2.2.14 Матричные игры. Игры и

Теория игр рассматривает задачи, связанные с конфликтными ситуациями. Это задачи планирования боевых операций в военном деле, борьба торговых фирм, трестов, монополий в экономике капиталистических предприятий.

Игра называется с нулевой суммой, если один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой.

Стратегия игрока это совокупность правил, определяющих действия игрока при каждом личном ходе игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий.

Оптимальная стратегия - это стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает игроку максимально возможный выигрыш (или минимальный средний проигрыш).

Рассматривается игра, где игрок имеет стратегий, а игрок (противник) – стратегий.

Личные ходы однозначно определяют игру, – исход игры, выигрыш -го игрока при -м ходе противника.

Если игра содержит кроме личных случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий и есть случайная величина и определяется математическим ожиданием.

Значения при выборе стратегий и можно отразить матрицей

. (2.14.1)

Антагонистическая игра, в которой каждый игрок имеет конечное множество стратегий называется матричной.

При задании платежной матрицы (2.14.1) игра называется матричной игрой. Стратегии первого игрока обозначаются номерами строк матрицы, стратегии второго игрока обозначаются номерами столбцов.

Если игрок выбирает стратегию , то противник должен выбрать стратегию , для которого выигрыш первого игрока минимален.

Найдем минимальное из чисел по строке :

.

Выбирая стратегию , игрок рассчитывает, что в результате действий противника выигрыш только . Среди таких стратегий по строкам выбирается максимальный выигрыш

(2.14.2)

– это нижняя цена игры (максиминный выигрыш).

Стратегия , которая дает такой выигрыш – максиминная стратегия.

Аналогичные рассуждения для противника , заинтересованного в обращении в минимум выигрыша игрока .

Максимальное значение выигрыша по столбцам

.

Из них минимальное значение

(2.14.3)

является верхней ценой игры (минимальный выигрыш).

Придерживаясь такой стратегии, игрок гарантирован, что он проиграет не больше .

Существуют игры, в которых , это игра с седловой точкой, в ней существует такой элемент, который является минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце

– чистая цена игры.

Седловой точке соответствуют две стратегии, они оптимальны и дают решение игры.

Чистая цена игры в игре с седловой точкой является значением выигрыша, которое игрок не может увеличить, а игрок – уменьшить. В платежной матрице возможно несколько седловых точек.

Возможно чередование чистых стратегий случайным образом, это смешанные стратегии.

Если стратегии применяются с вероятностями соответственно , то обозначили смешанную стратегию

,

причем .

Аналогично для смешанной стратегии второго игрока

,

где .

Решением игры будет пара смешанных стратегий и , так что если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому игроку невыгодно отступать от своей. Выигрыш – цена игры.

Основная теорема теории игр гласит, что каждая игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий. Цена игры лежит между нижней ценой и верхней .

. (2.14.4)

Наиболее простая игра с платежной матрицей

.

Игра может иметь седловую точку, тогда одна из стратегий может быть отброшена. Если седловой точки нет, т.е. , то решение в смешанных стратегиях ; .

Решение может быть найдено из системы уравнений

(2.14.5)

Решение системы (2.14.5) является

, (2.14.6)

.

Цену игры можно найти подстановкой и в одно из уравнений (2.14.5).

Аналогично находится стратегия противника

из уравнений

(2.14.7)

откуда решение

(2.14.8)

Игра , где игрок имеет 2 стратегии, а игрок – стратегий, может быть сведена к игре .

Строится графически ломаная линия – нижняя граница выигрыша, точка с максимальной ординатой соответствует цене игры, абсцисса этой точки соответствует вероятности стратегии в оптимальной смешанной стратегии игрока .

У игры всегда имеется решение, в котором участвуют с каждой стороны 2 стратегии, которые являются активными. Если эти стратегии выделить, то игра превращается в игру и решение можно найти по формулам (2.14.6) и (2.14.8).

Задача 2.2.14.1. Найти решение игры, заданной матрицей

.

Решение.

1. Проверка на наличие седловой точки

, седловая точка отсутствует.

2. Графическое выделение активных стратегий.

На оси откладываем отрезок [0, 1] и строим стратегии .

Активные стратегии и , им соответствует матрица

.

3. Решение игры по формулам (2.14.6)

Определение цены игры по 1-му уравнению (2.14.5)

;

, откуда .

Для стратегии противника

; откуда ; .

Получили стратегии

; ;

и цена игры .