производных, а всем известно, что работает другая, более сложная формула). Формула интегрирования по частям и возникает как обращение формулы для производной произведения (uv)0 = u0v + uv0, или, если хотите, формулы для дифференциала произведения d(uv) = vdu + udv.

Это и есть формула интегрирования по частям. Попробуйте сами сообразить, почему она так называется. Вспоминая, чему равен дифференциал, при желании эту формулу мы можем переписать в виде

23

ZZ

uv0 dx = uv − vu0 du

Типы интегралов, которые вычисляются интегрированием по частям.

Нагляднее всего сущность этого метода проявляется при интегрировании следующих классов функций: произведение многочлена P (x) íà sin x, cos x èëè ex (в этом случае мы заносим тригонометрическую или показательную функцию под

знак дифференциала, то есть принимаем P (x) çà u, а оставшееся подинтегральное выражение, включая dx, çà dv), а также произведение P (x) íà ln x, arcsin x, arctg x и т. д. (в этом случае мы заносим под знак дифференциала многочлен).

В первом случае использование формулы интегрирования по частям позволяет нам понизить степень многочлена, а в конце концов и вообще избавиться от него, а во втором случае упростить подинтегральное выражение.

Многочисленные примеры будут разбираться на семинаре.

Метод приведения интеграла к самому себе.

Примеры интегралов, не являющихся элементарными функциями.

как однажды на экзамене один студент жаловался, что экзаменатор дал ему слишком сложный интеграл. Успокоился он только после того, как я попросил его вычислить (а он, естественно, не сумел) один из вышеприведенных невычисляемых , но очень простых с виду интегралов.

24

Л.11 Интегрирование рациональных дробей.

Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.

Теорема о разложении правильной рациональной дроби на простейшие (без док-ва).

Нахождение неопределенных коэфффициентов способом частных значений, способом сравнения коэффициентов, комбинированным методом.

Интегрирование неправильных рациональных дробей.

Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.

A

Простейшие рациональные дроби: Это: (x − a)n ;

Ax + B

(x2 + px + q)n ; (обычно в случае второй дроби требуют, чтобы дискриминант квадратного трехчлена в знаменателе был меньше нуля, то есть чтобы знаменатель нельзя было разбить на (x − a)n(x − b)n

Интеграл от первой функции <почти> табличный; он становится табличным с помощью добавления под знаком дифференциала −a и заменой x − a = t.

Q(x) = (x − a1)n1 . . . (x − ak)nk (x2 + p1x + q1)m1 . . . (x2 + psx + ds)ns . (Старший коэффициент у нас равен 1; если бы это было не так, мы разделили бы числитель и знаменатель на него.) Тогда можно подобрать такие числа A, B, C, . . . (îíè

Нахождение неопределенных коэфффициентов.

1. Способ частных значений.

Приводя правую часть равенства в предыдущей теореме к общему знаменателю и приравнивая числители, мы можем найти неопределенные коэффициенты A, . . ., если подставим в получившееся тождество какие-то конкретные значения

переменной x, в результате чего получим систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов. 2. Способ сравнения коэффициентов.

Начало как и в предыдущем методе, но вместо подстановки конкретных значений x раскрываем скобки и приводим в правой части подобные члены. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, снова получаем систему

линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов (вообще говоря, эти системы различаются, а вот решения обязательно совпадают).

3. Комбинированный метод.

Здесь комментарии излишни для получения системы уравнений используем и подстановку конкретных значений переменной x, как в методе 1, и приравниваем коэффициенты при некоторых степенях x, как в методе 2.

Интегрирование неправильных рациональных дробей.

Итак, для правильной рациональной дроби справедлива теорема о разложении ее на простейшие; если же дробь неправильная (то есть степень числителя больше или равна степени знаменателя), то перед разложением ее на простейшие надо выделить из этой дроби целую часть, например, делением столбиком.

25

Л.12 Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.

Интегрирование степеней синуса и косинуса, произведений синусов и косинусов.

Интегрирование функций, рациональных относительно синуса и косинуса (универсальная тригонометрическая подстановка). Интегрирование линейных иррациональностей.

Интегрирование квадратических иррациональностей с помощью тригонометрических подстановок.

Интегрирование степеней синуса и косинуса, произведений синусов и косинусов.

Начнем с очевидного (с таблицы интегралов).

sin2 x + cos2 x = 1; sin2 x = 1 − cos 2x

2;

R√a2 − x2 dx kx = a sin t èëè x = a cos tk. a2 + x2 dx kx = a tg t èëè x = a ctg tk.

R√x2 − a2 dx kx = cosa t èëè x = sina xk.

26

Л.13 Определенный интеграл.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла: задача о площади криволинейной трапеции, задача о массе стержня и др.

Интегральная сумма и определенный интеграл.

Теорема существования определенного интеграла (без док-ва). Геометрический и механический смысл определенного интеграла.

Основные свойства: линейность, аддитивность, интегрирование неравенств, теорема об оценке, теорема о среднем.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла: задача о площади криволинейной трапеции; задача о массе стержня и др.

Вот несколько задач, которые приводят к похожим выкладкам: Площадь плоской фигуры (криволинейной трапеции); работа переменной силы; нахождение пути по заданной переменной скорости; длина кривой;

масса материальной линии по заданной переменной плотности; объем тела; статические моменты кривой; центр тяжести кривой.

Например, для нахождения площади плоской фигуры мы можем разрезать ее на тонкие полоски и найти приближенно площадь всей фигуры, подсчитав приближенно площадь каждого кусочка, считая, что каждый такой кусочек не очень сильно отличается от прямоугольника.

Интегральная сумма и определение определенного интеграла.

Попытка свести решение этих и многих других задач к одной схеме приводит к понятию интегральной суммы и определенного интеграла.

Именно, пусть нам задана функция на отрезке

x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn = b; и на каждом получившемся отрезочке выберем произвольным образом по точке:

промежуточных точек ξi, то он называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначается

Z b

f(x) dx

a

Теорема о существовании определенного интеграла. (б/д-ва).

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует определенный интеграл Rab f(x)dx.

Это лишь достаточное условие существования определенного интеграла. Существует и простое необходимое условие его существования.

Теорема. Если существует R b f(x)dx, òî f(x) ограничена на [a, b].

Пример ограниченной, но неaинтегрируемой функции функция Дирихле, равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках.

Геометрический и механический смысл определенного интеграла.

см. пункт первый.

Основные свойства: линейность, аддитивность, интегрирование неравенств, теорема об оценке, теорема о среднем.

Теорема 1. Rab(λf(x) + µg(x)) dx = λ Rab f(x) dx + µ Rab g(x) dx. Теорема 2. Если a < c < b, òî Rab f(x) dx = Rac f(x) dx + Rcb f(x) dx

Теорема 3. Если f(x) ≤ g(x), òî Rab f(x) dx ≤ Rab g(x) dx

Теорема 4. Если m ≤ f(x) ≤ M íà [a, b], òî m(b − a) ≤ Rab f(x) dx ≤ M(b − a).

Теорема 5. Если m ≤ f(x) ≤ M íà [a, b], то существует такое число µ [m, M], ÷òî Rab f(x) dx = µ(b − a).

Теорема 5'. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то существует такая точка c [a, b], ÷òî Rab f(x) dx = f()(b − a).

27

Л.14 Методы вычисления определенного интеграла.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла: замена переменной, интегрирование по частям.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Будем вычислять интеграл Rab f(x) dx, беря в качестве b различные числа. Естественно, значение интеграла должно при этом (вообще говоря) меняться. Поэтому мы можем написать, что Rab f(x) dx есть функция от b (как, впрочем, и от a,

если нам вздумается менять a): F (b) = Rab f(x) dx. Поскольку буква b в нашем сознании не ассоциируется с переменным числом, будем вместо b писать какую-нибудь другую букву, например, t: F (t) = Rat f(x) dx. Наконец, что делать, если мы

хотим аргумент обозначить буквой x? Ведь эта буква уже занята в качестве переменной интегрирования. Есть два выхода

из положения. Первый переобозначить переменную интегрирования, поскольку результат интегрирования не зависит от того, какую букву мы там напишем: Rab f(x) dx = Rab f(t) dt = Rab f(z) dz = Rab f(λ) dλ и т. д. Тогда мы можем написать, например, F (x) = Rax f(t) dt. Второй выход использовать обозначение x сразу в двух смыслах и как обозначение переменной интегрирования, и как верхний предел. Это на первый взгляд не слишком хорошая идея, могущая привести к всевозможным недоразумениям, однако, если привыкнуть к такой записи, то она даже начинает нравиться, а ошибки при ее использовании возникают не чаще, чем при использовании разных обозначений.

Теорема. Если f(x) интегрируема на [a, b] (то есть существует Rab f(x) dx), òî F (x) = Rax f(t) dt непрерывна на [a, b]. При доказательстве используются следующие известные нам из предыдущей лекции свойства определенного интеграла:

аддитивность, то, что интегрируемая на [a, b] функция ограничена на [a, b], а также теорема об оценке (иными словами,

интегрирование неравенств).

Теорема о производной интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема. Если f(x) непрерывна на [a, b], òî F (x) дифференцируема на [a, b], причем F 0(x) = f(x).

Эта теорема легко доказывается с помощью теоремы о среднем для определенного интеграла. Указание. F =

R x+Δx f(x) dx.

x

Итак, мы доказали, что если функция непрерывна на [a, b], то для нее существует первообразная; одна из первообразных