Математический анализ. Лекции. / semestr1

Z +∞ f(x) dx = lim

Z b f(x) dx

Если этот предел существует (конечный!), то интеграл называют сходящимся; говорят также, что интеграл сходится

к этому пределу. Если же предел равен бесконечности, то говорят, что интеграл

расходится к бесконечности

(обратите

внимание не сходится к бесконечности, а расходится!). Если же предел не существует вовсе, то говорят, что интеграл

расходится. Это как крайняя степень падения.

Как вычислять несобственный интеграл указанного вида? Очень просто нужно найти какую-нибудь первообразную

F (x)

äëÿ

f(x)

; тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем

b

, и поэтому

+∞

f(x) dx = limb→+∞(F (b)−

a f(x) dx = F (b)−F (a)

a

F (a)) = F (+∞) − F (a)

(как нетрудно сообразить, под

F (+R∞)

здесь понимается

)).

limb→+∞ F (bRb

b

Аналогично определяется несобственный интеграл по бесконечному промежутку (−∞; b]: −∞ f(x) dx = lima→−∞ a f(x) dx.

Такое впечатление, что если знаешь определение несобственного интеграла по

промежутку

[a; +∞), òî

ошибиться в

R

R

интегралом по промежутку, бесконечному в обе стороны. Здесь ошибиться раз плюнуть. По большому счету можно

ab f(x) dx пределы интегрирования устремлять в

придумать два определения такого интеграла. Можно в интеграле

R

интегралом

+

a

бесконечность независимо друг от друга это и будет правильным определением несобственного интеграла, а можно под

R

∞ f(x) dx понимать lim

f(x) dx. Такой интеграл также иногда рассматривают, но чтобы отличать

−∞

R

−a

+∞ f(x) dx,

a→+∞

îò

предыдущего, ему дали другое название он называется интегралом в смысле главного значения.

Возвращаемся к правильному определению. Попробуем упростить его. Поскольку по этому определению

если он существует (то есть сходится, по общепринятой терминологии), равен

F (+∞) − F (−∞), ãäå F (Rx) любая

−∞

первообразная для функции f(x), то можно дать такое определение:

∞ f(x) dx.

В самом деле,

Z−∞

f(x) dx = Z−∞ f(x) dx + Z0

+∞

0

+

Впрочем, как

−0∞ f(x) dx + 0+∞ f(x) dx = F (+∞) − F (0) + F (0) − F (−∞) = F (+∞) − F (−∞).

R

R

0

легко заметить, вместо нуля можно было написать любое другое число. Отметим, что для существования

интеграла

+

F (+∞)

F (−∞)

такого интеграла (его сходимости) нужно, чтобы оба предела

è

были конечными. Иными словами, оба

∞ f(x) dx

R

−∞

f(x) dx è

R

0

∞ f(x) dx должны сходиться. Если же хотя бы один из этих интегралов расходится, то и

+

R−∞Признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами.

также расходится.

для интегралов по промежутку [a; +∞).

выполняется соотношение

, то из сходимости

R

+

∞

g(x) dx

Теорема 1. Если при всех

a

a ∞ f(x) dx, а из расходимости

a ∞ f(x) dx следует расходимость

a ∞ g(x) dx.

следует сходимость

+

x

[a; +∞)

R

+

0 ≤ f(x) ≤ g(x)+

Задача. ДоказатьR

эту теорему самостоятельно.

R

f(x)

Теорема 2. Если при всех

x [a; +∞) f(x) ≥

0

; g(x)

>

0, причем существует конечный предел

lim

6= 0

, òî

R

+∞ f(x) dx è

x→+∞ g(x)

+∞ g(x) dx сходятся или расходятся одновременно.

a

R

a

Задача.

Доказать эту теорему самостоятельно.

Абсолютная сходимость.

∞ f(x) dx называется сходящимся абсолютно, если сходится интеграл от модуля этой

функции.

Ra

Несобственный интеграл

+

Замечание.

Название абсолютная сходимость можно интерпретировать двумя способами. Во-первых, абсолютная

сходимость в каком-то смысле действительно абсолютная, то есть самая хорошая , самая правильная , самая-самая

сходимость. Во-вторых, это название можно оправдать тем, что другое название модуля это абсолютная величина.

Теорема. Если интеграл

R

+∞

f(x) dx

сходится абсолютно, то он сходится (то есть если сходится интеграл от модуля

некоторой функции, то

a

сходится интеграл и от самой функции).

Задача. Доказать самостоятельно.

Доказать, что

+

dx

Задача.

R1

∞

сходится при

p > 1 и расходится при p ≤ 1.

xp

Задача.

Сформулировать их самостоятельно, беря в качестве образца признаки сравнения для несобственных интегралов

по бесконечному промежутку.

Доказать, что

1

dx

Задача.

0

сходится при p < 1 и расходится при p ≥ 1.

xp

Гамма-функция и ееRосновное свойство. Примеры вычисления интегралов с помощью гамма-функции.

Эйлеровы интегралы.

Эйлеров интеграл первого рода. B(a, b) = Z0

1 xa−1(1 − x)b−1 dx, ãäå a è b > 0. (Бета-функция).

(если хотя бы один из параметров ≤ 0, то интеграл расходится.

Свойства.

1. B(a, b) = B(b, a) (подстановка x = 1 − t).

2. Ïðè b > 1 B(a, b) =

b − 1

B(a, b

−

1)

a + b

−

1

a − 1

−

2'. Ïðè a > 1 B(a, b) =

1

B(a

1, b). (интегрирование по частям)

3. B(a, 1) = Z0

1

a + b

−

1

xa−1 dx =

a

B(a, n) =

(n − 1)!

n целое)

a · (a + 1) . . . (a + n −

1) (

B(m, n) =

(n − 1)!(m − 1)!

(m + n − 1)

∞

a

−

1

4. x =

y

B(a, b) = Z0

y

dy

y + 1

;

(1 + y)a+b

∞ ya−1

π

5. B(a, 1 − a) = Z0

dy =

(0 < a < 1).

y + 1

sin aπ

(n + 1) = n!

2. B(a, b) =

(a) · (b)

(a + b)

3. (a) ·

(1 − a) =

π

sin aπ

( 21 ) = √

π

√

R0∞ e−x

1

R0∞

e−z

2

dx = kz = x2k =

π

√

dz =

2

2

z