2.3. Мдс прямоугольного контура с током

Ток, проходящий в замкнутом контуре, создаёт магнитное поле, значение которого в каждой точке пространства определяется формой кривой МДС этого контура. Кривую распределения МДС контура с током по какой-либо координате можно построить, поль­зуясь законом полного тока.

Пусть имеем некоторый прямоугольный контур с током i. Активные стороны кон­тура расположены в точках с координатами и (рис.2.2). Предположим, что в контуре проходит постоян­ный ток I, т. е. i = I. Проведём замкнутый слева на бесконечности условный контур , пересекающий ось абсцисс слева от точки . Через поверхность, ограниченную контуром , проводники с током не проходят и поэтому соответствующая МДС равна нулю. Данная МДС будет равна нулю во всех точках < . При переходе контура через точку , в которой распо­ложен проводник с током I, МДС контура изменится скачком (в соответствии со вторым следствием из закона полного тока) на значение тока в провод­нике и далее будет оставаться постоянной для любого контура , пересекающего ось абсцисс в интервале значений x ( , ). При переходе контура через точку , в которой расположен проводник с током того же самого значения, что и в точке , но противопо­ложного направления, алгебраическая сумма токов в пределах контура окажется равной нулю, и МДС в точке уменьшится скачком до нуля. И для любого контура , пересе­кающего ось абсцисс в точках, расположенных справа от точки , МДС снова будет равна нулю.

Как видно из рис.2.2 МДС прямоугольного контура с током имеет вид прямоуголь­ной волны, высота которой численно равна току в контуре, т.е. F = I. Если переместить ось ординат влево или вправо, то это никак не отразиться на форме и размерах прямо­угольной волны МДС контура .

Аналогично, перемещение оси абсцисс вверх или вниз не вызовет каких-либо изменений в кривой МДС контура и, следовательно можно считать, что МДС контура с током инвариантна относительно системы координат. И поэтому, как правило, сис­тему координат располагают таким образом (рис. 2.3), чтобы кривая МДС прямоугольного контура с током была бы симметричной относительно координатных осей.

При этом предполагается, что контур расположен в пазах по расточке статора (см. рис.1.4), где принята полярная сис­тема координат, и поэтому активным сторонам контура соответствует координаты = .

2.4. Мдс катушки с током и её гармонический состав

Рассмотрим МДС прямоугольной катушки. Если вместо одного контура с током взять несколько одинаковых контуров с токами одного направления и наложить их друг на друга, то это лишь вызовет пропорциональное изменение МДС в точках расположения активных сторон такой системы контуров (в точке на рис.2.1 МДС возрастёт, в точке уменьшится на такое же значение) и никак не отразится на форме кривой распределения МДС по координате x, т. е. по-прежнему будем иметь прямоугольную волну МДС.

Поэтому можно считать, что прямоугольная катушка, состоящая из последова­тельно соединённых витков, и по которой проходит ток i, будет создавать также прямоуголь­ную волну МДС (рис. 2.4). Катушка расположена в пазах по рас­точке статора, как и контур с током на рис.2.3, и, следовательно её активные стороны имеют координаты = = .

Обозначим через функцию, характеризующую распре­деление прямоугольной волны МДС ка­тушки по координате и тогда будет определять амплитуду прямоугольной волны МДС этой катушки на полюс, т. е.

= (2.14)

Для удобства анализа свойств МДС катушки с током разложим её прямоугольную волну МДС в ряд Фурье. Так как в соответствии с рис. 2.4 функция является чётной и симметричной относительно оси абсцисс, то её разложение в ряд Фурье будет содержать только слагаемые с косинусами и поэтому

, (2.15)

где определяет порядок (номер) гармоники в разложении функции в ряд Фурье. Коэффициенты разложения определяются выражением

=

Функцию можно рассматривать как периодическую с периодом T = и тогда для определения ко­эффициентов разложения (2.15) получим следующее выражение

=

Принимая во внимание симметрию функции относительно оси ординат, можно ограничиться интегрированием на интервале от = 0 до = и тогда для получим

= (2.16)

На интервале от = 0 до = функция = , а на интервале от = до = = – . С учётом этого

= – =

и окончательно

= (2.17)

Из (2.17) следует, что порядок гармоники может быть только нечётным числом вида = + 1, где n = 0,1,2,……Учитывая знак синуса в разных четвертях, запишем (2.17) в следующем виде

(2.18)

Подставляя (2.18) в (2.15), получим

(2.19)

и с учётом (2.14) выражение (2.19) примет вид

(2.20)

Если в катушке проходит постоянный ток i = I, то

(2.21)

Как видно из выражения (2.21) разложение прямоугольной волны МДС катушки с постоянным током представляет собой бесконечную сумму гармоник нечётных порядков, амплитуды которых убывают обратно пропорционально порядку гармоники. На постоян­ном токе ни прямоугольная волна МДС катушки, ни гармоники, её образующие, во вре­мени своей величины не меняют и остаются неподвижными относительно катушки и соответственно относительно статора.

Предположим, что в катушке проходит переменный синусоидальный ток

(2.22)

, (2.23)

где – круговая частота тока, с^-1. Так как в катушке проходит переменный ток, то МДС катушки будет функцией двух переменных координаты по расточке статора, определяющей величину МДС в данной точке в фиксированный момент времени, и времени t, характеризующего мгно­венное значение этой МДС в той же самой точке. И тогда для мгновенного значения МДС катушки с переменным током получим

Это выражение определяет мгновенное значение прямоугольной волны МДС катушки с переменным током, пульсирующей вдоль оси этой катушки с частотой тока в ней.

И тогда, подставляя (2.22) в (2.21), получим

,

(2.24)

, (2.25)

, (2.26)

где – мгновенное значение гармоники МДС порядка катушки с переменным то­ком; - амплитуда гармоники МДС порядка на один полюс катушки с переменным то­ком. Эта амплитуда, как это видно из выражения (2.26), обратно пропорциональна порядку гармоники и наибольшую вели­чину имеет для = 1. При = 1 (рис.2.4) имеем первую (основную или рабочую) гармонику МДС катушки с переменным током

(2.27)

(2.28)

Величина определяет амплитуду первой гармоники МДС на один полюс катушки с переменным током.

Первая гармоника МДС катушки с переменным током в соответствии с выраже­нием (2.27), как и исходная прямоугольная волна МДС этой катушки, пульсирует вдоль оси катушки с частотой тока в ней, оставаясь неподвижной относительно координаты , т.е. относительно расточки статора.