2.2.17 Методы решения систем линейных уравнений
Рассмотрим линейную неоднородную задачу для систем линейных алгебраических уравнений, которая записывается в виде:
, (2.17.1)
где – действительная матрица,
– вектор столбец,
– вектор
неизвестных, принадлежат
–
-мерному
евклидовому пространству.
(2.17.2)
Требуется
найти решение
из
системы (2.17.2), подстановка которого в
(2.17.2) приводит к верному равенству
.
Метод Гаусса
Метод Гаусса состоит в исключении слагаемых системы путем ее равносильного преобразования. Метод разбивается на две совокупности операций, которые разбиваются условно на прямой и обратный ход.
а) Прямой ход состоит в исключении элементов, расположенных ниже элементов, соответствующих главной диагонали матрицы . Матрица преобразуется к верхнетреугольному виду с единицами на главной диагонали.
б)
Обратный ход, из матрицы
определяем последовательно
Надо решить систему алгебраических уравнений :
Нужно преобразовать к треугольной матрице.
Прямой ход, в общем случае коэффициенты матрицы рассчитываются в виде:
,
,
(2.17.3)
где
– номер шага
,
.
Получим
.
Обратный
ход, начиная с последнего уравнения,
последовательно определяем
,
. (2.17.4)
Изложенный
метод имеет ограничение, связанное с
тем, что ведущие элементы
и т.д. должны быть отличны от нуля и не
должны быть малыми по модулю, поскольку
погрешности вычислений будут большими.
Порядок последовательности исключения неизвестных может сильно сказаться на результатах расчетов. Наиболее надежным является метод Гаусса с выбором главного элемента.
Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
Перед
исключением
отыскивается
по
.
Допустим, максимум соответствует
.
Тогда первое уравнение в исходной
системе меняем местами с
уравнением. После этого осуществляем
первый шаг исключения. Затем перед
исключением
из оставшихся уравнений отыскиваем
,
где
,
осуществляется соответствующая
перестановка уравнений.
Можно показать, что условие диагонального преобладания остается справедливым после каждого шага исключений в процессе приведения матрицы к треугольному виду, т.е.
,
для всех
. (2.17.5)
Это означает, что перед каждым исключением очередной неизвестной главный элемент будет находиться в «нужной позиции».
Рассмотренные модификации метода Гаусса позволяют, как правило, существенно уменьшить влияние погрешности округления на результаты расчетов.
Пример 2.2.17.1. Методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцам решить систему:
Решение.
1.
Прямой ход. Реализуем поиск ведущего
элемента по правилу: на
-м
шаге переставляются
оставшихся
уравнений так, чтобы наибольший по
модулю коэффициент при
попал
на главную диагональ:
2.
Обратный
ход. По матрице
составим систему уравнений:
или
Решая
ее, последовательно получаем:
,
,
.
Метод простой итерации
Для решения систему линейных уравнений приводим к каноническому виду:
(2.17.6)
Выразим
:
Таким
образом, получим
,
где
,
,
. (2.17.7)
Итерационный процесс запишется виде:
. (2.17.8)
Начальное
приближение
выбирается произвольно, но требуется
выполнение условия сходимости, норма
матрицы
.
Сходящийся процесс обладает свойством
самоисправляемости. Условие сходимости
выполняется, если в матрице
диагональные элементы преобладают.
Иначе модули диагональных коэффициентов
в каждом уравнении системы больше суммы
модулей недиагональных коэффициентов.
Чем меньше величина нормы матрицы
,
тем быстрее сходится метод.
Для того чтобы данный процесс сходился, необходимо, чтобы норма матрицы была меньше 1 или выполнялись следующие условия:
(2.17.9)
Тогда справедливы оценки скорости сходимости:
,
. (2.17.10)