Математический анализ. Лекции. / semestr4

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003; shurik-f.narod.ru

Л.10. Произвольные числовые ряды.

Ряды с произвольные членами. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд, в котором есть как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным рядом (не путать со знакочередующимся рядом, речь о котором ниже). Сложность ситуации в этом случае (в отличие от положительных рядов) состоит в том, что последовательность частичных сумм теперь не обязана возрастать; если положительные ряды могли только или сходиться, или расходиться к бесконечности, то произвольные ряды могут и просто расходиться

(пример: ряд 1 − 1 + 1 − 1 + . . .). Более того, если сходимость положительного ряда является следствием того, что общий

член достаточно быстро стремится к нулю (не просто стремится к нулю, а достаточно быстро; вспомните гармонический ряд, у которого общий член стремится к нулю, но, как оказывается, недостаточно быстро), то произвольный ряд может сходиться, даже если общий член ряда крайне медленно стремится к нулю (не ищите точного математического смысла в этом термине). Можно доказать, что если некоторая последовательность чисел стремится к нулю, причем абсолютно неважно, насколько быстро, то между ними можно расставить знаки так, что получившийся ряд будет сходиться.

Чтобы разобраться во всем этом, нам нужно ввести два понятия.

Если рассуждать чисто логически, надо рассмотреть следующие четыре случая.

Проще всего с третьей ситуацией: она в точности описывается термином условная сходимость . Кстати, сам термин намекает на наше скептическое отношение к такого рода сходимости: вроде бы ряд сходится, но сходится натужно,условно ; можно сказать, что такой ряд сходится из-за того, что члены ряда ведут себя примерно как рак и щука ; а вот когда они объединяют свои усилия и начинают тянуть в одну сторону, сумма оказывается бесконечностью.

Чтобы разобраться с остальными случаями, докажем теорему.

Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Если сходится ряд из модулей, то и сам ряд сходится.

Таким образом, мы утверждаем, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость.

Доказательство. Пусть M и N суммы положительных слагаемых ряда и модулей отрицательных слагаемых соответственно. Тогда сумма ряда из модулей всех членов ряда равна M + N; поскольку по предположению ряд сходится абсолютно,

P

M +N конечное число, следовательно, M и N тоже конечные числа. Возвращаясь к ряду что сумма этого ряда конечна и равна M − N.

Из этой теоремы следует, что четвертая ситуация невозможна, а первая в точности описывается термином абсолютная сходимость . Про вторую можно сказать короче: ряд расходится, не упоминая, что ряд из модулей также расходится: он будет расходиться автоматически (так как если бы он сходился, то по теореме о сходимости абсолютно сходящегося ряда сам ряд также бы сходился).

Возвращаемся к условно сходящимся рядам. Поскольку ряд из модулей в этом случае расходится, M +N = ∞. Какими

могут быть тогда M è N? Если они конечны, то это означает абсолютную сходимость. Если M = ∞, à N является

конечным числом (или наоборот), то это означает что в одну сторону суммарно мы сдвигаемся бесконечно далеко, а в другую на конечный отрезок, следовательно, ряд будет расходиться к бесконечности. И только если M = N = ∞,

n . То, что ряд из модулей расходится, очевидно ведь получается гармонический ряд. То, что сам ряд сходится (и тем самым сходится условно), Вы чуть позже сможете доказать самостоятельно с помощью признака Лейбница.

Свойства сходящихся и абсолютно сходящихся рядов.

Это свойство очень легко доказывается (примерно так же, как и аналогичное свойство для определенных интегралов): надо перейти к пределу в равенстве, связывающем частичные суммы рядов.

21

2.(Это свойство я уже приводил в конце 8-й лекции; сейчас я его записываю для полноты коллекции). Если у ряда изменить, отбросить или добавить конечное число членов, то измененный ряд будет сходиться или расходиться в зависимости от того, сходится или расходится первоначальный ряд.

Далее свойства абсолютно сходящихся рядов; на условно сходящиеся рядов они не переносятся!

3.Если произвольным образом переставить местами члены абсолютно сходящегося ряда, то он не перестанет быть абсолютно сходящимся рядом с той же самой суммой.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

Знакочередующимся называется ряд, у которого соседние члены имеют разные знаки. Считая, что первый член ряда больше нуля, можем записать ряд в виде

c1 − c2 + c3 − . . . ,

ãäå c1, c2, . . . положительные числа.

Конечно, такие ряды могут расходиться, но сходящиеся среди них встречаются чаще , чем среди положительных: ведь знакочередующийся ряд может сходиться условно, то есть из-за того, что происходит взаимное погашение положительных и отрицательных слагаемых. Признак Лейбница, о котором сейчас будет идти речь, дает достаточные условия сходимости знакочередующегося ряда.

Признак Лейбница. Предположим, что последовательность 1. она монотонно убывает (то есть c1 > c2 > c3 > . . .);

2. lim cn = 0.

n→+∞

Тогда знакочередующийся ряд c1 − c2 + c3 − . . . + (−1)n+1cn + . . . сходится.

Короче этот признак можно сформулировать так: знакочередующийся ряд, общий член которого по абсолютной величине монотонно стремится к нулю, сходится. Конечно, в этом признаке не утверждается, что исследуемый ряд будет сходиться абсолютно, хотя не утверждается и обратное; образно говоря, признак гарантирует, что исследуемый знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям 1 2, сходится как минимум условно.

Доказательство. Изображаем частичные суммы ряда на числовой прямой. Так как мы предположили, что c1 > 0, первая частичная сумма S1 = c1 находится справа от нуля. Так как c1 > c2 > 0, вторая частичная сумма S2 = c1 − c2 будет находиться слева от S1, но справа от нуля. Далее, при переходе от S2 к S3 мы снова делаем шаг вправо, но меньший, чем перед этим шаг налево. Поэтому S3 будет находиться между S2 и S1. Аналогично доказываем, что S4 находится

между S2 и S3. Таким образом, частичные суммы с четными номерами образуют возрастающую последовательность, а частичные суммы с нечетными номерами убывающую:

S2 < S4 < . . . < . . . < S3 < S1

Образное сравнение: навстречу друг другу несутся два поезда, причем расстояние между ними стремится к нулю: S2n−1 − S2n = c2n → 0. Вывод: где-то эти поезда встретятся, а у наших частичных сумм, что четных, что нечетных, один и тот

же предел. Этот предел будет пределом всей последовательности частичных сумм, что и доказывает, что ряд сходится. Кстати, иногда ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница, называется рядом Лейбница. Тогда признак

Лейбница может быть сформулирован так:

Ряд Лейбница сходится.

+∞

Заканчивая лекцию, дадим оценку остатка ряда Лейбница. Напоминание. Остатком ðÿäà P an называется ряд,

n=1

полученный из первоначального отбрасыванием первых n членов (то есть тех, которые входят в Sn):

+∞

X

ak,

k=n+1

а также сумма этого ряда. Ясно, что если ряд сходится (к числу S), а Rn обозначение его n-го остатка, то Sn + Rn = S,

поэтому остаток сходящегося ряда стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности. В случае ряда Лейбница про остаток ряда можно утверждать также следующее:

|Rn| < cn+1

Иными словами, остаток Rn ряда Лейбница по модулю меньше модуля первого отброшенного члена. Задача. Доказать последнее утверждение самостоятельно.

22

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003; shurik-f.narod.ru

Л.11. Функциональные ряды.

Функциональный ряд. Область сходимости.

Ðÿä

u1(x) + u2(x) + . . . + un(x) + . . . ,

состоящий из функций, называется функциональным рядом. Нужно ли относиться к этому понятию как принципиально новому? По большому счету нет. В самом деле, пусть какое-то конкретное число x входит в области определения всех функций, образующих функциональный ряд (естественно, рассматривая какой-то функциональный ряд, мы предполагаем, что такие x существуют; множество всех таких x будем называть областью определения функционального ряда). Подставляя

ýòîò x во все функции, получаем уже числовой ряд. Поэтому к функциональному ряду нужно относиться как к множеству

числовых рядов, полученных путем подстановки во все функции всевозможных x из области определения ряда. Естественно, часть из этих рядов может сходиться (какие-то абсолютно, какие-то условно), часть расходиться (часть к бесконечности, часть просто расходиться). Множество x из области определения ряда, для которых получающийся числовой ряд сходится, называется функционального ряда. Мы говорим также, что ряд сходится в своей области сходимости. Поскольку для различных x из области сходимости сумма ряда может получаться разной, зависящей

тем самым от x, сумма функционального ряда является функцией (обозначим ее через S(x)), определенной на области сходимости этого ряда. Естественно частичные суммы функционального ряда обозначить через Sn(x).

Правильная сходимость функционального ряда.

В серьезных курсах, посвященных изучению функциональных рядов, обязательно рассматривают так называемую равномерную сходимость. Наш курс особо серьезным не назовешь, и изучать равномерную сходимость мы не будем. Вместо этого мы введем так называемую правильную сходимость, которая проще для понимания и которой почти всегда хватает. Заметим, что правильная сходимость является частным случаем равномерной сходимости.

Говорят, что функциональный ряд u1(x) + u2(x) + . . . + un(x) + . . . сходится правильно на множестве D (естественно, лежащем в области сходимости ряда), если существует положительный сходящийся числовой ряд c1 + c2 + . . . + cn + . . .

такой, что для каждого x D è n N выполнено

|un(x)| ≤ cn.

Смысл этого понятия состоит в том, что с помощью ряда P

cn мы контролируем скорость убывания членов функционального ряда сразу для всех x D. Какие полезные выводы можно сделать, если есть правильная сходимость, мы узнаем совсем

скоро, но сначала пример, когда правильной сходимости нет, и это приводит к прискорбным последствиям.

Пример. D = [0; 1]; u1(x) = x; u2(x) = x2 −x; u3(x) = x3 −x2; . . .; un(x) = xn −xn−1; . . .. Тогда Sn(x) = u1(x) + u2(x) +

. . . un(x) = x + x2 − x + x3 − x2 + . . . xn − xn−1 = xn. Следовательно,

Таким, образом, сумма ряда оказалась разрывной функцией несмотря на то, что все функции, составляющие функциональный ряд, непрерывны. Такого не может быть, если ряд сходится правильно. Попробуйте непосредственно доказать неправильную сходимость этого ряда.

Непрерывность суммы правильно сходящегося ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

1. Сумма правильно сходящегося на множестве D функционального ряда, состоящего из непрерывных функций, является непрерывной на D функцией.

2. Если функции un(x) непрерывны на отрезке [a, b], причем ряд из этих функций сходится правильно на [a, b], òî ðÿä

суммы первоначального ряда:

S0(x) = u01(x) + u02(x) + . . . u0n(x) + . . .

23

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003; shurik-f.narod.ru

Изучение произвольного степенного ряда можно всегда свести к изучению этого более простого ряда: для этого нужно сделать замену x − a = t. Давайте так и поступим.

Первое простое наблюдение: такой ряд всегда сходится как минимум в одной точке: при x = 0, получается ряд

c0 + 0 + 0 + . . .. Как оказывается, иногда область сходимости на этом исчерпывается, иногда ряд сходится на всей

числовой прямой, бывают и промежуточные варианты. На вопрос, насколько сложной может быть область сходимости степенного ряда, отвечает теорема Абеля.

Теорема Абеля. Если ряд (4) сходится в точке x0, то он сходится (причем абсолютно) во всех точках, находящихся на более близком расстоянии от начала координат, чем точка x0.

Иными словами, если |x| < |x0|, то в точке x ряд сходится. Задача. Сформулировать теорему Абеля для ряда (3).

Для простоты докажем эту теорему в предположении, что в точке x0 ряд сходится абсолютно. Собственно говоря, в этом случае и доказывать нечего: абсолютная сходимость в точке x мгновенно следует из признака сравнения: |cnxn| =

|cn| · |x|n ≤ |cn| · |x0|n = |cnxn0 |. Желающие могут найти доказательство в общем случае в умных книжках или же попробовать доказать самостоятельно. Между прочим, это не так уж и сложно.

Простое следствие из теоремы Абеля: если ряд (4) расходится в точке x0, то он расходится во всех точках, находящихся на большем расстоянии от начала координат, чем x0. Продумайте самостоятельно это утверждение.

Вывод. Область сходимости степенного ряда (4) может быть только следующей: {0}, (−∞; +∞); [−R; R], (−R; R),

(−R; R] èëè [−R; R). При подготовке к экзамену попробуйте придумать примеры таких рядов. Считая точку отрезком

нулевой длины, а числовую прямую интервалом бесконечной длины, видим, что область сходимости всегда задается числом R (условно будем считать, что бесконечность также является числом) таким, что интервал (−R; R) входит в нее,

интервалы (−∞; −R) è (R; +∞) не входят, а концевые точки могут как входить, так и не входить.

Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Нахождение радиуса сходимости. Область сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости степенного ряда это то самое число R, о котором шла речь в предыдущем абзаце. Немного повторяясь, можно сказать, что радиус сходимости это такое число R, ÷òî åñëè |x| < R, то ряд сходится, а если |x| > R, то расходится. Интервал (−R; R) называется интервалом сходимости. Таким образом, область сходимости и интервал сходимости это почти одно и то же, да не совсем: концевые точки −R è R могут входить в область сходимости (одна

что вообще говоря D зависит от x. Если этот предел существует (а он может не существовать по разным причинам, например, из-за того, что коэффициенты ряда периодически, или, что еще хуже, непериодически, обращаются в ноль, из-за чего (периодически или непериодически) возникают проблемы с делением на ноль), то почти про все x можно

Рассуждая аналогично (используя признак Коши), получаем еще один способ нахождения радиуса сходимости:

1 R = lim p

n |cn|

Правильная сходимость степенного ряда на любом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости.

Теорема. Степенной ряд сходится правильно на любом отрезке, целиком лежащем в интервале сходимости.

24

Внимание! Здесь говорится об отрезке, лежащем в интервале сходимости, а не в области сходимости. Этим подчеркивается, что при приближении к концевым точкам ряд может вести себя все хуже и хуже (сходиться все натужнее). То, что мы не имеем права приближаться к концевым точкам сколь угодно близко, в доказательстве используется самым непосредственным образом.

Доказательство. Пусть требуется доказать правильную сходимость на отрезке

правильную сходимость на отрезке [−a; a].

Возникает естественный вопрос, так ли уж важно, чтобы между отрезком [−a; a] и концевыми точками оставался

зазор, или это требуется только при нашем способе доказательства? Иными словами, обязана ли быть правильная сходимость на всей области сходимости или хотя бы на интервале сходимости? Ответом на это может послужить следующий пример. Рассмотрим (надеюсь всем известный) ряд Pxn/n, радиус сходимости которого равен единице,

а область сходимости является полуинтервалом [−1; 1). Если взять отрезок [−1; a] при любом a (−1; 1), то на нем максимальное значение модуля n-го члена равно 1/n, а ряд из этих чисел расходится (ведь это же знаменитый гармонический

ряд!), и поэтому наш ряд не может сходиться правильно; нет правильной сходимости и на интервале (−1; 1). Следующий вопрос, который может возникнуть: может быть, правильной сходимости на всей области сходимости нет

членами сходится.

Очень важное следствие из этой теоремы, которое заслуживает того, чтобы его тоже называть теоремой. Теорема. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией всюду в области сходимости этого ряда.

Подчеркнем, теорема говорит о непрерывности даже в концевых точках (конечно, если там ряд сходится). Впрочем, доказательство мы проведем только для точек интервала сходимости.

Итак, пусть точка x0 лежит в интервале сходимости. Рассмотрим отрезок [−a; a] такой, что точка x0 лежит внутри

его, а сам он целиком лежит в интервале сходимости. По только что доказанной теореме на этом отрезке есть правильная сходимость, а поскольку степенные функции суть функции непрерывные, то по теореме из предыдущей лекции сумма ряда является функцией непрерывной.

Между прочим, смотрите, как интересно: на всем интервале сходимости правильной сходимости может не быть, однако непрерывной сумма степенного ряда на интервале сходимости будет всегда!

p

если существует предел lim n |cn|; как Вы уже конечно сообразили, в первом случае при доказательстве используется признак Даламбера, а во втором признак Коши); в общем случае доказательство сложнее.

Обозначим радиусы сходимости исходного ряда и ряда из производных через R1 è R2 соответственно. Если исходный

ðÿä èìåë âèä Pcnxn, то продифференцированный Pncnxn−1, тогда

Доказательство завершено.

Из теорем о почленном интегрировании и почленном дифференцировании правильно сходящегося функционального ряда следуют аналогичные теоремы для степенных рядов.

Теорема. В интервале сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать.

Наиболее красивая формулировка звучит так: для любого x из интервала сходимости ряда Pcnxn с суммой S(x) ðÿä

− ln(1 − x).

Теорема. В интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать.

Пример. Дифференцируя ряд из предыдущего примера, получаем, что сумма ряда 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . равна

1/(1 − x)2.

Замечание. Поскольку любой степенной ряд можно почленно продифференцировать без изменения интервала сходимости, никто не может нам помешать повторить эту приятную процедуру дюбое число раз. Таким образом, сумма степенного ряда является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости ряда.

25

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003; shurik-f.narod.ru

Л.13. Ряд Тейлора.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Аналогичный вывод можно сделать относительно любого многочлена: если P (x) = c0 + c1x + c2x2 + . . . + cnxn, òî

Для тех, кто забыл, напоминаю, что n! это не эн восклицательный знак , а n-факториал , то есть произведение натуральных чисел от 1 äî n:

n! = 1 · 2 · . . . · n

Возникает естественный вопрос: что же, производные в нуле важнее, чем в других точках? Можно ли представить многочлен в таком виде, чтобы использовались производные не в нуле, а в какой-то другой точке x0? Оказывается,

Пусть нам дана функция f(x), которую мы хотим в окрестности точки x0 хотя бы приближенно представить в виде

многочлена. Если про функцию известно лишь, что она непрерывна, то таким приближением служит значение функции в этой точке:

f(x) ≈ f(x0);

геометрически это означает, что график функции f(x) в окрестности точки x0 мы приближаем горизонтальной прямой y = f(x0). Если непрерывна не только сама функция, но и ее первая производная, то можно приблизить функцию точнее,

если проводить не горизонтальную прямую, а касательную к графику в точке x0, которая, как известно, имеет уравнение y = f(x0) + f0(x0)(x − x0). Таким образом, получаем более точное приближение нашей функции:

f(x) ≈ f(x0) + f0(x0)(x − x0).

Кстати, можно получить не приближенное, а абсолютно точное выражение функции f(x) с помощью производной; для этого надо применить теорему Лагранжа (помните, во втором семестре у Вас были Ролль-Лагранж-Коши?):

f(x) = f(x0) + f0(ξ)(x − x0),

ãäå ξ некоторая точка, лежащая между x0 è x. Конечно, если мы меняем точку x, точка ξ также меняется.

Будем считать, что наши попытки приблизить функцию многочленом продолжались бесконечно долго и в конце концов завершились успехом. В результате наша функция оказывается суммой некоторого степенного ряда:

f(x) = c0 + c1(x − x0) + c2(x − x0)2 + c3(x − x0)3 + . . . + cn(x − x0)n + . . .

Чему равны коэффициенты cn? Рассуждение повторяет то, которое было в начале лекции. Подставляем вместо x число

x0, в результате все слагаемые, за исключением первого, обратятся в ноль. Следовательно, f(x0) = c0. Дифференцируя ряд (помните, на прошлой лекции мы говорили о возможности дифференцирования степенного ряда?), получаем

f0(x) = c1 + 2c2(x − x0) + 3c3(x − x0)2 + . . . + ncn(x − x0)n−1 + (n + 1)cn+1(x − x0)n + . . .

Поэтому f0(x0) = c1. Аналогично, сосчитав n-ю производную и подставив в нее x0, получаем f(n)(x0) = n! · cn.

Итак, если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (x − x0), то это разложение обязательно следующее:

Но пусть ряд пока подождет; разберемся сначала с конечными суммами. Предположим, что функция f(x) в точке x0

26

Естественно, хочется надеяться, что эта сумма мало отличается от функции f(x), хотя бы в очень маленькой окрестности x0, но в общем случае это утверждать нельзя. Независимо от этого, если разность между f(x) è Tn(x) обозначить через Rn(x), получается формула

f(x) = Tn + Rn

Эта формула называется формулой Тейлора для функции f(x), Tn(x) многочленом Тейлора, а Rn(x) остаточным

членом. Тем самым задачу определения близости многочлена Тейлора к функции, его породившей, мы свели к исследованию остаточного члена. Помогает этому исследованию нижеследующая теорема, приводимая без доказательства.

Теорема. Если в некоторой окрестности точки x0 функция f(x) имеет (n + 1)-ю производную, то остаточный член формулы Тейлора для точек этого интервала может быть записан в виде

f(n+1)(ξ)

Rn(x) = (n + 1)! (x − x0)n+1,

ãäå ξ некоторая точка, лежащая между x0 è x.

Остаточный член, записанный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа. Естественно, для каждого x точка ξ, вообще говоря, своя. Обратите внимание, что остаточный член в форме Лагранжа имеет форму,

аналогичную всем членам многочлена Тейлора, только производная считается не в точке x0, а в некоторой другой точке.

Ряд Тейлора и Маклорена.

Пусть дана функция f(x), имеющая в точке x0 производные âñåõ порядков. Тогда мы можем составить степенной ряд

который называется рядом Тейлора функции f(x) по степеням (x − x0). В частном случае, когда x0 = 0, ряд Тейлора

называется еще рядом Маклорена. Конечно, ряд Тейлора вводится для того, чтобы можно было сколь угодно точно приближать функцию, рассматривая ее многогчлен Тейлора сколь угодно высокой степени. Однако ситуация здесь очень запутанная. А именно, если не накладывать на функцию никаких условий, кроме наличия всех производных, то гарантировать, что ее ряд Тейлора сходится именно к ней, а не к какой-то другой функции, нельзя. Можно построить пример функции (ненулевой), у которой все производные в нуле (и она сама) равны нулю, ряд Тейлора которой тем самым состоит из одних нулей и поэтому сходится к нулевой функции. Возможна также ситуация, когда ряд Тейлора

функции расходится во всех точках, кроме x0. Все эти вопросы выходят за пределы нашего курса.

Условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Сначала очевидное утверждение.

Утверждение, гордо именуемое критерием разложимости функции в ряд Тейлора. Ряд Тейлора функции f(x)

сходится к f(x) тогда и только тогда, когда остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю. Более содержательными являются такой разложимости.

Теорема. Если существуют окрестность точки x0 и число C, такие, что все производные функции f(x) существуют в этой окрестности и в этой окрестности по абсолютной величине не превосходят C, то ряд Тейлора сходится к f(x) â

обозначим для простоты |x − x0| через a. Åñëè a < 1, то утверждение просто очевидно, поскольку тогда числитель стремится к нулю (а знаменатель стремится к бесконечности), и поэтому дробь и подавно стремится к нулю. Если

a = 1, то дробь стремится к нулю из-за стремления знаменателя к бесконечности. Если же a > 1, то ситуация сложнее:

к бесконечности стремятся и числитель, и знаменатель, поэтому предел зависит от того, кто стремится к бесконечности“∞” быстрее (если Вы помните, в такой ситуации говорят о наличии неопределенности, в данном случае типа ∞ ). Äëÿ

того, чтобы понять, что в нашем случае предел равен нулю, будем брать сразу достаточно большие n, например, n > 2a;

тогда при переходе от n ê n + 1 числитель дроби умножается на a, а знаменатель на число, большее 2a, тем самым дробь уменьшается более, чем в 2 раза. Надеюсь, что теперь никто не сомневается в утверждении.

Разложение в ряд Маклорена показательной функции, синуса и косинуса. Биномиальный ряд (без исследования остаточного члена).

27

то никаких проблем в разложении этой функции не должно быть, по крайней мере у тех, кто знает бином Ньютона. Напишем несколько общеизвестных формул.

(1 + x)1 = 1 + x; (1 + x)2 = 1 + 2x + x2; (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3.

Для произвольного натурального n имеем:

Оказывается, для α, не являющегося натуральным, справедливо подобное разложение, только тогда оно будет бесконечным.

Называется этот ряд биномиальным рядом. Доказывать, что он сходится к (1 + x)α, мы не будем, принимая это на

веру, а вот интервал сходимости найти можно. Исключаем случай натурального n, когда биномиальный ряд состоит из

конечного числа членов и поэтому сходится к (1 + x)α всюду. Для всех прочих n радиус сходимости равен 1. Пожалуй,

доказательство этого я оставлю Вам в качестве задачи. Разложения, которые нужно знать:

28

ВАВТ; 2 курс; м. ан; весна 2003; shurik-f.narod.ru

Л.14. Приложения степенных рядов.

Приближенное вычисление значений функций и определенных интегралов. Приближенное решение дифференциальных уравнений (на примерах).

Оценка погрешностей.

Приближенное вычисление значений функций.

Пример 1. Вычислим число e с точностью до 10−5. Для этого пишем ряд Тейлора для функции ex:

подставляем в него вместо x единицу:

e = 1 + 1 + 12 + 16 + . . . + n1! + . . . ,

после чего начинаем думать, сколько слагаемых нужно оставить, чтобы добиться нужной точности. Имеем: |Rn(1)| =

Ошибка меньше 9!1 = 0.0000027 . . ., поэтому e (2.718276; 2.71828144). Тем самым мы можем гарантировать четыре правильные цифры после запятой, пятая же может быть как семеркой, так и восьмеркой. Для справки:

e = 2.718281828459045 . . .

.

Как видите, сложнее всего было сделать правильную оценку остатка ряда.

Пример 2. Вычислить число π с точностью до 10−5.

Воспользуемся выписанным на прошлой лекции разложением функции arctg x:

Поскольку этот ряд является рядом Лейбница (знакочередующийся и общий член стремится к нулю), |Rn| меньше модуля

Задача. Довести пример до конца (шутка).

29

Замечание. Существуют ряды, сходящиеся к числу π намного быстрее.

Для справки:

Имеем: