2.2.2 Двойственная задача линейного программирования

Двойственные переменные и их экономический смысл

Стандартная задача линейного программирования в векторной форме имеет вид

, (2.2.1)

, (2.2.2)

.

В развернутой форме

, (2.2.3)

(2.2.4)

Подобные задачи применяются в составлении производственной программы предприятия, ограничения можно отнести к расходу ресурсов, функция цели содержит стоимость продукции или прибыль.

Для подобной задачи можно составить двойственную

. (2.2.5)

, (2.2.6)

.

Такая задача интерпретируется как задача минимизации стоимости ресурсов. Здесь выступает как «теневая цена» ресурса, т.е. цена ресурса для технологии данного предприятия. Л.В. Канторовичем они названы «объективно-обусловленными оценками» («ООО»).

Задача 2.2.2.1. Для изготовления 3 видов продукции используется 2 виды сырья. Составить модель расчета плана, рассчитать оптимальный план из условия максимизации прибыли. Получить решение двойственной задачи.

Таблица 2.1

Сырье	Нормы расхода в кг на единицу продукции			Запасы сырья на складах
1	1	3	5	9
2	2	2	1	5
Прибыль от продукции	3	1	2

Решение.

Предлагается решение симплекс-методом последовательного улучшения плана.

Модель имеет вид

Канонический вид задачи для ограничений

Последовательность симплекс таблиц приводится ниже.

Опорная таблица:

Таблица 2.2

				3	1	2	0	0
	Базис		Ресурсы
№
1		0	9	1	3	5	1	0
2		0	5	2	2	1	0	1
			0	–3	–1	–2	0	0

Симплекс-преобразование в методе последовательного улучшения плана имеет вид

,

где – разрешающий элемент;

– элемент разрешающего столбца;

– элемент разрешающей строки;

– произвольный элемент.

После ввода в базисе , получим

Таблица 2.3

				0	1	2	0	3
№
1		0	13/2	–1/2	2	9/2	1	0
2		3	5/2	1/2	1	1/2	0	1
			15/2	3/2	2	–1/2

В базисе далее заменяется на

Таблица 2.4

№
1		2	13/9	–1/9	4/9	2/9	1	0
2		3	16/9	5/9	7/9	–1/9	0	1
			74/9	13/9	20/9	1/9

Получили оптимальный план ; .

По данной таблице можно найти решение двойственной задачи (в колонке векторов и )