Глава 2. Мдс и магнитное поле.

2.1. Закон полного тока

Для вывода выражения, описывающего закон полного тока, воспользуемся вторым уравнением Максвелла

, (2.1)

где H – напряжённость магнитного поля, δ - плотность тока

Из этого уравнения следует, что если в некоторой области пространства существует электрический ток, характеризующийся плотностью δ, то в этой области существует вихревое магнитное поле напряжённостью Н.

Рассмотрим некоторую разомкнутую поверхность Q, ограниченную контуром L (см. рис.1.2) и проинтегрируем левую и правую части уравнения (2.1) по этой поверхности, т.е. найдём потоки векторов и через данную поверхность

. (2.2)

При интегрировании левой части выражения (2.2) с учётом теоремы Стокса получим

(2.3)

В свою очередь, контурный интеграл в правой части выражения (2.2) определяет полный ток, проходящий через поверхность

(2.4)

Ток может быть как постоянным, так и переменным.

Пусть через разомкнутую поверхность проходит дискретная система проводников с токами (рис. 2.1).

Применительно к этому случаю выражение (2.4) примет вид

(2.5)

В выражении (2.5) правая часть представляет собой алгебраическую сумму токов в проводниках (c учётом их направления), пронизывающих поверхность .

Приравняв правые части выражений (2.3) и (2.5), получим

(2.6)

Э то выражение и представляет собой математическую формулировку закона полного тока: циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов в проводниках, пронизывающих поверхность, ограниченную данным контуром.

Из формулировки закона полного тока имеем два следствия:

– величина контурного интеграла в выражении закона полного тока не зависит от формы контура, так как она определяется только суммой токов через поверхность, ограниченную контуром;

– если при изменении формы контура какой-либо из проводников с током оказывается за пределами контура или, наоборот, в пределах контура оказывается ещё один проводник с током, то величина контурного интеграла изменяется скачком на величину тока в этом проводнике с учётом его направления.

Введём обозначение

, (2.7)

В выражении (2.7) F представляет собой магнитодвижущую силу (МДС). МДС измеряется в амперах и численно рана току, который создаёт в некоторой точке пространства магнитное поле напряжённостью Н.

2.2. Вычисление контурного интеграла в выражении закона полного тока

Раскрывая скалярное произведение в контурном интеграле в выражении (2.6), получим

В последующих преобразованиях воспользуемся первым следствием из закона полного тока о независимости величины интеграла от формы контура и выберем такой контур интегрирования, в каждой точке которого угол между векторами и будет равен нулю. Данному требованию в простейшем случае удовлетворяет любая силовая линия магнитного поля, которой по определению называется некоторая замкнутая кривая, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором напряжённости магнитного поля в этой точке.

Выберем в качестве контура интегрирования L одну из силовых линий рассматриваемого магнитного поля при условии, что эта силовая линия охватывает данную систему проводников с токами. Для силовой линии магнитного поля скалярное произведение векторов и равно их обычному произведению, так как угол между ними равен нулю. С учётом этого получим

(2.8)

При вычислении контурного интеграла контур интегрирования всегда можно разбить на ряд участков, представив контурный интеграл в виде суммы криволинейных интегралов

, (2.9)

где N – число участков, на которые разбит контур интегрирования ; n – номер участка, – напряжённость магнитного поля в пределах n-го участка. Каждый из криволинейных интегралов легко вычисляется, если подынтегральная функция (в данном случае это напряжённость магнитного поля) в пределах n-го участка является величиной постоянной и тогда

, (2.10)

где – длина -го участка силовой линии магнитного поля.

Подставив (2.10) в (2.9), получим

(2.11)

Произведение под знаком суммы представляет собой падение магнитного потенциала в пределах n-го участка или, что то же самое, МДС n-го участка . Тогда выражение (2.11) примет вид

(2.12)

Возвращаясь к исходному контурному интегралу в выражении (2.8), окончательно получим

(2.13)

и, следовательно, величина контурного интеграла в выражении закона полного тока равна сумме МДС всех участков.