2.2.11 Задачи раскроя материалов и составления смеси. Область применения

Задачи раскроя материалов могут применяться в заготовительных цехах заводов при выборе варианта раскроя некоторого количества листов материала, так чтобы получить нужное количество заготовок деталей с минимальными затратами на раскрой.

Вначале составляются варианты раскроя. Каждый вариант определяет количество получаемых заготовок и величины отходов, которые можно также использовать в производстве.

Минимизируются издержки на раскрой материала и стоимость листов

, (2.11.1)

где – цена листа вида ;

– затраты на раскрой листа вида при выборке -го варианта раскроя;

– стоимость расходов при -м варианте раскроя;

– количество листов типа , которое надо раскроить по варианту .

Ограничение, связанное с выполнением плана производства

, (2.11.2)

где – количество заготовок вида , получаемых из листа типа при -м варианте раскроя;

– плановое задание по заготовкам.

Ограничение, связанное с запасами листов материалов на складах

. (2.11.3)

Ограничение на неотрицательность переменных

. (2.11.4)

В качестве критериев может быть выбрана минимизация отходов или максимизация комплексов при комплектном формировании плана.

Задача 2.2.11.1. Из уголков в 4 м необходимо нарезать по 2 заготовки, которые входят в комплект в соотношении 3:8.

Варианты раскроя даны в таблице

Таблица 11.1

Заготовки	Варианты раскроя уголка
	1	2	3
А	2	0	1
В	1	6	5

Количество уголков на складе 100 шт. Организовать раскрой уголков на заготовки (построить модель и провести расчет количество уголков раскроя по каждому способу) из условия максимального числа комплектов.

Решение.

Модель в общем виде:

,

где – количество заготовок первого вида при раскрое по варианту ;

– количество уголков, распределенных по -му варианту.

Количество комплектов определяет первый вид заготовок, т.к. входит в комплект в минимальном соотношении.

Ограничение по наличию уголков на складе

,

где – запас уголков.

Ограничение на ассортиментное соотношение в комплекте

.

Подробная числовая модель имеет вид

,

,

.

Последнее уравнение преобразуется к виду

Канонический вид задачи линейного программирования

Применяем симплекс-метод последовательного улучшения. Здесь и искусственные переменные плана. Для использования -метода получения опорного плана. Для переменных , ввели оценки , где – большое число.

Исходная симплексная таблица имеет вид

Таблица 11.2

			0	2	0	1
№
1			100	1	1	1	1	0
2			0	13	–18	–7	0	1
			0	–2	0	–1
			–100	–14	7	6

Столбец для ввода в базис определен по в строке, разрешающий элемент 13.

Следующая симплексная таблица, где в базис вводится , а из базиса выводится примет вид после симплексного преобразования.

Таблица 11.3

			0		0	1		2
№
1			100	–0,07	2,38	1,53	1	0
2		2	0	0,07	–1,38	–0,53	0	1
			0	0,15	–2,76	2,07
			–100	1,07	–12,38	–1,53

Разрешающий столбец определяется по элементу строки равному . Разрешающая строка должна удалять искусственную переменную .

Следующая симплексная таблица имеет вид при удалении столбца с в соответствии с -методом и заменой в базисе на .

Таблица 11.4

№
1		0	42	0,42	0,64	1	0
2		2	58	0,58	0,35	0	1
			116	1,15	-0,29
				1	0

Столбец из таблицы убирается, получается опорный план, он же является оптимальным поскольку в строке положительны.

Еще раз С-М и в m+1 положительны.

Решение.

; ; ; , что соответствует числу заготовок первого вида.