ПЕРЕЧЕНЬ

тем докладов к государственному экзамену

по специальности «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

2010-2011уч.г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В отличие от традиционных курсовых экзаменов итоговый (государственный) экзамен по специальности проводится в форме обзорных докладов по объединенным в блоки (через основные потребности приложений) разделам математики (при этом, как правило, независимо от конкретной предметной области ее применения). И хотя количественно приведенный ниже набор таких блоков не очень велик, с его помощью можно достаточно полно описать круг математических задач (или их важных составляющих), с которыми наиболее часто приходится иметь дело на практике. Он дополнен также небольшим числом блоков, связанных с использованием компьютерных технологий. Прилагаемый перечень тем докладов составлен в соответствии с содержанием «Типовых программ для высших учебных заведений по специальности 1-31 03 03».

В силу большой содержательной объемности этих тем члены Государственной экзаменационной комиссии имеют широкие возможности для оценки уровня подготовки выпускников, тем более посредством (при необходимости) дополнительных вопросов в рамках указанных выше «Типовых программ...». С другой стороны, и студентам также предоставлены большие возможности для демонстрации как своей общей эрудиции, так и углубленных знаний по конкретной прикладной специализации, а также для проявления самостоятельности в выборе содержания и формы доклада. Студент может по своему усмотрению распорядиться и способом изложения и степенью детализации материала, тем самым в целом придавая своему сообщению высокий уровень индивидуальности.

При таком подходе к государственной аттестации выпускников решается не только задача объективной оценки итоговой подготовки студента, но возрастает (что особенно важно) и его профессиональный уровень. В ходе подготовки он систематизирует полученные ранее знания, дает сравнительную оценку их прикладной значимости, а также устанавливает дополнительные связи между разными разделами математики.

1. Способы задания, исследования и приближения функциональных зависимостей.

2. Последовательности и ряды, их роль в прикладной математике.

3. Интегралы, способы их нахождения.

4. Системы линейных и нелинейных уравнений с численными неизвестными, методы решения.

5. Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные типы задач для них, способы решения.

6. Дифференциальные уравнения с частными производными, примеры корректных задач, методы решения.

7. Интегральные уравнения, их решение.

8. Случайные процессы и их исследование.

9. Методы статистического анализа данных.

10. Задачи линейного и нелинейного программирования, методы решения.

11. Основные задачи вариационного исчисления и оптимального управления.

12. Экстремальные задачи на графах, способы решения.

13. Математические модели конфликтных ситуаций и их анализ.

14. Алгоритмы и рекурсивные функции.

15. Модели данных, методы проектирования и управления базами данных.

16. Технологии разработки и методы тестирования программного обеспечения.

17. Операционные системы: архитектура, управление ресурсами.

18. Организация компьютерных сетей. Сети Internet и Intranet.

ПРИЛОЖЕНИЕ

(в помощь кураторам выпускного курса

специальности 1-31 03 03 «Прикладная математика»)

По каждому из пунктов приведенного выше перечня кафедры, обеспечивающие преподавание соответствующих тематике доклада дисциплин, предоставили, как правило, предварительного характера информацию о тех разделах этих дисциплин, которые могут быть использованы при подготовке выступлений студентов на заседаниях ГЭК. В приведенном ниже виде эта информация не всегда сбалансирована как по степени охвата материала, так и по уровню его детализации, она отражает часто лишь субъективный взгляд её автора на форму проведения государственного экзамена и, вообще говоря, не может служить в качестве официальных методических рекомендаций при подготовке докладов. Одна из главных целей ее предоставления в распоряжение кураторов состоит в стимулировании обсуждения на кафедрах данного вопроса в целом с намерением выработать предложения по улучшению имеющей место на настоящий момент ситуации. Окончательный же выбор плана сообщения и его конкретного содержательного наполнения остается, конечно, за студентом.

1. Способы задания, исследования и приближения функциональных зависимостей.

Явное и неявное задание функций. Функции, задаваемые как сумма ряда, как предел функциональной последовательности, как интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о свойствах таких функций. Их исследование методами дифференциального исчисления. Представление функций степенными рядами, рядами Фурье. Задача о наилучшем приближении в линейных нормированных пространствах. Алгебраическое интерполирование. Сплайн-приближения. Другие способы приближенного представления функций.

2. Последовательности и ряды, их роль в прикладной математике.

Сходимость рядов и последовательностей. Представление функций степенными рядами и рядами Фурье. Использование рядов при решении дифференциальных и интегральных уравнений. Использование рядов и последовательностей в численных методах.

3. Интегралы, способы их нахождения.

Определение интеграла (по Риману, по Лебегу, по Стилтьесу). Интегралы на различных множествах. Вычисление интегралов. Несобственные интегралы. Примеры использования интегралов при решении технических, физических, экономических и других задач. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами. Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности. Другие способы приближенного нахождения интегралов.

4. Системы линейных и нелинейных уравнений с численными неизвестными, методы решения.

Неоднородные системы. Критерий совместности линейных систем (теорема Кронекера-Капелли). Структура общего решения однородных и неоднородных систем. Точные и приближенные методы решения систем. Примеры прямых методов. Проблема плохой обусловленности. Итерационные методы. Сходимость. Принцип сжимающих отображений. Линеаризация по Ньютону.

5. Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные типы задач для них, способы решения.

Понятие дифференциального уравнения, его порядок и решение, постановка начальных и граничных задач. Построение решений обыкновенных дифференциальных уравнений: интегрирование линейных стационарных уравнений и систем, элементарные дифференциальные уравнения. Существование и единственность решения задачи Коши (теорема Пикара-Линделефа). Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений дифференциальных уравнений. Методы численного решения начальных задач. Одношаговые и многошаговые методы, их характеристики. Проблема жесткости. Основные типы методов решения граничных задач.

6. Дифференциальные уравнения с частными производными, примеры корректных задач, методы решения.

Дифференциальные уравнения с частными производными и их классификация. Основные уравнения математической физики и задачи для них. Корректная постановка задач. Задача Коши. Задача Гурса. Метод Даламбера. Метод Римана. Метод последовательных приближений. Метод Фурье. Методы функционального анализа. Граничные задачи для эллиптических уравнений. Обобщенные решения. Метод Грина. Смешанные задачи для параболических и гиперболических уравнений. Специальные функции математической физики. Теория потенциала. Нелинейные уравнения математической физики. Основные способы численного моделирования корректных задач математической физики. Простейшие примеры численных методов, их характеристики.