Математический анализ. Лекции. / semestr4

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003; shurik-f.narod.ru

Л.15. Ряды Фурье.

Ортогональные функции.

Тригонометрическая система функций на отрезке [−π; π] и ее ортогональность. Ряд Фурье периодической функции с периодом 2π.

Условия Дирихле.

Теорема о разложении функции в ряд Фурье (без д-ва).

Теорема о единственности разложения функции в тригонометрический ряд. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

По большому счету о рядах Фурье говорить сейчас сложно. При правильном подходе нужно было бы вернуться к курсу высшей алгебры, ввести понятие евклидова пространства, затем гильбертова пространства, и только после этого вернуться на нашу грешную землю. Очевидно, что такой подход в сложившейся ситуации невозможен хотя бы из-за дефицита времени.

Ортогональные функции.

Будем рассматривать функции, определенные и интегрируемые на отрезке [a; b]. Введем понятие скалярного произведения таких функций (аналог обычного скалярного произведения векторов: (a; b = |a||b| cos ϕ):

Z b

(f(x), g(x)) = f(x)g(x) dx

a

Ясно, что если функцию скалярно умножить на себя, то получится положительное число (прошу прощения, я Вас немного обманул, ноль тоже иногда получается, но очень редко: для этого функция должна всюду или почти всюдуравняться нулю):

Z b

(f(x), f(x)) = f2(x) dx ≥ 0

a

Обычные векторы перпендикулярны (иногда еще говорят ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Этим оправдывается следующее определение. Функции f(x) è g(x) называются ортогональными, åñëè

(f(x), g(x)) = 0

Тригонометрическая система функций на отрезке [−π; π] и ее ортогональность.

Рассмотрим отрезок [−π; π] и функции

1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . .

Простым упражнением является вычисление всевозможных скалярных произведений этих функций; здесь я приведу только результат, а Вам рекомендую все это просчитать.

Z π

(1, 1) = dx = 2π

−π

(таким образом, единичная функция относительно нашего скалярного произведения имеет длину √2π).

Z π

(cos nx, 1) = (1, cos nx) = cos nx dx = 0

−π

(функции cos nx и единичная ортогональны).

Z π

(sin nx, 1) = (1, sin nx) = sin nx dx = 0

−π

Z π

(cos nx, cos nx) = cos2 nx dx = π

−π

Z π

(sin nx, sin nx) = sin2 nx dx = π

−π

Z π

(cos nx, cos mx) = cos nx cos mx dx = 0 (n 6= m)

−π

Z π

(sin nx, sin mx) = sin nx sin mx dx = (n 6= m)

−π

31

Z π

(cos nx, sin mx) = cos nx sin mx dx = 0

−π

Здесь n è m натуральные числа.

Вывод: рассматриваемые функции взаимно ортогональны (обычно добавляют: на отрезке [−π, π]; это важно, если бы мы интегрировали их по другому отрезку, результат мог бы быть иным). Квадрат длины этих функций, за исключением единичной функции, равен π, у единичной функции он в два раза больше.

Ряд Фурье периодической функции с периодом 2π.

Предположим, что некоторая функция f(x), периодическая с периодом 2π (или заданная только на отрезке [−π; π]), разложена в ряд

f(x) = a20 + (a1 cos x + b1 sin x) + (a2 cos 2x + b2 sin 2x) + . . . + (an cos nx + bn sin nx) + . . .

Предположим, что этот ряд можно почленно интегрировать (посмотрите 11-ю лекцию, там написано, что, например, правильная сходимость это гарантирует; учтите при этом, что это всего лишь достаточные, но не необходимые условия). Используя вычисленные выше интегралы, мы можем утверждать, что

(все остальные интегралы равны нулю). Тем самым мы нашли a0:

Для нахождения остальных коэффициентов поступим следующим образом: если нас интересует an, умножим функцию на cos nx, после чего снова почленно проинтегрируем ряд. Снова все интегралы, кроме одного, обратятся в ноль, и

π π

Забудем теперь о предположении, что функция может быть разложена в такой тригонометрический ряд и будем считать известным только то, что существует интеграл от нее по отрезку [−π, π]. В этом случае ее рядом Фурье называется ряд

∞

a20 + X an cos nx + bn sin nx,

n=1

где числа an è bn, называемые коэффициентами Фурье функции f(x), задаются формулами

Кстати, для единообразия вычисления всех коэффициентов Фурье в ряде Фурье первое слагаемое и записывается в таком, могущем вызвать недоумение, виде. Заметьте, пока ничего не говорится о сходимости ряда Фурье вообще, и к функции, его породившей, в частности. Может случиться так, что разные функции имеют один и тот же ряд Фурье. Единственно что мы пока можем утверждать, что если взять правильно сходящийся тригонометрический ряд, его просуммировать, то этот ряд будет рядом Фурье своей суммы (и, естественно, сходиться к ней).

Условия Дирихле. Теорема о разложении функции в ряд Фурье (без д-ва).

Переходим к условиям, гарантирующим сходимость ряда Фурье функции f(x) к f(x). Теорема 1. Если функция f(x):

непрерывна на [−π; π];

ее производная непрерывна на [−π; π], за исключением, может быть, конечного числа точек;

f(−π) = f(π),

то ее ряд Фурье сходится к ней ( небольшое уточнение: сходится он правильно).

32

Теорема 2. Если функция f(x):

имеет (если имеет) конечное число разрывов, причем все они только первого рода;

имеет непрерывную производную на [−π; π], за исключением, может быть, конечного числа точек,

Теорема о единственности разложения функции в тригонометрический ряд.

Задача. Внимательно прочитайте лекцию, после чего докажите эту теорему самостоятельно.

Докажите это самостоятельно.

Вывод. Пусть функция f(x) является четной. Тогда ее ряд Фурье имеет вид

33

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003; shurik-f.narod.ru

Л.16. Ряды Фурье (окончание).

Тригонометрическая система функций на отрезке [−l; l], ее ортогональность.

Разложение функции произвольного периода в ряд Фурье.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций произвольного периода.

Разложение функции, заданной на полупериоде, в ряд по синусам и в ряд по косинусам.

Тригонометрическая система функций на отрезке [−l; l], ее ортогональность.

В двух словах: если требуется разложить функцию в тригонометрический ряд не по промежутку длины 2π, а по какому по

другому промежутку (для простоты давайте считать, что этот промежуток симметричен относительно начала координат: [−l; l]), то надо использовать тригонометрические функции с периодом 2l, так как иначе не удастся доказать обращение

в ноль интегралов от их произведения. Выпишем эти функции:

1, cos πxl , sin πxl , cos 2πxl , sin 2πxl , . . . , cos nπxl , sin nπxl , . . .

Выпишем результаты вычисления скалярных произведений этих функций:

(sin nπxl , 1) = (1, sin nπxl ) = 0

(cos nπxl , cos nπxl ) = l

(sin nπxl , sin πxl ) = l

(cos nπxl , cos mπxl ) = 0 (n 6= m) (sin nπxl , sin mπxl ) = 0 (n 6= m)

(cos nπxl , sin mπxl ) = 0 (n è m любые)

Вывод: рассматриваемые функции взаимно ортогональны на отрезке [−l, l]. Квадрат длины этих функций, за исключением единичной функции, равен l, у единичной функции он в два раза больше.

Разложение функции любого периода в ряд Фурье.

Повторяя рассуждение, проведенное нами для функций с периодом 2π, получаем, что если функцию можно разложить в ряд по вышеприведенным функциям, то он обязан иметь вид

1 Z l nπx

bn = l −l f(x) sin l dx n = 1, 2, . . .

Далее можно повторить всю теорию, рассказанную на прошлой лекции. Оставляю за Вами эту приятную возможность.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций любого периода.

Пусть функция f(x) на отрезке [−l; l] является четной. Тогда ее ряд Фурье имеет вид

34

ãäå

2 Z l nπx

an = l 0 f(x) cos l dx; n = 0, 1, 2, . . .

Пусть функция f(x) на отрезке [−l; l] является нечетной. Тогда ее ряд Фурье имеет вид

∞

X bn sin nπx,

l

n=1

ãäå

2 Z l nπx

bn = l 0 f(x) sin l dx; n = 1, 2, . . .

Разложение функции, заданной на полупериоде, в ряд по синусам и в ряд по косинусам.

Если функция f(x) задана только отрезке [0; l], а мы хотим ее разложить, используя тригонометрические функции, имеющие период 2l, то у нас есть некоторая свобода выбора: мы можем разложить функцию в ряд, состоящий только из косинусов (единицу можно считать косинусом: 1 = cos 0x), а можем в ряд состоящий только из синусов (и много чего еще можем). Для разложения по косинусам продолжаем функцию на отрезок [−l; 0] четным образом, то есть считаем, что f(−x) = f(x); для разложения по синусам продолжаем ее нечетным образом.

35