2.1.2 Теоремы Роля, Лагранжа

Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке , имеет производную на интервале и принимает равные значения на его концах . Тогда на интервале существует, по крайней мере, одна точка , в которой производная зануляется .

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке , имеет производную на интервале . Тогда на интервале существует точка , для которой выполняется равенство .

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Действительно, есть тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки и , а – тангенс угла наклона касательной в точке , следовательно, рассматриваемые секущая и касательная параллельны.

Пример 2.1.2.1. Показать, что функция на отрезках и удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти соответствующие значения .

Решение.

Функция непрерывна и дифференцируема для всех значений ; кроме того, . Следовательно, теорема Ролля применима на отрезках и . Для нахождения числа составляем уравнение: . Отсюда причем ; .

Пример 2.1.2.2. Проверить выполнение теоремы Лагранжа для функции на отрезке и найти соответствующее промежуточное значение  .

Решение.

Функция непрерывна и дифференцируема для всех значений , причем . Отсюда по формуле Лагранжа имеем, т. е. .

Следовательно, и ; подходит только значение , для которого справедливо неравенство .

2.1.3 Теоремы Коши, Ферма

Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на отрезке , имеют производные и на интервале одновременно не обращающиеся в , . Тогда на интервале существует точка  , для которой выполняется равенство .

Теорема Ферма. Пусть функция достигает в точке локального экстремума (максимума или минимума) и в ней существует производная, тогда .

Пример 2.1.3.1. Для функции и проверить выполнение условий теоремы Коши на отрезке и найти .

Решение.

Проверим выполнение условий теоремы Коши. Функции и непрерывны на отрезке и при имеют производные, не обращающиеся в нуль одновременно, причем .

Тогда по теореме Коши

или . Отсюда , где .

Пример 2.1.3.2. Для функции проверить выполнение условий теоремы Ферма.

Решение.

Очевидно, функция имеет минимум в точке . Так как , то , как и утверждает теорема Ферма.

2.1.4 Формула Тейлора

Основным свойством дифференциального исчисления является формула Тейлора, позволяющая приближать функции специальными многочленами в окрестности некоторой точки. Мы рассмотрим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (глобальная формула Тейлора) и с остаточным членом в форме Пеано (локальная формула Тейлора).

Пусть функция в некотором интервале имеет производных, тогда для любой точки можно написать многочлен Тейлора

.

Разность называется остаточным членом формулы Тейлора, это выражение может быть преобразовано различными способами, которые приводят к разным формам остаточного члена.

Теорема (остаточный член в форме Пеано). Пусть функция в некотором интервале имеет непрерывных производных, тогда для любой точки при имеет место равенство:

.

Теорема (остаточный член в форме Лагранжа). Пусть функция в некотором интервале , содержащем точку , имеет производных, а во всех точках этого интервала, кроме, быть может, точки , имеет -ю производную; тогда для любого , существует , находящееся между и , для которой выполнено равенство:

.

Заметим, что при последняя теорема превращается в теорему Лагранжа.

Формулу Тейлора в точке обычно называют формулой Маклорена. В этом случае удобно положить , т.е. .

Пример 2.1.4.1. Разложить по формуле Маклорена функцию .

Решение.

,

,

…

.

Тогда , и так как , то , .

Пример 2.1.4.2. Функцию разложить по степеням бинома до члена, содержащего .

Решение.

для всех , . Следовательно,

, где , .