3.4. Общее выражение для электромагнитной силы

3.4.1. Баланс энергии системы контуров с токами

Имеется система из n контуров с токами, электрически не связанных между собой. Но все эти контуры связаны между собой через общее магнитное поле. \Это результирующее магнитное поле зависит не только от силы токов в контурах, но и от их взаимного расположения. Поэтому изменение положения любого из контуров при сохранении силы тока в нём приведёт к изменению, как общего магнитного поля, так и потокосцепления каждого из контуров.

Со стороны магнитного поля на контуры с токами действуют электромагнитные силы, стремящиеся изменить их положение. Пусть все контура, за исключением k-го контура, закреплены. Тогда под действием силы f_эм этот контур переместиться на расстояние dx за время dt. Сила f_эм при этом совершит работу f_эм dx.

В результате перемещения одного из контуров системы изменится результирующее магнитное поле всей системы и, следовательно, произойдёт изменение энергии магнитного поля всех контуров на величину d_xW_м (где индекс x при дифференциале указывает на то, что это изменение энергии связано с изменением координаты x).

Предположим, что в среде, окружающей проводники, отсутствуют необратимые процессы (гистерезис, вихревые токи, механическое трение). При этом условии работа внешних источников электрической энергии, действующих на зажимах контуров системы, будет расходоваться на компенсацию электрических потерь в контурах системы i_k²R_kdt, а также на изменение энергии магнитного поля d_xW_м этой системы и на совершение механической работы f_эм dx, связанной с перемещением k-го контура на dx

(3.18)

Данное уравнение определяет баланс энергии системы контуров с токами, расположенных в магнитном поле.

3.4.2. Закон сохранения энергии для системы контуров с токами

Запишем уравнение напряжения по второму закону Кирхгофа для k-го контура:

(3.19)

Так как перемещение k-го контура на dx произошло за время dt и при этом изменились потокосцепления всех контуров, то в каждом из контуров в соответствии с законом элек­тромагнитной индукции появится ЭДС

(3.20)

В выражении (3.20) представляет собой полное потокосцепление k-го контура.

Подставив (3.20) в (3.19), получим

(3.21)

Умножим левую и правую части (3.21) на i_kdt и, выполнив сложение по всем контурам, получим

(3.22)

Из сравнения выражений (3.18) и (3.22) следует равенство (3.23)

В выражении (3.23) левая часть представляет собой часть работы внешних источников электрической энергии, связанную с изменением потоков в контурах. Тогда эта часть работы внешних источников в соответствии (3.23) затрачивается на изменение энергии магнитного поля всей системы контуров и на совершение механической работы в указанной системе.

Данное уравнение справедливо независимо от того, ка­ким образом или по каким законам изменяются во времени токи в контурах и потокосцепления этих контуров. По указанной причине уравнение (3.23) представляет собой выражение закона сохранения энергии примени­тельно к системе контуров с токами.

На основании (3.23), после деления его левой и правой частей на , можно получить расчётное выражение для определения электро­магнитной силы

(3.24)

Наиболее простые выражения для расчёта силы получаются, если предположить, что, либо потокосцепления всех контуров, либо токи в них остаются неизменными при пере­мещении любого из контуров системы. На практике, как правило, приходиться иметь дело с одним из этих частных случаев.