Математический анализ. Лекции. / semestr4

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003

Л.6. Операторный метод решения дифференциальных уравнений.

Напоминание определений оригинала и изображения, свойств преобразования Лапласа, таблицы изображений, теоремы о свертке.

Общая схема решения задачи Коши для линейного уравнения с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа мы уже изучали; сейчас мы повторим основные определения и свойства.

Определение оригинала и изображения.

Оригинал это функция f(t) действительного аргумента t, на которую обычно накладывают некоторые условия, смысл

которых состоит в том, чтобы мы гарантированно могли найти изображение этого оригинала, а также чтобы были справедливы свойства оригиналов и их изображений, которые формулируются ниже.

Изображение оригинала f(t) это функция F (p), задаваемая формулой

Обычно на оригинал накладывают такое условие: функция f(t) должна быть кусочно-непрерывной, у нее не должно

быть точек разрыва 2-го рода, а точек разрыва 1-го рода должно быть не слишком много: ни на каком конечном промежутке их не должно быть бесконечно много (хотя на всей прямой их и может быть столько). Короче это можно сказать так: точки разрыва должны быть не хуже , чем точки разрыва 1-го рода, и на каждом конечном промежутке их должно быть конечное число (заметьте, ноль тоже конечное число, поэтому такое требование не мешает функции быть всюду непрерывной).

Эти требования позволяют не беспокоиться о существовании определенного интеграла от такой функции по любому конечному промежутку.

А что нужно для существования несобственного интеграла? Для начала вспомним его определение:

ZZ

Таким образом, должен существовать конечный предел на бесконечности у первообразной; а поскольку изображение вовсе не обязано существовать всюду, а хотя бы для достаточно больших p, то достаточно потребовать, чтобы f(t) росла

на бесконечности не быстрее, чем показательная функция, то есть чтобы существовали M è s такие, что для всех t ≥ 0

|f(t)| ≤ Mest.

Для таких функций, если взять p > s (если мы ограничиваемся действительными p; åñëè æå p = a + ıb, то больше s должно быть число a действительная часть числа p), мы получим быстро убывающую на бесконечности функцию,

несобственный интеграл от которой сходится.

Еще одно условие на оригинал то, что он равен нулю слева от нуля, используется при доказательстве теоремы о запаздывании.

Соберем все условия на оригинал вместе.

Оригинал это функция действительного переменного t (значения она может принимать как действительные, так и комплексные), удовлетворяющая условиям:

1. f(t) = 0 ïðè t < 0;

2. на каждом конечном промежутке f(t) должна иметь не больше конечного числа точек разрыва, причем эти точки

могут быть только устранимыми или 1-го рода;

3. существуют такие числа M è s, ÷òî äëÿ âñåõ t выполнено неравенство |f(t)| ≤ Mest.

.

Обозначение. Тот факт, что F (p) изображение оригинала f(t), мы будем записывать так: f(t) =. F (p).

Свойства преобразования. . Лапласа . Пусть f(t) =. F (p); g(t) =. G(p).

.

1. Линейность. Для любых чисел a è b af(t) + bg(t) =. aF (p) + bG(p).

2. Теорема запаздывания. Для любого τ > 0 f(t − τ) =.. e−pτ F (p).

3. Теорема смещения. eatf(t) =.. F (p − a).

4. Дифференцирование изображения. F 0(p) =.. −tf(t).

11

5. Дифференцирование оригинала. Если не только f(t), íî è f0(t) удовлетворяет условиям 2 и 3, то f0(t) =.. pF (p)−f(0) (если функция f(t) терпит разрыв в нуле, то под f(0) здесь понимается предел этой функции справа: f(0) = lim f(t)).

t→0+

Применяя эту формулу для f0(t), получаем f00(t) =.. p2F (p) − pf(0) − f0(0).

Таблица оригиналов и изображений.

.1

1.1 =. p

.b

4.sin bt =. p2 + b2

. p

5.cos bt =. p2 + b2

.b

6.sh bt =. p2 − b2

.p

7.ch bt =. p2 − b2

Свертка оригиналов и теорема об изображении свертки.

Сверткой функций f(t) è g(t) называется функция (f g)(t), задаваемая формулой

Z

(f g)(t) = f(τ)g(t − τ) dτ.

0

Легко доказать, что (f g)(t) = (g f)(t).

Теорема Бореля (теорема об изображении свертки). Если функции f(t) è g(t) удовлетворяют условиям 1 3, то их свертка также удовлетворяет этим условиям (то есть наряду с f(t) è g(t) функция (f g)(t) является оригиналом), причем изображение свертки равно произведению изображнений f(t) è g(t). Короче говоря,

.

(f g)(t) =. F (p)G(p)

Легким следствием из теоремы Бореля является

Формула Дюамеля.

Åñëè F (p) è G(p) изображения функций f(t) è g(t), òî

pF (p)G(p) =.. (f g0)(t) + f(t)g(0)

Общая схема решения задачи Коши для линейного уравнения с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа.

Пусть нам нужно решить задачу Коши для уравнения

y(n) + a1(x)y(n−1) + a2(x)y(n−2) + . . . + an−1(x)y0 + an(x)y = f(x);

предполагаем, что начальные условия даны при x = 0 (в противном случае нужно ввести новый аргумент с помощью

линейного сдвига старого):

y(0) = y0; y0(0) = y00 ; . . . ; y0(n−1).

Предполагаем, что решение этой задачи является оригиналом, то есть удовлетворяет выписанным ранее условиям. Изображение этого оригинала (которое, как и оригинал, является неизвестной функцией) обозначим через Y (p). Изображение

функции f(x) обозначим через F (p) (таким образом, и f(x) должна быть оригиналом. Используя свойства преобразования

Лапласа (а именно, линейность и дифференцирование оригинала), получаем следующее уравнение относительно F (p) (для простоты будем считать, что нам дано уравнение второго порядка):

p2Y (p) − py0 − y00 + a1(pY (p) − y0)) + a2Y (p) = F (p),

откуда

Y (p) = F (p) + py0 + y00 + a1y0 p2 + a1p + a2

Если удается найти оригинал этой функции, задача Коши оказывается решенной. Обратите внимание, что Y (p) ищется не из дифференциального, а обычного алгебраического уравнения.

12

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003

Л. "6+Дополнительная. Линейные пространства.@

1. Определение линейного пространства.

Сначала важный пример: множество векторов на плоскости. Их можно складывать и умножать на числа, при этом выполнены многочисленные хорошие свойства этих операций. Например, когда мы складываем векторы, неважно, к первому вектору мы добавляем второй или ко второму первый (так как при этом берется диагональ одного и того же параллелограмма). С помощью понятия линейного пространства мы пытаемся понять, что общего у этого множества векторов, у множества наборов чисел с покоординатными операциями сложения и умножения на число, у множества функций, заданных на определенном множестве, и т. д. В качестве условий, которые должны выполняться для элементов линейного пространства, выбираются общие свойства указанных, а также многочисленных других множеств, в которых заданы операции сложения элементов и умножения их на число. В этом случае все теоремы, доказанные для произвольного линейного пространства, автоматически переносятся на любое множество, удовлетворяющее условиям линейного пространства, и тем самым являющееся линейным пространством.

Определение. Множество L называется линейным, или векторным, пространством, если для каждых элементов x è y, принадлежащих L (они иногда называются векторами), определена их сумма x + y, также принадлежащая L, è äëÿ

каждого числа λ и элемента x определено произведение λx, также принадлежащее L, причем должны быть выполнены следующие условия (называемые аксиомами линейного пространства):

1. x + y = y + x для любых векторов x è y;

2. (x + y) + z = x + (y + z) для любых x, y è z;

3. существует вектор 0 (называемый нулевым) такой, что x + 0 = x для любого x;

4. для каждого вектора x существует вектор −x (называемый противоположным к x) такой, что x + (−x) = 0;

5. 1 · x = x

6. λ(µx) = (λµ)x для любого x и любых чисел λ è µ;

7. (λ + µ)x = λx + µx

8. λ(x + y) = λx + λy

2. Примеры линейных пространств.

1. Множество геометрических векторов на прямой.

2. Множество геометрических векторов на плоскости.

3. Множество геометрических векторов в пространстве.

4. Множество наборов n чисел.

5. Множество многочленов степени, не превышающей n.

6. Множество решений системы линейных однородных уравнений.

7. Множество решений линейного однородного дифференциального уравнения.

3. Линейная комбинация системы элементов линейного пространства.

Так называется сумма

λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn.

Линейная комбинация называется тривиальной, åñëè λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. Ясно, что тривиальная комбинация

равна нулевому вектору.

Линейная комбинация называется нетривиальной, если она не является тривиальной. Иными словами, комбинация

λi отличен от нуля. Среди нетривиальных комбинаций встречаются как те, которые равны ненулевому вектору, так и те, которые равны нулевому вектору. Например, нетривиальная комбинация 1 · x + (−1)x = 0.

4. Линейная зависимость и независимость системы элементов.

Векторы x1, x2, . . . , xn называются линейно зависимыми, если хотя бы один из них можно линейно выразить через

остальные (то есть он равен линейной комбинации остальных). Это равносильно тому, что существует нетривиальная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. Попробуйте доказать это.

Векторы x1, x2, . . . , xn называются линейно независимыми, если они не являются линейно зависимыми. Строя отрицание

к определениям линейной зависимости, получаем следующее. Линейная независимость означает: неверно, что хотя бы один из векторов можно линейно выразить через остальные. Иными словами, ни один из них нельзя линейно выразить через остальные. Отрицание ко второму утверждению: неверно, что существует нетривиальная комбинация векторов, равная нулевому вектору. Короче: не существует нетривиальная комбинация векторов, равная нулевому вектору. А поскольку тривиальная комбинация равна нулевому вектору, то получается еще более симпатичная формулировка: только тривиальная комбинация равна нулевому вектору.

13

5. Примеры линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.

a) Если один из векторов системы нулевой, то система линейно зависима. Придумайте сами нетривиальную комбинацию векторов такой системы, равную нулевому вектору.

b) Если в системе есть два равных вектора, то система линейно зависима. Придумайте сами нетрив... и так далее. c) Если в системе есть два пропорциональных вектора, то система линейно зависима. Придумайте сами и т. д.

d) Если система линейно зависима, а мы к ней добавили еще один или несколько векторов, то система останется линейно зависимой.

В самом деле, если к нетривиальной комбинации, равной нулевому вектору, прибавить любой другой вектор, умноженный на ноль, то снова получится нетривиальная комбинация, равная нулевому вектору.

e) Если система состоит из одного ненулевого вектора, то она линейно независима.

f) Если система состоит из двух непропорциональных векторов, то она линейно независима.

g) Если система линейно независима, и мы выкинули из нее один или несколько векторов, то она не перестанет быть линейно независимой. В самом деле, если бы она стала линейно зависимой, то по пункту d) мы бы заключили, что исходная система также линейно зависима.

6. Геометрический смысл линейной зависимости двух и трех геометрических векторов.

Рассмотрим обычные векторы в трехмерном пространстве.

a) Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

¯

В самом деле, если они линейно зависимы, то один из них линейно выражается через другой: a¯ = λb, òî åñòü îíè

пропорциональны, то есть коллинеарны.

¯

Если они коллинеарны, то они пропорциональны: a¯ = λb, то есть один из них линейно выражается через другой, что

означает линейную зависимость.

b) Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

¯

В самом деле, если они линейно зависимы, то один из них линейно выражается через два других: a¯ = λb + µc¯, òî åñòü

¯

вектор a¯ лежит в той же плоскости, что и векторы b è c¯, то есть векторы компланарны.

Пусть они компланарны. Если два из них коллинеарны, то эти два вектора линейно зависимы, а тогда и все три будут линейно зависимы (мы недавно доказали это). Пусть никакие два из них не коллинеарны. Дальнейшее рассуждение легче проводить на чертеже, поэтому я отложу его до лекции.

7. Базис линейного пространства.

Упорядоченный набор векторов Á={e1, e2, . . . en} линейного пространства L называется базисом, если выполнены два

условия:

1) эти векторы линейно независимы;

2) любой вектор пространства L можно линейно выразить через эти векторы.

8. Разложение вектора по базису и единственность этого разложения.

Теорема. Любой вектор линейного пространства L может быть линейно выражен через векторы базиса, причем единственным

образом.

Доказательство. При нашем определении базиса первое утверждение доказывать не нужно, докажем единственность.

Пусть x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen = y1e1 + y2e2 + . . . + ynen, тогда (x1 − y1)e1 + (x2 − y2)e2 + . . . + (xn − yn)en = 0,

а поскольку векторы базиса линейно независимы, только тривиальная их комбинация равна нулевому вектору, то есть x1 − y1 = x2 − y2 = . . . = xn − yn = 0. Отсюда следует единственность.

Коэффициенты разложения вектора x по базису Á называются координатами вектора в базисе Á.

9. Размерность линейного пространства.

Оказывается, если в линейном пространстве выбрать не один, а два базиса, то хотя сами векторы этих базисов могут быть совершенно разными, в этих базисах есть что-то общее; это общее сколько векторов входит в каждый из них (доказывать

этот факт Вам не нужно). Число векторов в (любом) базисе называется размерностью линейного пространства L.

10.Базисы в пространствах геометрических векторов.

a)В одномерном геометрическом пространстве любой ненулевой вектор a¯ образует базис, так как, во-первых, ненулевой вектор образует линейно независимую систему, а во-вторых, поскольку все векторы в этом пространстве коллинеарны, любой вектор может быть линейно выражен через a¯. Итак, размерность одномерного геометрического пространства

равна 1.

b) В двухмерном геометрическом пространстве любой набор из двух неколлинеарных векторов является базисом. Итак, размерность двухмерного геометрического пространства равна 2.

c) В трехмерном геометрическом пространстве любой набор из трех некомпланарных векторов является базисом. Итак, размерность трехмерного геометрического пространства равна 3.

14

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003

Л.7. Системы дифференциальных уравнений.

Нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка, ее решения.

Сведение дифференциального уравнения n-го порядка к нормальной системе дифференциальных уравнений первого

порядка.

Постановка задачи Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Частное и общее решение нормальной системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Решение системы дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных.

Использование преобразования Лапласа для решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффицикнтами.

Нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка, ее решения. Сведение дифференциального уравнения n-го порядка к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Пусть x независимая переменная, а y1(x), y2(x), . . ., yn(x) неизвестные функции этой переменной, про которые известно, что они удовлетворяют системе уравнений вида

Такая система и называется нормальной. Кстати, этот термин применим только к системе д.у. 1-го порядка.

Покажем, как дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно

свести к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Итак, пусть дано уравнение

Введем новые функции y1 = y, y2 = y0, y3 = y00, . . ., yn = y(n−1). Тогда данное д.у. оказывается равносильным системе

:

Постановка задачи Коши.

Далее, если надо было решить задачу Коши для д.у. n-го порядка:

>

>

>

:

то она естественным образом переходит в то, что также называется задачей Коши, но уже для системы д.у. 1-го порядка:

8

> y1(x0) = y10

>

>

> y2(x0) = y20

<

y3(x0) = y30

>

> · · · · · ·

>

>

: yn(x0) = yn0

По понятным причинам я переобозначил правые части в соответствии с ситуацией.

Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Если правые части нормальной системы д.у. 1-го порядка непрерывны вместе с первыми производными по аргументам

y1, y2, . . ., yn в некоторой окрестности точки (x0, y10, . . . , yn0), то найдется окрестность точки x0, в которой существует решение задачи Коши. Кроме того, оно единственно.

Частное и общее решение нормальной системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Частное решение системы д.у. это набор функций (y1, y2, . . . , yn), которые при подстановке в эту систему обращают каждое уравнение системы в тождество.

15

Общее решение системы д.у. 1-го порядка это набор функций y1 = Φ1(x, C1, C2, . . . , Cn), y2 = Φ2(x, C1, C2, . . . , Cn),

. . ., yn = Φn(x, C1, C2, . . . , Cn), которые при каждом наборе (C1, C2, . . . , Cn) дают частное решение, и каждое частное решение может быть записано в таком виде.

Решение системы дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных.

Это означает, что мы собираемся идти путем, обратным к тому, по которому мы шли, когда сводили д.у. n-го порядка к системе. Проще всего разобраться в этом на примере. На экзамене можете поступить также, только пример придумайте

Использование преобразования Лапласа для решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами.

Пусть нам дана система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

y10 + ay1 + by2 = 0 y20 + cy1 + dy2 = 0

èначальные условия y1(0) = α; y2(0) = β. Конечно, здесь dy2 не дифференциал функции y2, а некоторая константа d,

умноженная на y2. Рассматривая y1 è y2 как оригиналы, обозначим их изображения буквами Y1(p) è Y2(p). По теореме о дифференцировании оригинала имеем y10 =. pY1(p) − α; y20 =. pY2(p) − β. В силу линейности преобразования Лапласа

получаем систему уравнений для Y1 è Y2

pY1(p) − α + aY1 + bY2 = 0 pY2(p) − β + cY1 + dY2 = 0

Решив эту систему (уже не дифференциальных, а алгебраических) уравнений тем или иным способом (методом исключения неизвестных, методом Гаусса, методом Крамера, матричным методом), находим функции Y1 è Y2, после чего с помощью

свойств преобразования Лапласа и таблицы оригиналов и изображений возвращаемся к y1 è y2, получая тем самым

решение системы.

Точно такие же рассуждения позволяют решить систему линейных неоднородных д.у., если, конечно, мы можем найти изображения функций, входящих в систему.

первоначальной системы.

16

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003; shurik-f.narod.ru

Л.8. Числовые ряды.

Числовой ряд. Частичные суммы ряда. Пусть a1, a2, . . ., an, . . . числа. Составим из них выражение

a1 + a2 + . . . + an + . . . ,

называемое рядом (оно отличается от написанной выше последовательности тем, что вместо запятых мы пишем знак суммирования). Надо подчеркнуть, что это выражение вовсе не означает, что мы собираемся тут же следовать написанному и до посинения добавлять и добавлять все новые и новые слагаемые, хотя в принципе намек на это несомненно есть. Иногда ряд записывают короче:

+∞

X

an

n=1

Числа a1, a2, . . ., an, . . . называются членами ряда, а для каждого натурального n сумма Sn первых n членов ряда называется его n-é частичной суммой:

Sn = a1 + a2 + . . . + an

Таким образом, частичная сумма это результат попытки хотя бы частично просуммировать члены ряда. Довести эту процедуру до логического конца невозможно по причине бесконечности процесса и конечности нашей жизни, однако при определенных обстоятельствах, о которых речь ниже, некоторую информацию о том, чем могла бы закончиться эта процедура, живи мы бесконечно долго, мы получить можем.

Полезной является следующая простая формула: при n > 1

Sn = Sn−1 + an

Запишем ее еще в таком виде:

an = Sn − Sn−1

Сходящиеся и расходящиеся ряды. Примеры сходящихся и расходящихся рядов.

Ряд называется сходящимся, если существует число S, являющееся пределом его частичных сумм:

S = lim Sn.

n→+∞

Это число называется суммой ряда, а про ряд говорят, что он сходится к S. Åñëè конечный предел частичных сумм не

существует, то ряд называется расходящимся. При этом, если частичные суммы стремятся к бесконечности, то говорят, что ряд расходится к бесконечности . Если же предел частичных сумм, конечный или бесконечный, не существует, то ряд называется просто расходящимся.

Примеры. Всюду в примерах мы указываем общий вид члена ряда. Чтобы получать конкретные члены ряда, надо вместо n подставлять конкретные числа.

1. an = 0. Итак, все члены этого ряда равны нулю, а тогда и частичные суммы равны нулю, а вместе с ними и сумма ряда. Таким образом, этот ряд сходится к нулю.

2. an = 1. В этом случае Sn = n, и поэтому ряд расходится к бесконечности.

3. an = (−1)n. Иными словами, a1 = (−1)1 = −1; a2 = (−1)2 = 1, a3 снова равен −1, и т. д. Поэтому S1 = a1 = −1;

S2 = S1 + a2 = −1 + 1 = 0; S3 = S2 + a3 = 0 − 1 = −1, и т. д. Поэтому предел частичных сумм не существует, и ряд расходится.

b0 − b0 + . . . ± b0 . . ., который расходится. Если |q| > 1, òî åñòü q (−∞; −1) (1; +∞), òî lim Sn = ∞, то есть ряд расходится к бесконечности.

17

называется и сумма этого ряда, если она существует. В этом случае она обозначается так: Rn. Очевидной является формула

S = Sn + Rn.

Ясно, что ряд и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно. Ясно также, что ряд сходится тогда и только тогда, когда

lim Rn = 0.

n→+∞

Необходимый признак сходимости.

Для того, чтобы ряд сходился, необходимо (но не достаточно!!), чтобы общий член рядя стремился к нулю. Иными словами,

Это же утверждение можно сформулировать, перейдя к противоположным утверждениям; в результате из необходимого признака сходимости получаем

Достаточный признак расходимости :

lim an 6= 0 ряд расходится

n→+∞

Подчеркнем еще раз. Если ряд сходится, то общий член, как мы доказали, обязан стремиться к нулю. Однако в обратную сторону этим признаком пользоваться нельзя. Иными словами, возможна ситуация, когда общий член ряда стремится к нулю, а ряд между тем расходится. Пример такого ряда будет приведен на следующей лекции (это так называемый гармонический ряд). Неутешительный для многих итог: не стоит полагаться в теории рядов на житейскую интуицию, которая вроде бы подсказывает, что если каждый раз делать шаг все меньше и меньше, то в бесконечность уйти не удастся. Еще как некоторым удается!

Действия с рядами: сложение рядов, умножение ряда на число. Имеются в виду следующие элементарные свойства:

В дополнение ко всему простое, но очень полезное утверждение.

Утверждение. Если у ряда изменить, отбросить или добавить конечное число членов, то измененный ряд будет сходиться или расходиться в зависимости от того, сходится или расходится исходный ряд.

Вышеприведенное утверждение об остатках ряда есть частный случай этого утверждения. Докажем, например, его

Задача. Доказать это утверждение самостоятельно для случаев:

1. в расходящемся ряде a1 изменен; 2. к сходящемуся ряду добавлен в начале лишний член; 3. от сходящегося ряда

отброшен первый член; 4. в расходящемся ряде поменяли местами первые два члена; 5. придумайте сами, чтобы еще сделать с сходящимся или расходящимся рядом.

18

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003; shurik-f.narod.ru

Л.9. Положительные числовые ряды.

Ряды с положительными членами. Признак сравнения и его предельная форма.

Пусть теперь второй ряд сходится. Тогда первый ряд обязан сходиться, так как в противном случае по доказанному выше второй ряд расходился бы.

Признак сравнения в предельной форме. Пусть для всех n выполнено an ≥ 0; bn > 0, причем существует конечный

lim an = C.

n→+∞ bn

PP

взять (D + 1)/2). Пользуясь определением предела последовательности, можем утверждать, что найдется такое N, что для всех n, больших N, дробь an+1/an будет настолько близка к D, что окажется левее E. Для простоты душевной будем

считать, что неравенство an+1 < E < 1 справедливо при всех n, мы ведь помним, что первые члены ряда не влияют

an

на сходимость или расходимость ряда, поэтому их можно изменить так, чтобы нужное неравенство было справедливо всегда.

Итак, для всех n имеем an+1 < Ean. Подставляя в это неравенство n = 1, получаем a2 < Ea1; подставляя n = 2, получаем a3 < Ea2 < E2a1, и вообще для произвольного n получаем an < En−1a1. Обозначим En−1a1 через bn. Тогда

an < bn, причем второй ряд сходится, поскольку bn образуют геометрическую прогрессию со знаменателем E < 1.

Следовательно, ряд P

an сходится по признаку сравнения.

Пусть теперь D > 1. Рассуждение тогда еще проще: раз предел an+1 больше единицы, то начиная с некоторого

an

номера и сама эта дробь будет больше единицы, а тогда с этого номера будет выполнено an+1 > an. Таким образом,

начиная с некоторого номера члены ряда образуют возрастающую последовательность, состоящую из положительных членов, и поэтому ну никак не могут стремиться к нулю, чего настоятельно требует необходимый признак сходимости от любого уважающего себя (то есть сходящегося) ряда. Поэтому наш ряд расходится.

Åñëè D = 1, то признак не работает. Для доказательства этого достаточно привести два примера.

Пример 1. an = 1/n; тогда lim an+1/an = 1 (докажите это!), а ряд расходится (про этот ряд см. конец лекции). Пример 2. an = 1/n2; тогда lim an+1/an = 1 (докажите это!), а ряд сходится (про этот ряд также см. конец лекции).

(Радикальный) Признак Коши. Пусть для всех n выполнено an ≥ 0, причем существует предел

√

lim n an = K.

n→+∞

19

Задача. Доказать этот признак самостоятельно, применив тот же прием, что и при доказательстве признака Даламбера. Кстати, для доказательства того, что и признак Коши не всесилен, годятся те же примеры, которые показали ограниченность сферы применения признака Даламбера. В умных книжках доказывают, что признак Коши немного сильней признака Даламбера, хотя по большому счету область применения этих признаков одна и та же: это ряды, которые убывают не медленнее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы. Если же члены ряда убывают медленнее, то на помощь приходит еще один признак сходимости. Правда, область применения нового признака тоже очень ограничена: этот признак обслуживает только монотонные ряды.

an ≤ f(x) dx ≤ an

площади прямоугольника, равной произведению основания (равного единице) на высоту (равную a1). Тем самым получается неравенство R12 f(x) dx ≤ a1 Аналогично доказываем, что R23 f(x) dx ≤ a2, и так далее. Просуммировав интегралы и члены

∞∞

ряда, получаем неравенство R f(x) dx ≤ P an. Чтобы доказать левое неравенство, поступаем совершенно аналогично, но

1n=1

над отрезком [1; 2] берем прямоугольник высотой не a1, à a2; тогда прямоугольник окажется внутри трапеции, и поэтому

2

R

его площадь, равная a2, будет не больше, чем f(x) dx. Доказательство завершайте сами.

1

Гармонический ряд. Так называется ряд

1 + 12 + 13 + . . . + n1 + . . . ,

состоящий из чисел, обратных к натуральным. Нормальная реакция неиспорченного математикой человека конечно, этот ряд сходится, ведь мы добавляем с каждым разом все меньше и меньше. Однако аккуратное рассуждение показывает:

Гармонический ряд расходится.

Конечно, как всякий положительный ряд, расходится он к бесконечности. Докажем это с помощью интегрального признака. Рассмотрим функцию f(x) = 1/x; она монотонна и f(n) = an = 1/n. Поэтому интегральный признак применить

Если p > 1, то ряд сходится, что проще всего доказать с помощью интегрального признака. Проделайте это самостоятельно. Таким образом, если p > 1, то ряд Дирихле сходится, а если p ≤ 1, то расходится.

20