2.1.8 Понятие компакта
Компакты
О
пределение.
Множество
называется компактным
множеством (компактом),
если из любой последовательности точек
этого множества можно извлечь
подпоследовательность, сходящуюся к
некоторой точке множества
.
Теорема (критерий компактности). Множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
Определение.
Пусть нам
дан набор множеств
,
(
называется индексным
множеством).
Совокупность индексированных множеств
называется семейством.
Определение.
Пусть дано
множество
и семейство множеств
.
Семейство множеств
называется покрытием
множества
,
если
содержится в объединении всех множеств
рассматриваемого семейства
.
Определение. Говорят, что – открытое покрытие множества , если:
– покрытие ,
каждое
– открытое множество.
Определение.
Покрытие
называется подпокрытием
покрытия
,
если любой элемент покрытия
является элементом покрытия
,
то есть для всех
существует такое
,
что
.
Теорема Бореля. Множество – компакт тогда и только тогда, когда из любого открытого покрытия множества можно извлечь конечное подпокрытие.
Пример
2.1.8.1.
Показать, что отрезок
является компактным множеством в этом
пространстве.
Решение.
Поскольку
отрезок
является ограниченным множеством,
следовательно, из любой последовательности
его элементов можно извлечь
подпоследовательность, которая имеет
конечный предел (теорема Больцано-Вейерштрасса).
В силу теоремы
о предельном переходе в неравенстве
(см. [17] гл. 2
теорема 1.3), предел такой последовательности
принадлежит отрезку
.
Таким образом, по определению промежуток
является компактным множеством.
2.1.9 Необходимые и достаточные условия локальных экстремумов
Экстремумы функций многих переменных
Рассмотрим
открытое множество
и функцию
Определение.
Точка
называется точкой
локального максимума (строгого локального
максимума),
если существует такое
,
что для всех векторов
,
где
,
выполняется неравенство:
Определение. Точка называется точкой локального минимума (строгого локального минимума), если существует такое , что для всех векторов , где , выполняется неравенство:
Определение. Точкой (локального) экстремума называется либо точка максимума, либо точка минимума.
Теорема.
Пусть точка
– точка локального экстремума функции
,
причем в этой точке существует
дифференциал, тогда этот дифференциал
равен нулю, то есть
.
Определение. Точки, в которых первый дифференциал функции равен нулю, называются критическими (стационарные).
Достаточные условия строгого экстремума
Теорема.
Пусть точка
– критическая точка функции
.
Допустим, что
положительно (отрицательно) определен,
тогда функция
в точке
достигает строгого локального минимума
(максимума).
Пример
2.1.9.1.
Найти
экстремум функции
.
Решение.
Находим частные производные первого порядка:
; 
.
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:
откуда
,
,
.
Находим
значения частных производных второго
порядка в точке
:
;
; 
.
Составляем
дискриминант
;
(или
).
Следовательно, в точке
заданная функция имеет минимум. Значение
функции в этой точке
.
Пример 2.1.9.2. Найти экстремум функции
.
Решение.
Найдем частные производные первого порядка:
;
.
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:
или
Отсюда
,
;
стационарная точка
.
Найдем значения вторых производных в точке :
.
Тогда
поскольку
,
(или
),
то в точке
функция имеет максимум:
.