2.1.15 Формула Стокса

Определение. Ротор (вихрь) векторного поля задается следующей формулой:

.

Формула Стокса

П усть дана ориентированная полем единичных нормалей гладкая поверхность в , граница состоит из конечного числа гладких кривых.

Рассмотрим кривую (один из кусков границы). Зададим ориентацию так, чтобы направление обхода было согласовано с вектором нормали. Будем обходить кривую так, что если смотреть на поверхность с конца нормали, то обход границы осуществляется в том же направлении, в каком поворот вектора ортонормированного правильного базиса до совмещения с вектором меньше. Тогда ориентированная граница называется согласованно ориентированной с ориентацией поверхности. Зададим гладкое векторное поле в окрестности поверхности.

Теорема (формула Стокса). В условиях, приведенных выше, справедлива формула:

.

Пример 2.1.15.1. Применяя формулу Стокса, найти , если – окружность , .

Решение.

Радиус-вектор для окружности , равен . Тогда

;

;

;

.

Учитывая, что , , , получим

.

По формуле Стокса получаем

,

где плоская область ограничена окружностью . Вводя полярные координаты , , получим

.

2.2 Математическое моделирование, математическое программирование, теория игр, численные методы

2.2.1 Регрессионная модель. Однофакторная модель (построение модели, определение дисперсии, проверка адекватности)

Регрессионные модели применяются для прогнозирования экономических показателей предприятия или анализа возможного изменения показателей.

Модели могут быть однофакторные и многофакторные, линейные и нелинейные.

На основании данных статистики выбирается подходящая модель, выражающая тренд изменения исследуемого показателя.

Коэффициенты регрессионной модели определяются методом наименьших квадратов, минимизируется отклонение результатов вычисленных по модели от данных выборки статистического ряда.

Однофакторная регрессионная модель:

. (2.1.1)

Для определения коэффициентов регрессии методом МНК строится нормальная система уравнений

(2.1.2)

где – значение фактора , от которого зависит исследуемый параметр ;

– значение параметра по результатам выборки;

– количество элементов ряда.

Решение системы дает коэффициенты регрессии и . Решение можно выполнить методом Крамера.

Определитель системы

.

Другие определители

, .

Отсюда решение системы

; . (2.1.3)

Задача 2.2.1.1. Установить, как изменяется удельный расход материала в зависимости от выпуска продукции на предприятии. Приведены данные статистики за прошлые периоды.

Расход материала (кг) на 1 тыс. шт.		Выпуск продукции (тыс. шт.)
1	5,30	100
2	5,25	120
3	5,20	140
4	5,15	160
5	5,0	180
6	5,1	200

Для расчета коэффициентов регрессии удобно составить таблицу.

Таблица 1.1

№
1 2 3 4 5 6	5,3 5,25 5,20 5,15 5,0 5,1	100 120 140 160 180 200	530 630 728 824 900 1020	10000 14400 19600 25600 32400 40000	0,14 0,09 0,04 -0,01 -0,16 -0,06	0,0196 0,008 0,0016 0,0001 0,0256 0,0036
Cумма	31	900	4632	142000		0,0586

Среднее значение элементов выборки

. (2.1.4)

Дисперсия статистического ряда

. (2.1.5)

Расчет определителей нормального уравнения

;

;

;

; .

Уравнение регрессии примет вид

.

Для проверки адекватности модели возможен метод Фишера.

Вычисляется вначале остаточная сумма квадратов, здесь – значение , вычисленное по уравнению регрессии.

№
1	5,3	100	5,28	0,0004
2	5,25	120	5,23	0,0004
3	5,20	140	5,18	0,0004
4	5,15	160	5,13	0,0004
5	5,1	180	5,08	0,0004
6	5,0	200	5,03	0,0009
				0,0029

Остаточная сумма квадратов получит значение

. (2.1.6)

Коэффициент детерминации

. (2.1.7)

Наблюдаемое значение критерия Фишера

, (2.1.8)

здесь

– количество факторов;

– количество элементов выборки.

Табличный критерий Фишера при , имеет значение , что указывает на адекватность модели, т.к. выполняется неравенство .