2.2.20 Метод наименьших квадратов

Задана таблица значений аргументов и соответствующих значений функции .

На практике удобно представить искомую зависимость в виде многочлена, линейной комбинации некоторых базисных функций:

(2.20.1)

где – неизвестные коэффициенты, – заданная система базисных функций. В качестве базисных функций могут выбираться, например, степенные функции, полиномы Чебышева, тригонометрические функции .

Условия согласования метода сглаживания – метод наименьших квадратов:

. (2.20.2)

Отметим отличительные особенности решения задачи сглаживания методом наименьших квадратов:

1. Метод наименьших квадратов требует выполнения условия соответствия и в среднем.

2. Количество точек , в которых задана исходная функция, значительно больше, чем степень многочлена.

Применение степенных функций в методе наименьших квадратов

В качестве базисных функций используются степенные:

,

Нужно чтобы среднеквадратичная погрешность в каждой точке была минимальна:

.

Для нахождения минимума погрешности возьмем производные по и приравняем нулю:

.

Получим систему уравнений относительно неизвестных :

(2.20.3)

…

Обозначим

,

.

Получим систему:

(2.20.4)

Методика решения задачи сглаживания

1. Вычислить коэффициенты по заданной табличной функции и записать систему (2.20.4).

2. Решить полученную систему линейных уравнений относительно коэффициентов .

3. Записать искомую сглаживающую функцию

Пример 2.2.20.1. Функция задана таблично, найти значения сглаживающей функции в точке

1 2 3 4	3 7 1 2

Решение.

Положим , тогда функция ищется в виде

,

,

,

,

Система уравнений:

2.2.21 Численное интегрирование

Формула трапеции

Разобьем отрезок на равных частей точками , каждая длиной и найдем , тогда формула трапеции:

Оценка погрешности:

где

Формула Симпсона

Разобьем отрезок на равных частей точками , каждая длиной и найдем , но теперь возьмем четное число , тогда формула Симпсона:

.

Оценка погрешности:

.

Другой способ оценки погрешности. Если отыскание четвертой производной подынтегральной функции затруднительно, то оценку погрешности вычисления интеграла по формуле Симпсона можно получить по методу удвоения шага вычислений.

Полагая , вычисляют приближенное значение данного интеграла по формуле Симпсона для шага . Погрешность определяется формулой:

,

где – найденное значение интеграла при шаге ,

– найденное значение интеграла при шаге .

Пример 2.2.21.1. Вычислить определенный интеграл методом трапеции с шагом . Найти оценку погрешности.

.

Решение.

Формула трапеции:

	0	1	2	3	4
	0	1	4	9	16

.

Оценка погрешности:

Точное решение:

, погрешность ~0,66.

Список литературы

1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1. Учеб. пособие. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 7- е изд., испр. – М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2009.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2. Учеб. пособие. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 7- е изд., испр. – М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2009.

3. Дудник В.Г. Модели и алгоритмы математического программирования / РИИ. – Рубцовск: РИО, 2002.

4. Дудник Е.А. Численные методы алгебры и теории приближений. Метод. пособие для студентов специальности 073002 «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 2006.

5. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Б. П. Демидович ; под ред. Б. П. Демидовича. – М., АСТ, 2003.

6. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу – М.: Высшая школа, 1966.

7. Колдаев В.Д. Численные методы и программирование: Учеб. пособие. – М.: ФОРУМ, ИНФРА-М, 2009.

8. Кузнецов А.В. Руководство к решению задач по математическому программированию. А.В. Кузнецов, Н.И. Холод, Л.С. Костевич. – Минск: Высшая школа, 2001.

9. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование: учеб. пособие для студентов. – М.: Высшая школа, 1976.

10. Лебедев А.Г. Математическое моделирование / РИИ. – Рубцовск: РИО, 2010.

11. Макарова С.И. Экономико-математические методы и модели: задачник. – М.:Кнорус, 2008.

12. Никоноров Ю.Г. Математический анализ. Часть 1: Учебное пособие для студентов специальности «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 1997.

13. Никоноров Ю.Г. Математический анализ. Часть 2: Учебное пособие для студентов специальности «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 1997.

14. Никоноров Ю.Г. Математический анализ. Часть 3: Учебное пособие для студентов специальности «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 1997.

15. Никоноров Ю.Г. Математический анализ. Часть 4: Учебное пособие для студентов специальности «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 1997.

16. Никонорова Ю.В. Основы теории игр: Учебное пособие для студентов специальности «Прикладная математика» / РИИ. – Рубцовск: РИО, 2006.

17. Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Часть 1. Книга 1. – Новосибирск: Изд-во Института математики, 1999.

Альберт Георгиевич Лебедев

Евгения Александровна Дудник

Евгений Витальевич Никитенко

Юрий Геннадьевич Никоноров

Наталья Владимировна Рассказова

Методические указания для подготовки к государственным экзаменам

Методические указания для студентов специальности «Прикладная математика»

Редактор Е.Ф. Изотова

Подготовка оригинала макета Н.В. Рассказова, Н.С. Зорина

Подписано к печати. Формат 60х84 /16.

Усл. печ. л. 5,44. Тираж 40 экз. Заказ . Рег. № .

Отпечатано в РИО Рубцовского индустриального института

658207, Рубцовск, ул. Тракторная, 2/6.

86